第58练　用样本估计总体-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 第58练“用样本估计总体”聚焦描述统计核心知识，通过基础巩固、综合应用、实际建模三层设计，实现从概念理解到数据分析的递进，适配一轮复习对知识系统性与应用性的需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|众数、中位数、频率分布直方图|以鞋店销售、气温分布等情境题，强化概念辨析与基本计算，培养数据意识| |提升层|方差、百分位数、数据比较|通过球员得分分析等多选题，深化统计量关系推理，发展运算能力与逻辑思维| |综合层|统计图表应用、实际问题建模|结合睡眠调研解答题，整合图表补全与方差计算，提升用数学语言解决现实问题的能力|

第58练　用样本估计总体 1.某鞋店试销一种新款女鞋,销售情况如下表: 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理,那么下列统计量中对你来说最重要的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.极差 2.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图(如图所示),则a的值为 (　 ) A.0.20 B.0.040 C.0.020 D.0.015 3.[2025·河北保定二模] 现有一组数据1,4,5,6,4,5,4,若删除一个数后,所得数据的中位数不变,则被删除的数为 (　 ) A.1 B.6 C.5或6 D.1或6 4.某地区中午11时到夜里23时的气温分布如图所示,关于这5个时刻的温度,以下说法错误的是 (　 ) A.5个时刻温度的极差为7 B.5个时刻温度的中位数为9 C.平均温度为5 ℃ D.下午17时温度最高 5.(多选题)如图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图,根据统计图,下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是 (　 ) A.超过的大学生更爱使用购物类APP B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C.使用APP偏好情况中,7个占比数字的极差是23% D.APP使用目的中,6个占比数字的40%分位数是14.0% 6.[2025·天津和平区二模] 某人工智能公司为优化新开发的语言模型,在其模型试用人群中开展满意度问卷调查,满意度采用计分制(满分100分),根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图,图中m=2n,则下列结论不正确的是 (　 ) A.n=0.015 B.估计满意度分数的众数为75 C.估计满意度分数的平均数为79 D.估计满意度分数的第25百分位数为70 7.[2025·湖北武汉武昌区5月质检] 某商场为优化服务,对顾客做满意度问卷调查,满意度采用计分制(满分100分).现随机抽取了其中10个数据,依次为80,87,96,88,89,92,93,91,95,95,则这组数据的下四分位数为　　　　.  8.根据如图所示的频率分布直方图作出以下判断,正确的是 (　 ) A.平均数=中位数=众数 B.众数<中位数<平均数 C.平均数<众数<中位数 D.平均数<中位数<众数 9.[2026·杭州一模] 设样本数据x1,x2,…,x2025的平均数、中位数、众数和标准差分别为a,b,c,d.当取得最小值时,k= (　 ) A.a B.b C.c D.d 10.(多选题)[2025·厦门四模] 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示,则 (　 ) A.甲得分的极差大于乙得分的极差 B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 11.(多选题)[2025·河北邯郸模拟] 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据,已知三位球员得分情况的数据满足以下条件. 甲球员:5个数据的中位数是25,众数是23; 乙球员:5个数据的中位数是28,平均数是26; 丙球员:5个数据中只有1个是30,平均数是25,方差是10. 根据以上统计数据,下列结论一定正确的是 (　 ) A.甲球员连续5场比赛的得分都不低于23分 B.乙球员连续5场比赛的得分都不低于23分 C.丙球员连续5场比赛的得分都不低于23分 D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 12.若样本数据xi(i=1,2,3,4,5)的平均数为4,(i=1,2,3,4,5)的平均数为22,则样本数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1,9的方差为　　　　.  13.睡眠是守卫健康的忠臣,小周同学就高三年级学生的睡眠问题展开了一次调研活动. (1)小周同学随机调查了振兴中学高三年级十个班级的单个学生高三上学期平均睡眠时长(单位:h)所在区间的人数分布,请补全这张统计表(横向代表班级序号,纵向代表平均睡眠时长所在区间,框内数据代表人数)与频率分布直方图,并通过频率分布直方图估计振兴中学高三年级学生平均睡眠时长的60%分位数(作图不要求写出过程). * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 [3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 (5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 (6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (8,9] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 (2)小周同学又随机收集了100名学生的具体平均睡眠时长,其中男生有60人,平均睡眠时长的平均数与方差分别为6.3 h与12.06;女生有40人,平均睡眠时长的平均数与方差分别为6.8 h与13.01.请根据以上数据计算出这100名学生的平均睡眠时长的方差. 第58练　用样本估计总体 1.B　[解析] 鞋店经理最关心的是哪个鞋号的日销量最大,所以最重要的是众数.故选B. 2.C　[解析] 由频率分布直方图可知,0.1+10a+0.45+10a+0.05=20a+0.6=1,解得a=0.020.故选C. 3.C　[解析] 将数据1,4,5,6,4,5,4按照从小到大的顺序排列为1,4,4,4,5,5,6,则原数据的中位数为4.若删除一个数后,所得数据的中位数不变,则被删除的数为5或6.故选C. 4.B　[解析] 由图可知,5个时刻温度的极差为9-2=7,故A中说法正确;中位数为4,故B中说法错误;平均温度为×(2+3+4+7+9)=5(℃),故C中说法正确;比较几个数值可知下午17时温度最高,故D中说法正确.故选B. 5.CD　[解析] 对于A选项,更爱使用购物类APP的大学生的比例为25.7%<,故A错误;对于B选项,为了学习与生活需要使用APP的大学生的比例为34.3%+14%=48.3%<50%,故B错误;对于C选项,使用APP偏好情况中,7个占比数字的极差为25.7%-2.7%=23%,故C正确;对于D选项,将APP使用目的中的6个占比数字按从小到大的顺序排列为0.6%,8.4%,14%,16.3%,26.4%,34.3%,又6×40%=2.4,所以40%分位数为第3个数据,即为14.0%,故D正确.故选CD. 6.C　[解析] 对于A,由频率分布直方图可得(0.01+n+0.035+m+0.01)×10=1,又m=2n,所以n=0.015,m=0.03,故A中结论正确;对于B,估计满意度分数的众数为最高矩形底边中点的横坐标,为75,故B中结论正确;对于C,估计满意度分数的平均数为(55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+95×0.01)×10=76.5,故C中结论不正确;对于D,前两组的频率之和为0.25,所以估计满意度分数的第25百分位数为70,故D中结论正确.故选C. 7.88　[解析] 将10个数据从小到大排列为80,87,88,89,91,92,93,95,95,96,又10×25%=2.5,所以这组数据的下四分位数为88. 8.B　[解析] 众数是最高矩形底边中点对应的横坐标,所有矩形的面积之和为1,显然前两个矩形的面积之和小于0.5,所以众数<中位数,又频率分布直方图呈现“右拖尾”形态,使得平均数受极端值影响会被拉向右侧,大于中位数,所以众数<中位数<平均数.故选B. 9.A　[解析] 令f(k)= 10.BC　[解析] 对于A,甲5场比赛的得分由低到高排列为15,16,18,21,30,乙5场比赛的得分由低到高排列为4,10,16,22,38,则甲得分的极差为30-15=15,乙得分的极差为38-4=34,显然甲得分的极差小于乙得分的极差,故A错误;对于B,甲得分的平均数为=20,乙得分的平均数为=18,因为20>18,所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数,故B正确;对于C,甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,显然甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;对于D,甲得分的方差为×[(15-20)2+(16-20)2+(18-20)2+(21-20)2+(30-20)2]=29.2,乙得分的方差为×[(4-18)2+(10-18)2+(16-18)2+(22-18)2+(38-18)2]=136,因为136>29.2,所以甲得分的方差小于乙得分的方差,故D错误.故选BC. 11.AD　[解析] 对于A,设甲球员连续5场比赛的得分从小到大排列为x1,x2,x3,x4,x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5,由题知x3=25,且23至少出现2次,故x1=x2=23,故A正确.对于B,设乙球员连续5场比赛的得分从小到大排列为y1,y2,y3,y4,y5,则y1≤y2≤y3≤y4≤y5,由题知y3=28,取y1=20,y2=22,y4=30,y5=30,可得其平均数为26,满足要求,但有2场比赛的得分低于23分,故B错误.对于C,设丙球员连续5场比赛的得分从小到大排列为z1,z2,z3,z4,z5,假设z1=30,则z2,z3,z4,z5>30,此时与已知矛盾.同理可得z2=30,z3=30,z4=30也与已知矛盾.假设z5=30,则由已知得[(z1-25)2+(z2-25)2+(z3-25)2+(z4-25)2+(z5-25)2]=10,所以(z1-25)2+(z2-25)2+(z3-25)2+(z4-25)2+(z5-25)2=假设≤23,则≤23,所以z1+z2+z3+z4≤92,与z1+z2+z3+z4=95矛盾,所以>23,所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23,故D正确.故选AD. 12.20　[解析] 由样本数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为4,得x1,x2,x3,x4,x5,4的平均数为4,由,,,,的平均数为22,得因此x1,x2,x3,x4,x5,4的方差为21-42=5,所以2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1,9的方差为4×5=20. 13.解:(1)补全统计表如图: * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 [3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60 (5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120 (6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (8,9] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14 补全频率分布直方图如图. 由频率分布直方图可知,从左到右各组的频率分别为0.012,0.12,0.24,0.48,0.12,0.028, 因为0.012+0.12+0.24=0.372,0.012+0.12+0.24+0.48=0.852, 所以60%分位数位于(6,7]内,设其为x,则0.012+0.12+0.24+0.48(x-6)=0.6,解得x=6.475, 所以估计振兴中学高三年级学生平均睡眠时长的60%分位数为6.475. (2)这100名学生的平均睡眠时长的平均数=×6.3+×6.8=6.5(h),则这100名学生的平均睡眠时长的方差s2=×[12.06+(6.3-6.5)2]+×[13.01+(6.8-6.5)2]=12.5. 学科网（北京）股份有限公司 $