专题05特殊的平行四边形 期末复习讲义（18大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期

专题05特殊的平行四边形 期末复习讲义 题型梳理归纳 题型1.矩形性质基础理解题 题型2.利用矩形性质求角度、线段长 题型3.菱形性质简单求解 题型4.菱形面积计算与性质证明题 题型5.正方形性质基础理解题 题型6.利用正方形性质求角度、线段、面积 题型7.矩形判定基础题 题型8.菱形判定基础题 题型9.利用矩形性质求面积、坐标 题型10.矩形折叠与斜边中线应用 题型11.菱形性质与判定综合题 题型12.正方形折叠与重叠面积问题 题型13.正方形判定基础题 题型14.正方形性质与判定综合题 题型15.中点四边形问题 题型16.特殊平行四边形对称性与阴影面积计算 题型17.特殊平行四边形动点与线段最值问题 题型18.四边形其他综合问题 题型19.分层精练18道题 重点知识梳理 【知识点一、平行四边形与矩形、菱形、正方形从属关系】 平行四边形 总结：矩形、菱形是特殊平行四边形；正方形是特殊矩形、特殊菱形。 【知识点二、矩形】 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.核心性质 （1）通用性质：具备平行四边形所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 （2） 独有性质：四个角都是90°；对角线相等，即AC=BD。 （3）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。   3.矩形判定方法 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4.矩形常考结论 （1）.对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形。 （2）.计算、折叠题常结合勾股定理解题。 【知识点三、菱形】 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.核心性质 (1)通用性质：具备平行四边形所有性质。 (2)特有性质：四条边全部相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 3.面积公式： （1）S=底×高 （2）S=AC×BD(AC、BD为对角线) 4.对称性：轴对称，2条对称轴、中心对称。 5.菱形判定方法 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 （4）常考结论：对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 【知识点四、正方形】 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.性质：（1）四条边相等，对边平行。 （2）四个角都是直角。 （3）相等、互相垂直平分，且平分每组对角。 （4）轴对称图形，有4条对称轴、中心对称图形。 3.判定： （1）先证矩形，再证一组邻边相等 → 正方形。 （2）先证菱形，再证一个内角为直角 → 正方形。 （3）平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角 → 正方形。 【知识点五、三大图形性质对比表 】 图形 角的特征 边的特征 对角线特征 矩形 四个角都是直角 对边相等 相等、互相平分 菱形 对角相等，邻角互补 四条边都相等 垂直、互相平分 正方形 四个角都是直角 四条边都相等 相等、垂直、互相平分 【知识点六、易错点与解题技巧】 1.判定区分：已知是平行四边形，优先用角、邻边、对角线判定；未知四边形，优先用“三角直角”“四边相等”直接判定。 2.面积选用：矩形、正方形多用底×高；菱形优先使用对角线乘积的一半计算面积。 3.折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，结合直角、勾股定理列式计算。 4.高频推论：直角三角形斜边中线定理，是矩形衍生必考知识点。 核心题型精讲 题型1.矩形性质基础理解题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 【详解】解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． (1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； (2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解，5 【分析】本题考查矩形的定义，矩形的性质，勾股定理，能够利用方格画图和计算是解题的关键． （1）根据矩形的定义，可以构造出直角，从而画出矩形； （2）利用矩形的性质：对角线互相平分即可得到中点，再利用勾股定理即可计算面积． 【详解】（1） 取格点，，根据网格性质可得，， 则四边形为矩形； （2）解：如图，通过格点构造了矩形，连接与的交点即为，连接； 根据勾股定理得，，， 是的中点， ， ． 题型2.利用矩形性质求角度、线段长 1．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，利用矩形对边平行得到内错角相等求出，最后利用平角的定义计算的度数； 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， 点、、在同一直线上， ． 2．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】 5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 3．如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 题型3.菱形性质简单求解 1．图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，菱形的周长为40，对角线． (1)求的长； (2)求菱形的高 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可知边长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形的周长为40， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设菱形的高为：， 则, ∴， ∴ 则菱形的高为：． 题型4.菱形面积计算与性质证明题 1．图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，则菱形的面积是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出对角线的长，再用菱形面积公式求解． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， ∴， ， ． 2．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 3．如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，然后推出，即可证明是等边三角形； （2）如图，过点D作于点G，利用勾股定理求出，得到，利用勾股定理求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接 ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点D作于点G ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 由（2）得，是等边三角形， ∴ ∴的周长． 题型5.正方形性质基础理解题 1．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形也是平行四边形，这些性质正方形都具备， 选项A，B，D都是正方形和平行四边形都具有的性质，不符合题意； 正方形的对角线互相垂直相等且平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直， 选项C，是正方形具有，而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【分析】过点D作y轴的垂线，垂足为，证明，得到的长度，再运用勾股定理，得到正方形的边长，最后得出正方形的面积． 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 3．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质，可得，，，可得，证明，即可证得结论； （2）连接交于点，由正方形的性质，结合勾股定理，可得，可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 题型6.利用正方形性质求角度、线段、面积 1．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用正方形的性质证明即可求证； （）利用勾股定理求出，进而得到的长，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 题型7.矩形判定基础题 1．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分， 四边形是平行四边形． 选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意； 选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意． 综上，答案选C． 2．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有_______种． 【答案】4/四 【分析】此题考查了矩形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分情况讨论，然后根据矩形的判定和全等三角形的性质和判定定理逐项求解判断即可． 【详解】解：如图所示， 若选择①②③， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择①②④， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择②③④， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择①③④， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 综上所述，可以判定四边形为矩形的选择共有4种． 故答案为：4． 3．如图，平行四边形中，点E、F分别为和边上的点，且满足． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形的对角线与满足条件____________时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当四边形的对角线与满足条件时，四边形为矩形． 题型8.菱形判定基础题 1．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 2．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 3．如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论．请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明（给出一种选择解答即可）． ①；②；③； 【答案】见解析 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定．先根据平移的性质，推出四边形为平行四边形，对于①推出，得到四边形为矩形；对于②，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可；对于③证明，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可． 【详解】解：∵将线段沿过点的直线向右平移至， ∴，， ∴四边形为平行四边形； 当选择①时：四边形为矩形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 当选择②时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形； 当选择③时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 题型9.利用矩形性质求面积、坐标 1．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 【答案】或或 【分析】设点C的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：设点C的坐标为：， 则， ， ， 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 3．如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【答案】点B到原点O的距离为 【分析】该题考查了矩形的性质，勾股定理，先根据已知条件求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴点B到原点O的距离为． 题型10.矩形折叠与斜边中线应用 1．如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 2．如图，在四边形中，，，，连接，点是内任意一点，则当最小时，的最大值为______． 【答案】 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明当点P为的垂直平分线与垂直平分线的交点时，最小，过点C作于点M，过点D作于点N，说明当点P在与的交点处时，最小，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据两点之间线段最短，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 以为边在下边作等边，以为边在下边作等边，连接，，如图所示： 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当D、P、E、F在同一直线上时，最小，即最小， ∴点P在上时，最小， ∵，， ∴点D、F在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即此时点P在的垂直平分线上， 同理可得：同理点P在的垂直平分线上时，最小， ∴当点P为的垂直平分线与垂直平分线的交点时，最小， 过点C作于点M，过点D作于点N，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴当点P在与的交点处时，最小， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∵，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， ∴的最大值为． 3．如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）不妨设交于点，先通过角平分线证明，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，接着证明 ，继而可得 ，即得出的度数 ； （2）延长交的延长线于点，证明，再证垂直平分，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求出的长； （3）延长交的延长线于点，先证明，设，则，在中，由勾股定理解得，，；取中点H，连接，证明，再证明为等腰直角三角形，从而得出． 【详解】（1）解：不妨设交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵，是的中点， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 又，， ∴， ∴． （2）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 又∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知，即， 又，即为的中点， ∴垂直平分， ∴ ， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵为的中点，， ∴， 在中，，， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， 由（2）知， ∴，， 由（1）知，故垂直平分， ∴， 设，由得， 在中，，代入得， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴； 取中点，连接，如图 ， ∵为中点，为中点， ∴且， ∵ ∴， 又， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 题型11.菱形性质与判定综合题 1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等 【答案】A 【详解】解：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形的性质（对角相等，对角线互相平分，对边相等）菱形和矩形都具有，因此可排除B，C，D选项. ∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等但不一定垂直 ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直． 2．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再由平行线的性质结合角平分线的性质得到，等角对等边可得，即可得证； （2）由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 题型12.正方形折叠与重叠面积问题 1．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 2．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【分析】先求出三个正方形的边长，再将面积为2的小正方形分成阴影部分和剩余空白部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 3．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 题型13.正方形判定基础题 1．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B．C．D．平分 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 2．如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是__________．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：由在中，，可知四边形是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①菱；②， 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形， 理由如下： 由（1）可知四边形为平行四边形； ∵是的中点， ∴ ∴平行四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形， 理由如下： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形，， ∴四边形为正方形． 题型14.