专项3四边形、多边形及平行四边形期末复习专项｜易错题型 +压轴题型+ 期末满分讲义2025-2026学年人教版八年级下册数学

专项3 四边形、多边形及平行四边形压轴题型 目录 题型1 网格中多边形的面积 1 题型2 多边形对角线问题 8 题型3 多边形角度问题 16 题型4 多边形外角问题 21 题型5 利用平行四边形的性质求解和证明 26 题型6 平行四边形中的动点问题 32 题型7 平行四边形中的折叠问题 44 题型8 平行四边形性质和判定的综合运用 58 题型9 三角形中位线 68 题型1 网格中多边形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形四个顶点坐标分别是，，，，四边形中任意一点，经平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形 ．    (1)请在图中画出四边形； (2)请写出四边形的顶点、坐标； (3)请求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点、的坐标分别为、 (3) 【分析】（1）由点P的对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此依据平移的点的坐标变化规律可得； （2）根据点的位置，即可写出点、的坐标； （3）根据特殊四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点，经平移后对应点为， ∴四边形向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 四边形如图所示；   ； （2）解：由图形知点、的坐标分别为、； （3）解：四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)9 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中的点的坐标，利用网格求梯形面积等知识． （1）先得出关于点A，点B，点C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． （2）直接写出三点的坐标即可． （3）连接，，再利用网格求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：，， （3）解：连接，， 则梯形的面积为： 3．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 4．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点在格点（网格线的交点）上． (1)画出四边形关于x轴对称的四边形，并写出，，，的坐标； (2)求四边形的面积； (3)在的平行线l上找一点P，使得的值最小，请在图中标出点P的位置并写出它的坐标；（保留作图痕迹） 【答案】(1)画图见解析，，，， (2)8 (3)点P见解析， 【分析】（1）找到各点关于x轴对称的点，再依次连接即可； （2）利用割补法计算即可； （3）找到点A关于直线l的对称点，再连接，与直线l交于点P即可，根据图形可得点P坐标． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 其中，，，，； （2）四边形的面积为： ； （3）如图，点P即为所求，其中． 【点睛】本题考查了作图—轴对称，坐标的对称变化，最短路径，多边形的面积，解题的关键是掌握对称图形的画法． 题型2 多边形对角线问题 6．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)这个多边形的边数为． 【分析】（1）根据题意画出对角线即可解答； （2）根据表格数据找到规律即可解答； （3）设多边形的边数为，结合（2）中规律列出方程即可求解． 【详解】（1）解：完成下表如下： （2）解：∵三边形的对角线条数可表示为 ， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为 ， 六边形对角线条数可表示为 ， 七边形对角线条数可表示为 ， ， ∴边形对角线条数可表示为； （3）解：设多边形的边数为， 根据题意，得 ，即， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 答：这个多边形的边数为． 7．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 8．请按要求完成填空与解答： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 __________ … ________ 三角形个数 1 2 3 __________ … ________ 内角和 __________ … (1)将上面表格中5处“_______”填写完整； (2)根据表中规律可发现，边形的内角和是_______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)第一列依次为：3，4，；第二列依次为：， (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 3 … 三角形个数 1 2 3 4 … 内角和 … （2）解：根据表中规律可发现，边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意，得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 9．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)7，8 (2)，， (3)不存在这样的多边形 【分析】（1）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （2）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （3）设这个多边形的边数为m（，且m为整数），列出方程， 解得，再根据，且m为整数，得到不符合题意，即可解答． 【详解】（1）解： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形； （2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为． （3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数）， 依题意，得， 解得， ∵，且m为整数， ∴不符合题意． 答：不存在这样的多边形． 10．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 题型3 多边形角度问题 11．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 【答案】(1)解：由多边形内角和公式可知，多边形内角和是的倍数，而不是的倍数， 故不可能是多边形内角和． (2)十三边形 (3) 【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可； （2）根据多边形内角和公式判断即可； （3）由（2）即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由多边形内角和公式可知，， 所以，则， 故多边形是十三边形 （3）解：由（2）计算可知余数为， 所以多加的外角为． 12．综合与实践 【项目主题】基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 【项目准备】（1）正边形内角度数；（2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于． 【项目情况】学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 【项目任务】 初步探究： (1)单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为 ，该内角正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为 ，该内角正整数，因此正五边形不能单独镶嵌． 实战应用： (2)两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决： 实验步骤：第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为 ；第二步：建立镶嵌方程．设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（、为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得： ，符合条件的正整数解为． 【答案】(1)①；② (2)；；； 【分析】（1）①利用正多边形的内角公式进行计算即可； ②利用正多边形的内角公式进行计算即可； （2）利用正多边形的内角公式计算出正六边形的内角，再写出方程并化简，最后写出正整数解即可． 【详解】（1）解：①等边三角形每个内角为； ②正五边形每个内角为； （2）解：正六边形每个内角为， 根据题意，拼接处满足方程：， 化简，得， 符合条件的正整数解为． 13．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 14．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 15．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 题型4 多边形外角问题 16．已知某正多边形的一个内角比和它相邻的外角大． (1)求这个正多边形每个外角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)这个正多边形每个外角的度数为 (2)这个正多边形的内角和为 【分析】（1）先利用“内角与相邻外角互补”的关系，设外角为，则内角为，再根据“内角比外角大”列方程求解，得到外角的度数； （2）先利用多边形外角和，用外角和除以单个外角的度数，算出正多边形的边数，再代入内角和公式计算出内角和． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个外角为，则这个内角为， 由题意得：， 解得：， 故这个正多边形每个外角的度数为． （2）解：多边形的外角和为，且这个正多边形每个外角是， 则边数， 故内角和为． 17．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1)360 (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵在五边形中， ∴ ． 18．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 19．按要求完成各题 (1)一个边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求的值． (2)已知点与点，当，为何值时，点、关于轴对称． 【答案】(1)8 (2)m的值为，n的值为2 【分析】（1）先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是，从而可代入公式求解． （2）根据两点关于轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的每个外角为，则与这个外角相邻的内角的度数为 则 边数 答：这个多边形的边数为8． （2）解：∵点A、B关于x轴对称； ， ， 所以m的值为，n的值为2． 20．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义表示出，即可得解； （2）同（1）中方法求解即可； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ，， ， ； （3）解：， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 题型5 利用平行四边形的性质求解和证明 21．如图（单位：），在平行四边形中，对角线与相交于点O，，求的长度及平行四边形的面积． 【答案】； 【分析】由可知为直角三角形，利用勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据图形可得：，， 在中，由勾股定理得： ∴ ， ∵四边形是平行四边形，， ∴，． 22．如图，和的顶点，，，在同一直线上，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： 连接，交于点O， ∵四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即． 【分析】连接，交于点O，根据平行四边形的对角线互相平分得到，，再根据线段的和差即可解答． 【详解】略 23．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 【答案】(1) (2)为 (3)点在线段的垂直平分线上．见解析 【分析】（1）根据平行四边形得，再根据“角边角”证明，可得 ，进而得出答案； （2）当时，四边形是平行四边形，可得，求出解即可； （3）作直线，垂足为，与交于，根据勾股定理求出，再根据，求出，可得，进而求出，当时，，然后根据可得点是的中点，则此题可解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． ， ． ， ， ； （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， 即，解得， 当为时，四边形是平行四边形； （3）解：结论：点在线段的垂直平分线上． 理由：如图，过点作直线，垂足为，与交于， 在中，， ， ． ， ， ， ， ， ． 当时，， ，即点是的中点， 点在线段的垂直平分线上． 24．根据题目条件，解答下列各题 (1)【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．与的数量关系是 ． (2)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1) (2)成立，理由如下： 四边形是平行四边形 、 在和中 (3)3，12 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （3）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 ， 在和中 ； （2）略 （3）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 25．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求E，H两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 题型6 平行四边形中的动点问题 26．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 27．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 29．如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键． （1）当时，，可知为等边三角形，即可求得； （2）由题意可知，，，分两种情况：当时，点在点右侧，当时，点在点左侧，建立等式即可求解； （3）分两种情况：当对称点落在线段上时，当对称点落在线段的延长线上时，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 过点作， ∵，，则，， ∴，四边形是矩形， ∴，则， ∴，则， 由题意可知，，， 当时，点在点右侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 当时，点与点重合，符不符合题意； 当时，点在点左侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； （3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分， 此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴， ∴，即：， 解得：； 如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：， 解得：， 综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或． 30．已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；过点B作轴于点R，求出，得到，则，据此求出的长即可得到答案； （2）设运动时间为，可证明轴，求出，根据，即，得到，解方程即可得到答案； （3）取点，过点P作交x轴于点K，连接，可证明是等边三角形，得到，可证明四边形是平行四边形，，得到，则可证明，得到，据此可求出，，则相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度，故． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点R， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：设运动时间为， 由（1）可得， ∴轴， 由题意得，，则， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴从运动开始，需经或，才能使； （3）解：如图所示，取点，过点P作交x轴于点K，连接， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵轴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度， ∴． 题型7 平行四边形中的折叠问题 31．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 【答案】(1)3；6； (2)13； (3)周长为．面积是． 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；6； （2）解：由折叠可知：，，，， ，矩形的面积为：， ， 矩形的周长； （3）解：由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 如图，连接， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ∵，， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 33．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 【答案】(1)解：，理由如下：如图所示， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由折叠可得，， ∴． (2)①，如图， 证明：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可得出； （2）①根据折叠的性质得出，，，根据等边对等角以及角度的和差关系得出，进而可得； ②根据等面积法求得，进而勾股定理求得，，即可得出，结合①的结论证明四边形是平行四边形，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接 ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， 垂直平分 于点 ， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴． 由折叠可得 ∴ 由①可得 ∴四边形是平行四边形， ∴， 34．（1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形．    【答案】（1）等腰，；（2）（1）中的发现一和发现二成立，证明见解析；（3）或 【分析】（1）由长方形，可得，，则，由翻折的性质可知，，，则，可证是等腰三角形，如图（1），过作交的延长线于，则，，证明四边形是平行四边形，进而可得； （2）证明过程同理（1）； （3）由，，证明四边形是平行四边形，，则，，，，由翻折的性质可知，，，，，由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴是等腰三角形， 如图（1），过作交的延长线于，    ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：等腰，； （2）解：（1）中的发现一和发现二成立，证明如下； 证明：∵， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴是等腰三角形， 如图（2），过作交的延长线于，    ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（1）中的发现一和发现二成立； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， 由翻折的性质可知，，，，， 由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解； 当时，， ∴，， 设，， ∴，，， 解得，， 如图（3）记交点为，    ∴， ∴，即， ∴； 当时，， 设，则，， ∴， 如图（4）记交点为，          图（4） ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，当为或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 35．综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)4；12 (2)16 (3)42 【分析】（1）根据折叠的性质求出好完美矩形的面积即可； （2）根据折叠的性质和矩形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∵， ∴完美矩形的面积为： ； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 题型8 平行四边形性质和判定的综合运用 36．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 37．如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到N，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【详解】（1）解：， 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①当时， 则， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：60°； ②， 理由：延长到N，使，连接，， ∵D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为正三角形， ∴， ∴． 38．如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）由平行四边形的性质得到，，等量代换得到，然后结合即可证明出四边形是矩形； （3）首先证明出，得到，，设，则，，根据列方程求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）解：∵由（1）得：四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； （3）解：∵F恰是的中点 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ 设，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 39．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为 度，线段长度的最小值为 ． 【方法运用】如图③，正方形与矩形在直线的同侧，边、在直线上．，，，连接、．当矩形移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题主要通过构造平行四边形将双动点问题转化为单动点问题，利用等边三角形和平行四边形的性质，以及等腰三角形和矩形的性质，求解线段MN长度的最小值。涉及的概念有平行四边形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质以及三角函数的基本应用． （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到，再结合已知条件，从而得出． （2）求的大小：由()知，且是等边三角形，，推出．求线段长度的最小值：当根据平行四边形的性质，，时，最短；在中，利用三角函数求出的长度，即的最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴. ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， 当时，最小，即最小， 此时 ∴长度的最小值为； 故答案为：，． 【方法应用】解：如图， 通过平移线段，将转化为一条线段的长度来求最小值，把平移，使点与点重合，点对应的点为 ， 则 ， 当 三点共线时，取得最小值， 即 的长度， ∵，，， 则； 故答案为：． 40．【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 【答案】探究发现：依然成立，见解析；尝试应用：；拓展提升：200 【分析】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 尝试应用：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，代入数据计算即可得到结果； 拓展提升：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】解：探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则， ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 尝试应用：延长到点C，使， ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由探究发现可知，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 拓展提升：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值是． 题型9 三角形中位线 41．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 42．【材料阅读】 在等腰直角 和中，，，，连接 ，点 ， ，分别为 ， ， 的中点，连接 ，，． 【观察猜想】 (1)如图1，当点 ， 分别在边 ，上时，线段 与的数量关系是_____，位置关系是_____． 【探究证明】 (2)如图2，将绕点顺时针方向旋转，连接，，试判断的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)在绕点旋转的过程中发现，当点， ， 在同一条直线上时，，若，请直接写出当点， ， 共线时的周长． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，，， ∵点分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形； (3)或 【分析】（1）由中位线定理可得，，，，由外角性质和平行线的性质可得，可得； （2）通过证明，可得，，由中位线定理可得，，，，由周角的性质和平行线的性质可得，可得是等腰直角三角形； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，即， ∵点分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， （2）略 （3）如图3-1，若直线在上方时，作，作于N， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，，， ∴，， ∴的周长； 如图3-2，若直线在下方时，作，作于N， 同理可求：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴，， ∴的周长； 综上所述：的周长是或． 43．在学习了《折纸与数学》之后，同学们利用三角形纸片开展了“折三角形中位线”的探究活动． 【甲同学的方案】如图1，将三角形纸片的顶点沿着某一直线折叠，使得点落在边上点处，此时折痕就是它的一条中位线； 【乙同学的方案】如图2，将三角形纸片的顶点沿着经过顶点A的直线折叠，使得顶点B落在边上点处，折痕与边的交点记为F；再将顶点A沿着某一直线折叠，使得点A恰好落在点F处，此时折痕就是它的一条中位线； (1)说明甲、乙两位同学的方案是否正确，若正确，请说明理由（写出证明过程）；若不正确，请举出反例或说明原因； (2)除了上述两种方法，请你再设计一种不同于甲、乙同学的折纸方案，折出的一条中位线，在图3中用虚线画出折痕，并写出结论． 【答案】(1)解：甲同学的方案不正确， 原因：连接，， 根据折痕可得，垂直平分， ∴，， 不能证明点D、E分别是、的中点，也就不能证明折痕就是三角形纸片的一条中位线； 乙同学的方案正确，理由如下： 如图，连接，， 根据折痕可得，垂直平分， ∴，， ∴， 根据折痕可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即为中点， 同理可得，即为中点， ∴折痕是三角形纸片的一条中位线； (2)解：如图，将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交于，再将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交于，即可得到为中点，为中点，折痕是三角形纸片的一条中位线； 【分析】（1）甲同学的方案连接，，根据折痕可得，垂直平分，得到，，但是不能证明点D、E分别是、的中点，也就不能证明折痕就是三角形纸片的一条中位线； 乙同学的方案连接，，根据折痕可得，垂直平分，得到，，则，再根据折痕可得，，求出，得到，为中点，同理可得，即为中点，折痕是三角形纸片的一条中位线； （2）将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交于，再将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交于，即可得到为中点，为中点，折痕是三角形纸片的一条中位线； 【详解】（1）略 （2）略 44．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 45．阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)甲乙丙丁 (2)选择甲（或乙或丙或丁）；证明见解析 (3)、两点间的距离为 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质结合全等三角形的判定与性质即可判断； （2）甲：先证明四边形是平行四边形，再证明，然后证明四边形是平行四边形即可；乙：证明，，再证明四边形是平行四边形即可；丙：先证明，再证明四边形是平行四边形即可；丁：根据中点坐标公式得到，的坐标，然后根据点的坐标特征即可判定； （3）连接并延长，交延长线于点，证明，得到是的中位线，根据中位线的性质即可得解． 【详解】（1）解：甲乙丙丁； （2）解：选择甲； 过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 、分别是、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择乙； 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙； 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 选择丁； 证明：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． ， 、分别是、的中点， ，， ，； （3）解：如图，连接并延长，交延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ， 即、两点间的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项3 四边形、多边形及平行四边形压轴题型 目录 题型1 网格中多边形的面积 1 题型2 多边形对角线问题 3 题型3 多边形角度问题 6 题型4 多边形外角问题 8 题型5 利用平行四边形的性质求解和证明 10 题型6 平行四边形中的动点问题 12 题型7 平行四边形中的折叠问题 14 题型8 平行四边形性质和判定的综合运用 16 题型9 三角形中位线 18 题型1 网格中多边形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形四个顶点坐标分别是，，，，四边形中任意一点，经平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形 ．    (1)请在图中画出四边形； (2)请写出四边形的顶点、坐标； (3)请求出四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 3．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 4．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点在格点（网格线的交点）上． (1)画出四边形关于x轴对称的四边形，并写出，，，的坐标； (2)求四边形的面积； (3)在的平行线l上找一点P，使得的值最小，请在图中标出点P的位置并写出它的坐标；（保留作图痕迹） 题型2 多边形对角线问题 6．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 7．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 8．请按要求完成填空与解答： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 __________ … ________ 三角形个数 1 2 3 __________ … ________ 内角和 __________ … (1)将上面表格中5处“_______”填写完整； (2)根据表中规律可发现，边形的内角和是_______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 9．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 10．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 题型3 多边形角度问题 11．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 12．综合与实践 【项目主题】基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 【项目准备】（1）正边形内角度数；（2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于． 【项目情况】学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 【项目任务】 初步探究： (1)单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为 ，该内角正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为 ，该内角正整数，因此正五边形不能单独镶嵌． 实战应用： (2)两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决： 实验步骤：第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为 ；第二步：建立镶嵌方程．设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（、为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得： ，符合条件的正整数解为． 13．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 14．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 15．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 题型4 多边形外角问题 16．已知某正多边形的一个内角比和它相邻的外角大． (1)求这个正多边形每个外角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 17．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 18．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 19．按要求完成各题 (1)一个边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求的值． (2)已知点与点，当，为何值时，点、关于轴对称． 20．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 题型5 利用平行四边形的性质求解和证明 21．如图（单位：），在平行四边形中，对角线与相交于点O，，求的长度及平行四边形的面积． 22．如图，和的顶点，，，在同一直线上，试判断与的关系，并说明理由． 23．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 24．根据题目条件，解答下列各题 (1)【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．与的数量关系是 ． (2)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 25．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求E，H两点之间的距离． 题型6 平行四边形中的动点问题 26．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 27．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 28．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 29．如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 30．已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 题型7 平行四边形中的折叠问题 31．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 32．综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 33．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 34．（1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形．    35．综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 题型8 平行四边形性质和判定的综合运用 36．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 37．如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 38．如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． (3)若，，求的长． 39．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为 度，线段长度的最小值为 ． 【方法运用】如图③，正方形与矩形在直线的同侧，边、在直线上．，，，连接、．当矩形移动的过程中，的最小值是 ． 40．【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 题型9 三角形中位线 41．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 42．【材料阅读】 在等腰直角 和中，，，，连接 ，点 ， ，分别为 ， ， 的中点，连接 ，，． 【观察猜想】 (1)如图1，当点 ， 分别在边 ，上时，线段 与的数量关系是_____，位置关系是_____． 【探究证明】 (2)如图2，将绕点顺时针方向旋转，连接，，试判断的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)在绕点旋转的过程中发现，当点， ， 在同一条直线上时，，若，请直接写出当点， ， 共线时的周长． 43．在学习了《折纸与数学》之后，同学们利用三角形纸片开展了“折三角形中位线”的探究活动． 【甲同学的方案】如图1，将三角形纸片的顶点沿着某一直线折叠，使得点落在边上点处，此时折痕就是它的一条中位线； 【乙同学的方案】如图2，将三角形纸片的顶点沿着经过顶点A的直线折叠，使得顶点B落在边上点处，折痕与边的交点记为F；再将顶点A沿着某一直线折叠，使得点A恰好落在点F处，此时折痕就是它的一条中位线； (1)说明甲、乙两位同学的方案是否正确，若正确，请说明理由（写出证明过程）；若不正确，请举出反例或说明原因； (2)除了上述两种方法，请你再设计一种不同于甲、乙同学的折纸方案，折出的一条中位线，在图3中用虚线画出折痕，并写出结论． 44．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 45．阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $