第十章 课时作业3 回归分析-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦回归分析全链条，以题载法构建“概念辨析-方程求解-实际应用”逻辑体系，强化数学思维与数据意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|5题（含高考真题）|相关关系判断、相关系数意义及范围|从相关关系识别到统计量刻画，形成概念认知链| |回归方程求解与应用|6题（含模拟题）|回归方程参数计算、残差分析、预测应用|基于样本中心构建方程，通过残差检验模型拟合| |综合应用与拓展|2题（含实际问题）|非线性回归线性化、优化决策|从线性回归延伸至非线性转化，提升数据建模能力|

课时3 回归分析 一、单选题 1. 某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率/(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是(　 　) A．利润率与人均销售额呈正相关关系 B．利润率与人均销售额呈负相关关系 C．利润率与人均销售额呈正比例函数关系 D．利润率与人均销售额呈反比例函数关系 2. 对变量X，Y，有下列观测数据，，，，对变量U，V，有下列观测数据，，，，.用表示变量X，Y之间的样本相关系数，表示变量U，V之间的样本相关系数，则(     ) A. B. C. D.    3．（2026·天津高考）下列说法中错误的是　　 A．若，则 B．若，，，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 4．(2026·四川宜宾市高三统考期末)已知一组数据(xi，yi)(1≤i≤10且i∈Z)的经验回归方程为＝7x＋a，若xi＝70，yi＝500，则a＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为（     ） A．0 B． C．1 D．2 6、 在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x5，y5)，(6,28)，(0,28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为＝x＋. 现发现数据(6,28)和(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为＝4x＋m，且 yi＝140，则m＝(　 　) A．8 B．12 C．16 D．20 二、多选题 7、对两组数据进行统计后得到的散点图如图，下列关于其样本相关系数的结论正确的有(　 　) 　　 A．r1＜0 B．r2＞1 C．r1＋r2＞0 D．|r1|＞|r2| 8.(2026·河北邢台市模拟)下列命题为真命题的有(　 　) A．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1－1,3x2－1,3x3－1,3x4－1,3x5－1,3x6－1的方差为17 B．一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，求得经验回归方程为＝2x＋0.4，则c，k的值分别是e0.4和2 9. (2026·山东济南市模拟)已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为＝1.25x＋4.25，则有(　 　) A．y与x呈正相关 B．m＝7 C．样本数据y的第60百分位数为8 D．各组数据的残差和为0 三、填空题 10、（2026·安徽阜阳市模拟）假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为 ＝0.81x＋25.82．已知父亲身高为175 cm，则估计女儿的身高是 Cm.(结果保留整数)． 11. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能耗y(单位：t)的几组对应数据： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 如果根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程是＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为__ __． 12.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如下表格所示： 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 得到与的线性回归方程，则___________. 四、解答题 13.（2026·湖北黄冈市模拟）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1) 由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以证明； (2) 求y关于x的经验回归方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：xiyi＝24.5， (yi－)2＝1.26，≈3.55． 14.5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据，结果如下： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 收益y/亿元 3 7 9 10 11 (1)利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）. (2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答问题： ①若要使得生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元） ②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资元所获得的收益y近似满足，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使得所获得的总收益P最大？ 参考公式：样本相关系数，回归直线方程的斜率，截距 课时3 回归分析参考答案 1. A【解析】由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．故选A. 2. C【解析】由条件可知第一组中的数据负相关，样本相关系数小于零;第二组中的数据正相关，样本相关系数大于零，所以有故选C. 3．B【解析】对于选项，由正态分布的性质可知，当时，则，故正确； 对于选项，由正态分布的性质可知，当，，，时，，故正确； 对于选项，，由相关系数的性质可知，越接近1，相关性越强，越接近0，相关性越弱，故，正确．故选． 4．C【解析】由于xi＝70， yi＝500，所以＝7，＝50，将(7,50)代入＝7x＋a，所以7×7＋a＝50，解得a＝1．故选C. 5.B【解析】 将代入，，去除两个样本点和后，所以，，，故去除样本点和后的回归直线方程为．当时，，则样本的残差为．故选B. 6.C【解析】设未剔除这两对数据前的x，y的平均数分别为，，剔除这两对数据后的x，y的平均数分别为′，′.因为 yi＝140，所以′＝＝28，则′＝＝．又这两对数据为(6,28)，(0,28)，所以＝×(140＋56)＝28，＝×(7－166)＝3，所以′＝＝，解得m＝16．故选C. 7、AC【解析】由散点图可知，样本相关系数r1的图象表示y与x负相关，故－1＜r1＜0，故A正确； 样本相关系数r2的图象表示y与x正相关，故1＞r2＞0，故B错误； 因为样本相关系数r2的点较样本相关系数r1的点密集，故|r2|＞|r1|，故r1＋r2＞0，故C正确，D错误．故选AC. 8.BCD【解析】对于选项A，若样本数据x1，x2，…，x6的方差为2，则数据3x1－1,3x2－1,3x3－1,3x4－1,3x5－1,3x6－1的方差为32×2＝18≠17，故A错误； 对于选项B,5×80%＝4，则其第80百分位数是＝11.5，故B正确； 对于选项C，根据决定系数的含义知R2越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对于选项D，以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，则z＝lny＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，又已知经验回归方程为 ＝2x＋0.4，则lnc＝0.4，k＝2，故c，k的值分别是e0.4和2，故D正确．故选BCD. 9. AD【解析】由经验回归方程知1.25＞0，所以y与x正相关，故A正确； 由表格数据及经验回归方程易知＝3，＝1.25×3＋4.25＝⇒m＝7.5，故B错误；易知5×60%＝3，所以样本数据y的第60百分位数为＝8.5，故C错误； 由经验回归方程知x＝1,2,3,4,5时对应的预测值分别为＝5.5,6.75,8,9.25,10.5，对应残差分别为－0.5,0.75,0，－0.25,0，显然残差之和为0，故D正确．故选AD. 10、168【解析】当x＝175时，＝0.81x＋25.82＝0.81×175＋25.82≈168． 11. 3【解析】由经验回归直线过点(，)，即＝0.7＋0.35，得＝0.7×＋0.35，解得t＝3． 12.【解析】由已知，得，，所以，解得.所以.由，得，所以，所以. 13.【解】（1）由题意知＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(0.8＋1＋1.3＋1.7＋2.2)＝1.4， (xi－)2＝4＋1＋ 0＋1＋4＝10，所以r＝＝＝≈≈0.986，因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系． （2）＝＝＝0.35，＝－＝1.4－0.35×3＝0.35，所以y关于x的经验回归方程为＝0.35x＋0.35．当x＝7时，＝0.35×7＋0.35＝2.8，由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千． 14.【解】（1），，，，， 所以．可以用线性回归模型拟合y与x的关系． （2）因为，所以，所以y关于的经验回归方程为. ①令，得，解得，所以若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入6.684亿元研发资金． ②设B部件的研发投入为亿元，则A部件的研发投入为亿元，总收益.求导，得.令得，.当时，，故P单调递增；当，，故P单调递减，所以当时，P取得最大值22亿元．所以该科技集团在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿元的研发资金，可使所获得的总收益P最大． . 学科网（北京）股份有限公司 $