1.3.乘法公式期末练习卷2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦乘法公式（平方差、完全平方）的系统性训练，通过基础计算、几何直观与综合变形，构建“概念-图形-应用”三阶逻辑体系，培养运算能力与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-2、10，填空11，解答16|公式直接应用与辨析（如平方差公式结构特征、完全平方公式符号规则）|从公式定义出发，通过正逆运算巩固基本形态| |几何直观|单选3、5、8、9，解答18、20|图形面积与公式转化（如用正方形面积差推导平方差公式）|以几何图形为载体，建立代数公式的直观表征| |综合变形|单选4、7，填空12、13，解答17、19|公式逆向变形与参数求值（如完全平方公式变形求ab值）|结合方程思想，实现公式从静态到动态的灵活应用|

3.乘法公式期末练习卷2025-2026学年北师大版 七年级数学下册 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．若 ，则代数式M 应为（     ） A． B． C． D． 5．如图，将小正方形纸片叠放在大正方形纸片上，使得点在边上，点在边上，连接，．当且两张正方形纸片的面积和为52时，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．16 C．12 D．10 6．一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 7．若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 8．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 9．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 二、填空题 11．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________． 12．已知，求的值为_______． 13．已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 14．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 15．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．一个圆的半径为，半径减少后，这个圆的面积减少多少？ 18．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 19．请在下列横线上填上适当的式子： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1是一个面积为的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和4个长、宽分别为a和b的长方形，可得到乘法公式． (1)如图2，若，则图中阴影部分面积的值为 ； (2)若，求代数式的值； (3)观察图3，可得到乘法公式： ； (4)根据以上知识，解决问题：已知，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A D D B B C C 1．D 【分析】运用同底数幂的乘法法则、完全平方公式、同类项概念、平方差公式逐一判断选项． 【详解】解：A：，故A计算错误； B：，故B计算错误； C：与不是同类项，不能合并，故C计算错误； D：，故D计算正确． 2．C 【分析】根据平方差公式先对原式变形化简，再对比各选项即可得到结果； 【详解】解：， A选项，与原式结果不相等； B选项，与原式结果不相等； C选项，与原式结果相等； D选项，与原式结果不相等． 3．A 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意，，再表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 4．A 【分析】依次代入，根据平方差公式和完全平方公式进行运算，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 5．D 【分析】延长交于点H，设大正方形纸片的边长为a，小正方形纸片的边长为b，得出，确定，再由完全平方公式得出，结合图形得出阴影部分的面积为：． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： 设大正方形纸片的边长为a，小正方形纸片的边长为b， 根据题意得：， ∴即， 解得：， ∴， ∴（负值舍去）， 根据题意得：， ∴阴影部分的面积为：． 6．D 【分析】本题考查了长方体的得体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可； 【详解】解：长方体的体积长宽高； ∴长方体的体积 ； 故选：D． 7．B 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 8．B 【分析】根据题意可得，，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 9．C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 10．C 【分析】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【详解】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 11． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ，即. 12．27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 13．②③/③② 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 14．8 【分析】此题主要考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，最接近300的倍数为289，设则令进而即可求解． 【详解】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为L，它必须是整数．同时也为整数， ∴也为整数， ∵最接近300的平方数为， 。 ∴， ∴x+y的最小值为8， 故答案为：8． 15． 64 5 【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解 【详解】通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 …… 故第n行第n列数字为：， 则第n行第1列数字为：，即+1 设2021是第n行第m列的数字，则： 即,可以看作两个连续的整数的乘积， 为正整数， 当时， 故答案为：64，5 【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键． 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17． 【分析】先根据圆的面积公式分别求出原圆和半径减少后的圆的面积，再作差，利用完全平方公式化简即可得到结果． 【详解】解：由题意得，原来圆的面积为，半径减少后，新圆的半径为，新圆面积为， 减少的面积，为：． 18．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 19．(1)； (2)；； (3)1；3 (4)；10 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 20．(1) (2)3 (3) (4)19 【分析】（1）注意到阴影面积，故只需利用完全平方公式的变形求出即可； （2）设，则，，然后利用完全平方公式的变形求出即可； （3）图3正方形边长为分割成小图形后面积相加，得展开式； （4）由结合（3）的结论可得；将乘2得，代入得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影面积． （2）解：∵， ∴， 设， 则，， ∴， 即； （3）解：图3正方形边长为，面积为，正方形的面积也可以表示为， ∴； （4）解：∵，， 且， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $