专题03 多边形与平行四边形（期末复习讲义，4知识6重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题03 多边形与平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形内角和、外角和计算（选择/填空基础必考） 题型02 平行四边形边角计算（中档选择/填空高频） 题型03 平行四边形证明题（解答题必考核心） 题型04 三角形中位线综合题（中点模型必考） 题型05 平行四边形折叠综合题（中档压轴） 题型06 平行四边形动点压轴题（期末难点大题） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形基础 基础：熟记所有公式，可直接套用计算边数、角度、对角线条数； 提升：掌握多边形截角、内外角综合方程计算； 冲刺：结合实际情境解决多边形角度、边长计算问题 选择、填空必考，多为基础简单计算题，命题常规无复杂变形；常结合正多边形图形、生活场景出题，属于送分题型 平行四边形性质 基础：熟练背诵所有性质，可快速求解边长、角度、对角线线段长度； 提升：利用性质进行简单几何推理、面积计算； 冲刺：结合折叠、旋转图形，运用性质解决图形变换综合问题 选择、填空、解答题全覆盖，基础题型考查角度、边长计算，中档题型结合图形变换出题，是几何核心基础考点 平行四边形判定 基础：精准区分五种判定条件，能完成基础证明题；提升：根据题干条件灵活选择最优判定方法，规范书写证明步骤； 冲刺：结合多知识点综合证明，规避判定误区 期末必考解答题，固定考查几何证明，题型稳定；常结合中点、平行线、线段相等条件综合命题 三角形中位线 基础：熟记定理，熟练完成线段长度、平行关系基础计算； 提升：结合平行四边形进行综合推理； 冲刺：解决多中点嵌套、线段倍分复杂几何问题 高频中档考点，选择填空常考计算，解答题常作为辅助解题工具，多与平行四边形综合命题，难度适中 综合压轴题型 基础：掌握基础图形变换性质； 提升：能解决单动点、简单坐标几何问题； 冲刺：熟练分类讨论，攻克压轴多问题型，步骤完整规范 期末压轴高频考点，题型递进式设问，前两问基础得分，最后一问难度较高，侧重考查几何思维与分类讨论能力 知识点01 多边形基础知识点 1. 定义：平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2. 内角和公式：n边形内角和 = (n-2)×180°（必考，绝对不能漏“-2”） 3. 外角和性质：任意多边形外角和恒为 360°（与边数无关，计算优先用外角） 4. 对角线规律 从一个顶点可引对角线：(n-3)条 从一个顶点可分割三角形：(n-2)个 n边形总对角线条数： 5. 正多边形核心公式 每个内角： 每个外角： 正多边形判定：必须同时满足各边相等、各角相等 知识点02 平行四边形核心重难点 1. 定义：两组对边分别平行的四边形，记作▱ABCD 2. 五大性质（边、角、对角线、面积、对称性） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD） 对称性：仅为中心对称图形（无对称轴，不是轴对称图形） 面积：S=底×高；对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形 3. 五种判定方法（考试优先级排序） ① 一组对边平行且相等（最常用、步骤最简） ② 对角线互相平分（遇对角线题型首选） ③ 两组对边分别相等 ④ 两组对边分别平行（定义法） ⑤ 两组对角分别相等 知识点03 三角形中位线定理（高频中点模型） 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2. 核心定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 3. 必考结论：任意四边形四边中点依次连接，所得中点四边形一定是平行四边形 知识点04 期末高频易错陷阱（必避坑） 1. 多边形外角和永远为360°，和边数无关，切勿和内角和公式混淆 2. 一组对边平行、另一组对边相等，不能判定平行四边形（可能是等腰梯形） 3. 平行四边形无对称轴，不是轴对称图形 4. 证明题必须写全定理条件，缺一不可 题型一 多边形内角和、外角和计算（选择/填空基础必考） 解｜题｜技｜巧 1. 已知内角和求边数：直接套公式(n-2)×180°列方程求解 2. 正多边形角度问题：优先算外角（360°定值，计算量最小） 3. 内外角差值问题：先列式表示差值，再解方程 4. 对角线数量问题：套总条数公式列方程，舍去负根 【典例1-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 【典例1-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 【典例1-3】（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 题型二 平行四边形边角计算（中档选择/填空高频） 解｜题｜技｜巧 1. 角度计算：抓对角相等、邻角互补、平行线内错角相等 2. 万能模型：平行线+角平分线=等腰三角形（快速转化边长） 3. 对角线计算：利用对角线互相平分，结合勾股定理求线段长 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】C 【详解】解：∵平分交边于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 【典例2-2】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【典例2-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又 ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式2-3】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 平行四边形证明题（解答题必考核心） 解｜题｜技｜巧 1. 优先用：一组对边平行且相等（条件最好找，步骤最少） 2. 次选用：对角线互相平分（题干出现对角线、线段相等首选） 3. 辅助线技巧：遇对角线直接连接交点；遇中点优先证平行相等 【典例3-1】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图， ，点E，F在上，且． (1)求证： ； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图： 由（1）知，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【典例3-2】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【典例3-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 【变式3-2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 题型四 三角形中位线综合题（中点模型必考） 解｜题｜技｜巧 1. 解题口诀：见中点，想中位线；多点连中位线 2. 固定套路：连接四边形对角线，构造两个三角形中位线 3. 核心结论：中位线平行且等于第三边一半，可证平行、求边长 【典例4-1】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 【典例4-3】（24-25八年级下·吉林·期末）【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 【详解】(1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 且； (2)证明：是的中点，M是的中点， ， 是的中点，N是的中点， ， ， ， ； (3)解：连接，取的中点P，连接，如图2， 是中点，N是中点，， ，，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）数学兴趣小组对下面问题产生了浓厚兴趣：“如图，两点被池塘隔开，怎样测出两点间的距离？” (1)问题解决：如图1，根据三角形中位线定理，可分别取、中点、，量得米，则可得线段的长是___________米． (2)观察猜想：如图2，若把变成四边形，当，、为中点时，求证； (3)综合应用：如图3，在四边形中，点、为、中点，连接，若，，，求线段的长． 【详解】（1）解：∵点、是、中点， ∴是中位线， ∴（米）， 故答案为：30； （2）解：连接并延长交直线于点， ， ，， 是PC中点， ， ， ， ， 是AB中点， ， 所以． （3）解：连接至点，使，连接，作交延长线于，作，垂足为， 在中，点是中点， ∴， ∴点是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，， ∵、、都是直角三角形， ∴设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 整理得，， 解得，和（舍）, ∴，， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【特例研究】 (1)在中，点D是的中点， ①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且； ②如图 2，若，，的取值范围为 ． (2)【拓展延伸】 如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接． ①请求出的最小值； ②当等于多少时，？请说明理由． 【详解】（1）解：①证明：∵ 点D是的中点， ∴， 在和中，      ∴， ∴，， ∴； ②解：延长到点Q，使，连接． ∵ 点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， 故． 故答案为：． （2）解：①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H ∵ 点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，（等号成立时，动点E和定点H重合） ∴， ∴的最小值为． ②当时，如上图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型五 平行四边形折叠综合题（中档压轴） 解｜题｜技｜巧 1. 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等 2. 组合套路：折叠全等+平行线性质，推导等角、等边 3. 解题步骤：标等量→转角度→用邻角互补/内角和计算 【典例5-1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为，折痕为．若，，，则点到的距离为____________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点． 设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形． ， ∴由勾股定理，得． ， ， 解得， ． 的面积， ， ， 即点到的距离为． 【典例5-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，点在上，点在上，将沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点．若，，，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：连接交于点，过点作于点，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，， 设，则， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， 由折叠性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴． 故答案为： ． 【典例5-3】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，在中，，．点E在边上，沿着折叠得到，交于点F，交于点H且． (1)求的长（提示：过点E作，垂足为M,）； (2)如图2，延长与相交于点K，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)2 (2)， 【详解】（1）解：过点E作，垂足为M，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵沿着折叠得到，交于点F，交于点H ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 则， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∴， 则； （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）得，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，， 则 ∴ ∴是等腰三角形， ∴ ∵沿着折叠得到，交于点F，交于点H ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴是等腰三角形， 综上：，都是等腰三角形． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）在平行四边形中，，，于点，点，分别是，的中点，连接，将沿直线对折得到，其中点与点是对称点，连接，则线段的长是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，设交于点， ∵在平行四边形中点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠，是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴ ∴在上， ∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， 则， 设，则， 在中，， 在中， ∴， 即 解得： ∴ ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、、，延长交于点， ∵将四边形沿翻折，，的对应点分别是，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， ∴， ∴，， 设， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）（2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角性质可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）（3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴， ∵的面积为，，即：， ∴， 则， ∴． 题型六 平行四边形动点压轴题（期末难点大题） 解｜题｜技｜巧 1. 核心思想：以静制动，设时间t，用含t代数式表示线段长 2. 解题关键：将平行四边形存在性，转化为对边相等列方程 3. 必做步骤：动点分区间讨论，求出t后验证位置是否合规 【典例6】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 【变式6-1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以的速度向终点运动．同时动点从点出发，沿方向以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动时间为，以、、、为顶点的四边形的面积为，规定三角形是特殊的四边形． (1)直线与之间的距离是_________； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)当点关于直线的对称点恰好落在直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)2.5 (2)当时，；当时， (3) (4)或2 【详解】（1）解：设高为h（即与的距离）， ∵，得：， ∴， 故答案为：； （2）解：当Q 在线段上（，此时）， 根据题意得，， ∵四边形的高为， ∴ ； 当Q在延长线上（，此时）， 根据题意得，， ∵四边形的高为， ∴面积 ， 综上所述，当时，；当时， ； （3）解：假设存在，使得与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点Q在延长线上， ∴，， ∴ ， 解得； （4）解：当点Q运动到点时，平分， 根据角平分线的性质，点P的对称点G在线段上； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点Q运动到点时，平分， 由角平分线的性质，点P的对称点K也在线段延长线上， ∵， ∴， ， ， ， ． 故值为或． 【变式6-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接． (1)如图①，已知，，． ①若，试求出的度数； ②连接．当点F为的中点，时，求证：． (2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴， ， ； ②设， 由①得，， 由平行四边形的性质可得，，，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； （2）解：，理由如下： 过C作交于N， ， 为中点F， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； ， ，， ， ． ， 又，， ， ． 即． 【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点． (1)当点在线段上时，若． ①如图1，求证； ②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长； (2)若，请求出线段的长． 【详解】（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图 ∴ ∵，四边形是平行四边形，， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形 ∴ ∴四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． ②∵ ∴ 即 或（不合题意，舍去） ∴ 设正方形的边长为x，则 ∴，， ∵，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ ∴ 即， 解得， ∴， ∴． （2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． ②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． ③当点P在线段的延长线上时，如图 有， ∴，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点K， ∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 3．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）若一个多边形的每个外角的度数是，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】A 利用多边形外角和为的性质，根据每个外角度数求边数. 【详解】解：因为多边形的外角和为，每个外角为， 所以边数， 所以这个多边形是九边形， 故选：A． 4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 【答案】 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴它的每个外角为：， ∴多边形的边数是：， ∴其内角和为． 6．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角， ∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要______s能完成一轮防疫工作． 【答案】48 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． ， ∴该机器人恰好回到A点总共需要能完成一轮防疫工作． 故答案为：48． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 如图，取中点G，连接、， ∵的中点为N，中点为M， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 5．（23-24八年级下·重庆江津·期末）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 多边形与平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形内角和、外角和计算（选择/填空基础必考） 题型02 平行四边形边角计算（中档选择/填空高频） 题型03 平行四边形证明题（解答题必考核心） 题型04 三角形中位线综合题（中点模型必考） 题型05 平行四边形折叠综合题（中档压轴） 题型06 平行四边形动点压轴题（期末难点大题） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形基础 基础：熟记所有公式，可直接套用计算边数、角度、对角线条数； 提升：掌握多边形截角、内外角综合方程计算； 冲刺：结合实际情境解决多边形角度、边长计算问题 选择、填空必考，多为基础简单计算题，命题常规无复杂变形；常结合正多边形图形、生活场景出题，属于送分题型 平行四边形性质 基础：熟练背诵所有性质，可快速求解边长、角度、对角线线段长度； 提升：利用性质进行简单几何推理、面积计算； 冲刺：结合折叠、旋转图形，运用性质解决图形变换综合问题 选择、填空、解答题全覆盖，基础题型考查角度、边长计算，中档题型结合图形变换出题，是几何核心基础考点 平行四边形判定 基础：精准区分五种判定条件，能完成基础证明题；提升：根据题干条件灵活选择最优判定方法，规范书写证明步骤； 冲刺：结合多知识点综合证明，规避判定误区 期末必考解答题，固定考查几何证明，题型稳定；常结合中点、平行线、线段相等条件综合命题 三角形中位线 基础：熟记定理，熟练完成线段长度、平行关系基础计算； 提升：结合平行四边形进行综合推理； 冲刺：解决多中点嵌套、线段倍分复杂几何问题 高频中档考点，选择填空常考计算，解答题常作为辅助解题工具，多与平行四边形综合命题，难度适中 综合压轴题型 基础：掌握基础图形变换性质； 提升：能解决单动点、简单坐标几何问题； 冲刺：熟练分类讨论，攻克压轴多问题型，步骤完整规范 期末压轴高频考点，题型递进式设问，前两问基础得分，最后一问难度较高，侧重考查几何思维与分类讨论能力 知识点01 多边形基础知识点 1. 定义：平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2. 内角和公式：n边形内角和 = (n-2)×180°（必考，绝对不能漏“-2”） 3. 外角和性质：任意多边形外角和恒为 360°（与边数无关，计算优先用外角） 4. 对角线规律 从一个顶点可引对角线：(n-3)条 从一个顶点可分割三角形：(n-2)个 n边形总对角线条数： 5. 正多边形核心公式 每个内角： 每个外角： 正多边形判定：必须同时满足各边相等、各角相等 知识点02 平行四边形核心重难点 1. 定义：两组对边分别平行的四边形，记作▱ABCD 2. 五大性质（边、角、对角线、面积、对称性） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD） 对称性：仅为中心对称图形（无对称轴，不是轴对称图形） 面积：S=底×高；对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形 3. 五种判定方法（考试优先级排序） ① 一组对边平行且相等（最常用、步骤最简） ② 对角线互相平分（遇对角线题型首选） ③ 两组对边分别相等 ④ 两组对边分别平行（定义法） ⑤ 两组对角分别相等 知识点03 三角形中位线定理（高频中点模型） 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2. 核心定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 3. 必考结论：任意四边形四边中点依次连接，所得中点四边形一定是平行四边形 知识点04 期末高频易错陷阱（必避坑） 1. 多边形外角和永远为360°，和边数无关，切勿和内角和公式混淆 2. 一组对边平行、另一组对边相等，不能判定平行四边形（可能是等腰梯形） 3. 平行四边形无对称轴，不是轴对称图形 4. 证明题必须写全定理条件，缺一不可 题型一 多边形内角和、外角和计算（选择/填空基础必考） 解｜题｜技｜巧 1. 已知内角和求边数：直接套公式(n-2)×180°列方程求解 2. 正多边形角度问题：优先算外角（360°定值，计算量最小） 3. 内外角差值问题：先列式表示差值，再解方程 4. 对角线数量问题：套总条数公式列方程，舍去负根 【典例1-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式1-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【变式1-4】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 题型二 平行四边形边角计算（中档选择/填空高频） 解｜题｜技｜巧 1. 角度计算：抓对角相等、邻角互补、平行线内错角相等 2. 万能模型：平行线+角平分线=等腰三角形（快速转化边长） 3. 对角线计算：利用对角线互相平分，结合勾股定理求线段长 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【典例2-2】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【变式2-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【变式2-3】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________． 题型三 平行四边形证明题（解答题必考核心） 解｜题｜技｜巧 1. 优先用：一组对边平行且相等（条件最好找，步骤最少） 2. 次选用：对角线互相平分（题干出现对角线、线段相等首选） 3. 辅助线技巧：遇对角线直接连接交点；遇中点优先证平行相等 【典例3-1】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图， ，点E，F在上，且． (1)求证： ； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【典例3-2】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【典例3-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【变式3-2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 题型四 三角形中位线综合题（中点模型必考） 解｜题｜技｜巧 1. 解题口诀：见中点，想中位线；多点连中位线 2. 固定套路：连接四边形对角线，构造两个三角形中位线 3. 核心结论：中位线平行且等于第三边一半，可证平行、求边长 【典例4-1】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【典例4-3】（24-25八年级下·吉林·期末）【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______ 【变式4-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【变式4-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）数学兴趣小组对下面问题产生了浓厚兴趣：“如图，两点被池塘隔开，怎样测出两点间的距离？” (1)问题解决：如图1，根据三角形中位线定理，可分别取、中点、，量得米，则可得线段的长是___________米． (2)观察猜想：如图2，若把变成四边形，当，、为中点时，求证； (3)综合应用：如图3，在四边形中，点、为、中点，连接，若，，，求线段的长． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【特例研究】 (1)在中，点D是的中点， ①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且； ②如图 2，若，，的取值范围为 ． (2)【拓展延伸】 如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接． ①请求出的最小值； ②当等于多少时，？请说明理由． 题型五 平行四边形折叠综合题（中档压轴） 解｜题｜技｜巧 1. 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等 2. 组合套路：折叠全等+平行线性质，推导等角、等边 3. 解题步骤：标等量→转角度→用邻角互补/内角和计算 【典例5-1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为，折痕为．若，，，则点到的距离为____________． 【典例5-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，点在上，点在上，将沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点．若，，，则的长是_____． 【典例5-3】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，在中，，．点E在边上，沿着折叠得到，交于点F，交于点H且． (1)求的长（提示：过点E作，垂足为M,）； (2)如图2，延长与相交于点K，直接写出图中所有的等腰三角形． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）在平行四边形中，，，于点，点，分别是，的中点，连接，将沿直线对折得到，其中点与点是对称点，连接，则线段的长是________． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________． 【变式5-3】（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 题型六 平行四边形动点压轴题（期末难点大题） 解｜题｜技｜巧 1. 核心思想：以静制动，设时间t，用含t代数式表示线段长 2. 解题关键：将平行四边形存在性，转化为对边相等列方程 3. 必做步骤：动点分区间讨论，求出t后验证位置是否合规 【典例6】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【变式6-1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以的速度向终点运动．同时动点从点出发，沿方向以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动时间为，以、、、为顶点的四边形的面积为，规定三角形是特殊的四边形． (1)直线与之间的距离是_________； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)当点关于直线的对称点恰好落在直线上时，请直接写出的值． 【变式6-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接． (1)如图①，已知，，． ①若，试求出的度数； ②连接．当点F为的中点，时，求证：． (2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点． (1)当点在线段上时，若． ①如图1，求证； ②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长； (2) 若，请求出线段的长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）若一个多边形的每个外角的度数是，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 6．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要______s能完成一轮防疫工作． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 4．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 5．（23-24八年级下·重庆江津·期末）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $