第十章 课时作业2 用样本估计总体-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦用样本估计总体核心统计量，通过分层题型构建“概念理解-图表应用-综合实践”的方法体系，强化数据意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础统计量|单选1-6、填空10-11|平均数/中位数/方差计算与比较，百分位数定位方法|从基本统计量定义到性质辨析，构建集中趋势与离散程度的认知框架| |图表分析|单选2、3、7，填空12|频率分布直方图中平均数/众数/百分位数求解，数据分布形态判断|以图表为载体，建立统计量与数据分布的直观联系| |综合应用|多选8-9、解答13-14|分层抽样比例计算，总体平均数方差推导，正态分布应用|整合统计量与抽样方法，形成从样本到总体的推断逻辑链|

课时2 用样本估计总体 一、单选题 1.（2025·新高考Ⅱ卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2．(2026·安徽市安庆二模)在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分)，将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为(　 　) A．80 B．78 C．76 D．74 3.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图所示两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(     ) A. a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B. a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C. a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D. a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 4.某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为1,2,2，m,6,2,8，若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m＝(　 　) A．2 B．3 C．6 D．7 5. (2026·江西赣州市模拟)已知甲、乙两组数据分别为22,21,24,23,25,20和25,22，a,26,23,24．若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则(　 　) A．甲、乙两组数据的极差不同 B．乙组数据的中位数为24 C．甲、乙两组数据的方差相同 D．甲组数据的第一四分位数为21.5 6．（2026·山东潍坊市模拟）已知甲、乙两名学生的8次数学测试成绩（单位：分）如下表，，分别表示甲、乙两名学生数学成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名学生数学成绩的标准差，则有(　 　) 甲 78 79 83 84 86 87 91 92 乙 77 78 84 85 85 86 92 93 A. >，s1<s2 B．＝，s1<s2 C. ＝，s1＝s2 D．<，s1>s2 二、多选题 7. (2026·山东泰安模拟)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　 　) A．m＝0.03 B．样本质量指标值的平均数为75 C．样本质量指标值的众数小于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为85 8、有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则有 （ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 9. 某公司在甲销售区域有10家分公司，在乙销售区域有20家分公司．2022年该公司在甲销售区域的10家分公司的销售额（单位：百万元）的平均数为23，方差为100，在乙销售区域的20家分公司的销售额的平均数为20，方差为50，则关于2022年该公司在甲、乙两销售区域的总体平均数和总体方差，下列叙述正确的有〔参考数据：，〕 （ ） A． B． C． D． 三、填空题 10、已知按从小到大排列的一组数据：1,5，a,10,11,13,15,21,42,57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a＝__ __． 11.(2026·河南新乡市期末)若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为，则a1，a2，a3，a4，a5,9这6个数的平均数为_ __，方差为__ _． 12. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下： ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4． 则4组样本中一定符合入冬指标的有 .（填序号） 四、解答题 13.(2026·福建福州市高三期末)为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x的值和80百分位数； (2)为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用比例分配的分层随机抽样的方法选取36人做进一步调查，求应选取评分在[60，70)的游客人数； (3)若游客的“认可系数”(认可系数＝)不低于0.85.餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由． 14、（2026·安徽合肥模拟）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 参考数据：． 课时2 用样本估计总体参考答案 1.C【解析】样本数据的平均数为.故选C. 2．B【解析】由0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＝0.4,0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.7，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]，设这次调查数据的第64百分位数为x，则有＝，解得x＝78．故选B. 3.A【解析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选A. 4.D【解析】这组数据的平均数为＝，除m外，将数据按升序排列可得1,2,2,2,6,8，结合m的任意性可知中位数为2，则＝2×2，解得m＝7．故选D. 5. C【解析】由乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，设甲、乙两组数据平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则1＝＝22.5，2＝．由2＝1＋2，即＝22.5＋2＝24.5，解得a＝27，所以两组数据极差均为5，故A错误. 乙组数据按从小到大排列为22,23,24,25,26,27，则中位数为＝24.5，故B错误. 对于选项C，s＝[(22－22.5)2＋(21－22.5)2＋(24－22.5)2＋(23－22.5)2＋(25－22.5)2＋(20－22.5)2]＝，s＝[(25－24.5)2＋(22－24.5)2＋(27－24.5)2＋(26－24.5)2＋(23－24.5)2＋(24－24.5)2]＝，所以s＝s，所以甲、乙两组数据的方差相同，故C正确. 对于选项D，甲组数据按从小到大排列为20,21,22,23,24,25，由i＝6×＝1.5，知第一四分位数为21，所以D错误．故选C. 6．B【解析】由题意可得，＝×(78＋79＋83＋84＋86＋87＋91＋92)＝85，＝×(77＋78＋84＋85＋85＋86＋92＋93)＝85，s＝×[(78－85)2＋(79－85)2＋(83－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2＋(91－85)2＋(92－85)2]＝，s1＝，s＝×[(77－85)2＋(78－85)2＋(84－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(86－85)2＋(92－85)2＋(93－85)2]＝，s2＝，所以＝，s1<s2.故选B. 7. ACD【解析】由题意知(0.010＋0.015＋0.035＋m＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，故A正确； 样本质量指标值的平均数为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5，故B错误； 样本质量指标值的众数是＝75＜76.5，故C正确； 前3组的频率之和为(0.010＋0.015＋0.035)×10＝0.60，前4组的频率之和为0.60＋0.030×10＝0.90，故第75百分位数位于第4组，设其为t，则(t－80)×0.030＋0.60＝0.75，解得t＝85，即第75百分位数为85，故D正确．故选ACD. 8、BD【解析】对于选项A，设的平均数为，的平均数为，则，因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得，A错误. 对于选项B，不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，B正确. 对于选项C，因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，例如：，则平均数，方差 ，所以 标准差，，则平均数， 标准差，显然，即，C错误. 对于选项D，不妨设，则，当且仅当时，等号成立，D正确.故选BD. 9. BC【解析】由已知，得．设甲销售区域的家分公司的销售额为，则，整理得.设乙销售区域的家分公司的销售额为，则，整理得．所以．故选BC. 10、6【解析】由题知这组数据的极差是57－1＝56．由于10×30%＝3，故第30百分位数为，故56＝7×，所以a＝6． 11.4；8 【解析】依题意，这6个数的平均数为＝4，又(a－5×32)＝，得a＝63，所以这6个数的方差为(a＋92－6×42)＝(63＋92－6×42)＝8． 12.②④【解析】①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标. ②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7，与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标. ③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标. ④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标. 13.【解】 (1)由题图可知，10×(x＋0.015＋0.020＋0.030＋0.025)＝1，解得x＝0.010.因为 [50，90)内的频率为0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75<0.8，所以第80百分位数位于区间[90，100]内，设为m，所以0.75＋(m－90)×0.025＝0.8，解得m＝92，所以第80百分位数为92. (2)低于80分的学生中三组学生的人数比为0.1∶0.15∶0.2＝2∶3∶4，则应选取评分在 [60，70)的学生人数为36×＝12. (3)由题图可知，认可程度平均分为＝55×0.1＋65×0.15＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.25＝ 79.5<0.85×100＝85，所以餐饮服务工作需要进一步整改． 14、（1）【证明】 .，同理．所以. （2）【解】将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为，则，所以.又，所以．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． （3）【解】由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布，所以．．故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． . 学科网（北京）股份有限公司 $