正方形性质与判定综合题 1．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：；；；④AO＝OE；，其中正确的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，结合可得，利用证明，根据全等三角形的性质逐一判断各结论即可 ； 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ， ， ， ，故正确； ， ， ，即，故正确； 连接， 在中，，且，， ， ，故错误； 且， ，故正确； 综上所述，正确的结论有． 2．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 【答案】正方形 【分析】由作图可知，四边形为菱形，证明，，即得四边形为正方形． 【详解】由作图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， 四边形为正方形． 3．如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，则有，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 (1)如图1，若连接，判断的形状是______； (2)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状为______． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)正方形，理由见解析 (3)矩形 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到边相等和角相等，再通过角的和差推出直角，再结合边相等判断形状； （2）先通过平行线和等腰直角三角形的性质，证明四边形是矩形，再通过等角对等边，证明一组邻边相等，从而判定为正方形； （3）先通过平行线和等腰三角形性质，得到边相等，再用全等三角形证明角相等，进而证明，再结合判定为平行四边形，最后结合直角条件，判定其为矩形． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ，， 四边形为矩形，， ， ， 四边形为正方形． （3）解：， ， ，， ， ， ， 据（2）可知，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 题型15.中点四边形问题 1．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点．    ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 2．在四边形中，已知对角线，顺次连接四边形各边中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边中点，得到四边形．则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】先确定第一次连接各边中点得到的四边形的形状，再推导四边形的形状即可． 【详解】解：在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点， 根据三角形中位线定理，得，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又，， ，即， 平行四边形是矩形， ∴矩形的对角线相等，即， ，，，分别是矩形各边的中点， 根据三角形中位线定理，可得 ， ， ， ， ， ， 由四边相等的平行四边形是菱形，即四边形是菱形． 3．如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用中位线定理证明，,，，从而可得，，于是得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得与互相平分； （2）先证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，从而可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、、、， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴，； ，， ，． 四边形为平行四边形． 与互相平分； （2）解：，理由如下： 与互相平分，和垂直， 四边形为菱形， ∴， ， 即． 题型16.特殊平行四边形对称性与阴影面积计算 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 2．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 题型17.特殊平行四边形动点与线段最值问题 1．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和，，可证，利用全等三角形的性质可得出，，由此可得出四边形是平行四边形，作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，即四边形周长最小，过点作于点，由对称结合矩形的性质可知：、，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， 同理，可得出， 四边形是平行四边形， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时最小，即四边形周长最小， 如下图所示，过点作于点， ，， ， ， ， ． 3．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【答案】(1) (2) (3)①，② (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 题型18.四边形其他综合问题 1．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 _____． 【答案】135°或90°或45° 【分析】由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，然后根据题意画出图形，如图1，当AD＝AC时，证明△ABC是正三角形，求出∠CAD的度数即可得到∠BCD的度数；如图2，当AD＝CD时，证明四边形ABCD是正方形即可；如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，求出∠BCF＝30°，∠ACB＝∠ACE即可求出∠BCD的度数． 【详解】解：∵AC是四边形ABCD的和谐线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB＝AD＝BC， 如图1，当AD＝AC时， ∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°， ∴∠BCD＝60°＋75°＝135°； 如图2，当AD＝CD时， ∴AB＝AD＝BC＝CD， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°； 如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC＝CD，CE⊥AD， ∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE， ∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴BF＝AE， ∵AB＝AD＝BC， ∴BF＝BC， ∴∠BCF＝30°， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∵ABCE， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°， ∴∠BCD＝15°×3＝45°， 综上，∠BCD的度数是：135°或90°或45°， 故答案为：135°或90°或45°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题综合性较强，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 3．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 分层精练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（   ） A．， B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D． 【答案】D 【分析】利用矩形和菱形的判定、平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．平行四边形中，，，故该选项正确，不符合题意； B. 若，则平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. 平行四边形中，但不一定成立，故该选项不正确，符合题意； 2．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 3．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据菱形的性质确定为的中点，再根据中位线定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O， ∴为的中点， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 4．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴. 5．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 二、填空题 6．如图，在矩形纸片中，，，CD边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是________． 【答案】10 【分析】过M作于H，连接，根据矩形的性质和判定证明四边形是矩形，得到，，再根据对称性质得，，设，则，，由勾股定理求得；设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到，则由勾股定理得． 【详解】解：过M作于H，连接，，则，    ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质得， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 7．在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒的速度向点B运动，当时运动停止，此时______． 【答案】260 【分析】如图，过作于，过作于，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，，证明，设，，设运动时间为，求解，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，过作于，过作于，连接，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴设，， ∴， 设运动时间为， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴，，，， ∴， ∴. 9．如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和折叠的性质及三角形全等的判定得到，从而求出然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接交于点O， 由折叠得到， ， 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，，， ． 10．如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点三点共线时，取得最小值， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 三、解答题 11．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，熟练掌握相关的性质和判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形，则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 12．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由菱形的性质可得，则，由题意可得，再利用即可证明； （2）由菱形的性质并结合全等三角形的性质即可得证； （3）根据菱形的性质和直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．阅读理解：邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是正方形，则称原长方形为阶准正方形． 如图，长方形中，若，，则矩形为阶准正方形． 如图，长方形中，，，则矩形是阶准正方形． 探究一： (1)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (2)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (3)长方形中，若，，则长方形是否为阶准正方形，若是，请画图说明并回答它是几阶准正方形；若不是，请说明理由．（提示：不能用铅笔画图） 探究二： (4)已知长方形邻边长分别为，，且是阶准正方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方用含的代数式表示出相应的的值．（提示：不能用铅笔画图） 【答案】(1)2 (2)3 (3)是3阶准正方形，图见解析 (4)见解析 【分析】本题考查规律型图形变化类题目，正方形的性质，阶准正方形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 探究一：根据阶准正方形的定义即可判断； 探究二：画出图形，最后一个长方形的邻边是两倍关系，由此构建方程分别计算即可； 【详解】（1）解：长方形中，若，，如图， 第次操作余下的四边形是正方形， ∴长方形是阶准正方形； 故答案为：2； （2）解：长方形中，若，，如图， 第次操作余下的四边形是正方形， ∴长方形是阶准正方形； 故答案为：3； （3）解：长方形是阶准正方形， 长方形中，若，，如图： 第次操作余下的四边形是正方形， ∴长方形是阶准正方形； （4）解：长方形及剪裁线的示意图，如图所示： 14．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 15．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据折叠的性质，，，矩形中，可得，代入计算得； （2）连接，结合矩形与折叠性质，先证，推导出相关角度；再通过边角关系证明，得，结合，证得是等腰直角三角形； （3）过作，由勾股定理求得，设，分别在与中用勾股定理表示，建立方程解得，最终求出． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ，，， ． 由折叠的性质得：，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ∴， ， 由折叠可得，， ， ， ∵， ∴， ， 又∵，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由折叠的性质可知，， 四边形为矩形， ，． ∵矩形，，， ； 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 设， ；；； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得， ． 在中，由勾股定理得：， ∴， ． 【点睛】本题核心是利用折叠前后边角不变的性质，结合全等三角形、勾股定理求解；通过角度推导、方程思想，将几何关系转化为代数计算，是矩形折叠类问题的典型思路． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05特殊的平行四边形 期末复习讲义 题型梳理归纳 题型1.矩形性质基础理解题 题型2.利用矩形性质求角度、线段长 题型3.菱形性质简单求解 题型4.菱形面积计算与性质证明题 题型5.正方形性质基础理解题 题型6.利用正方形性质求角度、线段、面积 题型7.矩形判定基础题 题型8.菱形判定基础题 题型9.利用矩形性质求面积、坐标 题型10.矩形折叠与斜边中线应用 题型11.菱形性质与判定综合题 题型12.正方形折叠与重叠面积问题 题型13.正方形判定基础题 题型14.正方形性质与判定综合题 题型15.中点四边形问题 题型16.特殊平行四边形对称性与阴影面积计算 题型17.特殊平行四边形动点与线段最值问题 题型18.四边形其他综合问题 题型19.分层精练18道题 重点知识梳理 【知识点一、平行四边形与矩形、菱形、正方形从属关系】 平行四边形 总结：矩形、菱形是特殊平行四边形；正方形是特殊矩形、特殊菱形。 【知识点二、矩形】 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.核心性质 （1）通用性质：具备平行四边形所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 （2） 独有性质：四个角都是90°；对角线相等，即AC=BD。 （3）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。   3.矩形判定方法 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4.矩形常考结论 （1）.对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形。 （2）.计算、折叠题常结合勾股定理解题。 【知识点三、菱形】 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.核心性质 (1)通用性质：具备平行四边形所有性质。 (2)特有性质：四条边全部相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 3.面积公式： （1）S=底×高 （2）S=AC×BD(AC、BD为对角线) 4.对称性：轴对称，2条对称轴、中心对称。 5.菱形判定方法 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 （4）常考结论：对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 【知识点四、正方形】 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.性质：（1）四条边相等，对边平行。 （2）四个角都是直角。 （3）相等、互相垂直平分，且平分每组对角。 （4）轴对称图形，有4条对称轴、中心对称图形。 3.判定： （1）先证矩形，再证一组邻边相等 → 正方形。 （2）先证菱形，再证一个内角为直角 → 正方形。 （3）平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角 → 正方形。 【知识点五、三大图形性质对比表 】 图形 角的特征 边的特征 对角线特征 矩形 四个角都是直角 对边相等 相等、互相平分 菱形 对角相等，邻角互补 四条边都相等 垂直、互相平分 正方形 四个角都是直角 四条边都相等 相等、垂直、互相平分 【知识点六、易错点与解题技巧】 1.判定区分：已知是平行四边形，优先用角、邻边、对角线判定；未知四边形，优先用“三角直角”“四边相等”直接判定。 2.面积选用：矩形、正方形多用底×高；菱形优先使用对角线乘积的一半计算面积。 3.折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，结合直角、勾股定理列式计算。 4.高频推论：直角三角形斜边中线定理，是矩形衍生必考知识点。 核心题型精讲 题型1.矩形性质基础理解题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． (1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； (2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 题型2.利用矩形性质求角度、线段长 1．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 3．如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 题型3.菱形性质简单求解 1．图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 3．如图，菱形的周长为40，对角线． (1)求的长； (2)求菱形的高 题型4.菱形面积计算与性质证明题 1．图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，则菱形的面积是（   ） A．4 B． C．2 D． 2．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 3．如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 题型5.正方形性质基础理解题 1．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 3．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型6.利用正方形性质求角度、线段、面积 1．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 3．如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 题型7.矩形判定基础题 1．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有_______种． 3．如图，平行四边形中，点E、F分别为和边上的点，且满足． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形的对角线与满足条件____________时，四边形为矩形． 题型8.菱形判定基础题 1．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 3．如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论．请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明（给出一种选择解答即可）． ①；②；③； 题型9.利用矩形性质求面积、坐标 1．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 3．如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      题型10.矩形折叠与斜边中线应用 1．如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 2．如图，在四边形中，，，，连接，点是内任意一点，则当最小时，的最大值为______． 3．如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 题型11.菱形性质与判定综合题 1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等 2．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型12.正方形折叠与重叠面积问题 1．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 3．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 题型13.正方形判定基础题 1．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B．C．D．平分 2．如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是__________．（只填一个条件即可） 3．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 题型14.正方形性质与判定综合题 1．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：；；；④AO＝OE；，其中正确的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 3．如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，则有，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 (1)如图1，若连接，判断的形状是______； (2)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状为______． 题型15.中点四边形问题 1．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．在四边形中，已知对角线，顺次连接四边形各边中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边中点，得到四边形．则四边形的形状为______． 3．如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 题型16.特殊平行四边形对称性与阴影面积计算 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 2．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 3．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    题型17.特殊平行四边形动点与线段最值问题 1．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 2．如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 3．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 题型18.四边形其他综合问题 1．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 2．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 _____． 3．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 分层精练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（   ） A．， B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D． 2．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D．9 4．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在矩形纸片中，，，CD边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是________． 7．在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 8．如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒的速度向点B运动，当时运动停止，此时______． 9．如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 10．如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 三、解答题 11．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 12．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，，求的长． 13．阅读理解：邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是正方形，则称原长方形为阶准正方形． 如图，长方形中，若，，则矩形为阶准正方形． 如图，长方形中，，，则矩形是阶准正方形． 探究一： (1)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (2)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (3)长方形中，若，，则长方形是否为阶准正方形，若是，请画图说明并回答它是几阶准正方形；若不是，请说明理由．（提示：不能用铅笔画图） 探究二： (4)已知长方形邻边长分别为，，且是阶准正方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方用含的代数式表示出相应的的值．（提示：不能用铅笔画图） 14．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 15．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $