第九章 课时作业4 事件的独立性与条件概率-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦事件独立性与条件概率，覆盖核心知识点，分层设计题型，注重实际应用与逻辑推理，培养数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|单选1-4、填空10|独立事件概率、条件概率公式直接应用|从独立事件定义到条件概率公式推导，构建概率计算基础| |概念辨析|多选7-9|独立性判断、条件概率性质辨析|通过互斥与独立关系对比，深化概率基本性质理解| |实际应用|单选5-6、填空11、解答13|疾病检测、产品合格率等情境问题|运用全概率公式整合多因素概率，体现数学建模思想| |综合情境|解答14|多局比赛概率分析|结合分步计数与条件概率，培养复杂问题逻辑推理能力|

课时4 事件的独立性与条件概率 一、单选题 1．（2025·上海高考）已知事件，相互独立，事件发生的概率为（A），事件发生的概率为（B），则事件发生的概率=　　 A． B． C． D．0 2．(2026·重庆模拟预测)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝(　 　) A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州市模拟）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(　 　) A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 4．20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是(　 　) A． B． C． D． 5．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 6．(2026·湖南长沙市第一中学期末)每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天使用电子产品超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天使用电子产品不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 7．已知事件A，B，且，则有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么 8．(2026·福建厦门市模拟)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则有(　 　) A．P(A1)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A1)＝ D．P(A2|B)＝ 9、(2026·湖北武汉市模拟)设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列说法正确的有(　　) A．P(B|A)＋P(|A)＝1 B．P(B|A)＋P(B|)＝0 C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝P(B) 三、填空题 10．袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 11．（2026·江西南昌市模拟）有A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为__ __；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为__ _． 12、对于随机事件，若，，，则 . 四、解答题 13．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02.现从该厂的这一产品中任取一件，问：抽到不合格品的概率是多少？ 14．（2026·江西新余市模拟）甲、乙、丙三人下围棋，已知甲胜乙、丙两人的胜率均为，乙胜丙的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一局比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一局轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两局比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛甲轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终甲获胜的概率. (3)若已知乙第一局未轮空且获胜，在此条件下求甲最终获胜的概率. 课时4 事件的独立性与条件概率参考答案 1．B【解析】因为事件，相互独立，（A），（B），所以（A）P（B）．故选． 2．C【解析】由已知有P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝.故选C. 3．A【解析】报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记事件A＝“某人报足球俱乐部”，事件B＝“某人报乒乓球俱乐部”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝0.8．故选A. 4．B【解析】设事件A表示“抽到的两张都是假币”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假币”，则所求的概率即P(A|B).又P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，由公式P(A|B)＝＝＝＝.故选B. 5．C【解析】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，， ， 则.故选C. 6．A【解析】 令事件A1＝“任意调查一名学生，其每天使用电子产品时间超过1 h”，A2＝“任意调查一名学生，其每天使用电子产品时间不超过1 h”，B＝“任意调查一名学生，此人近视”，则样本空间Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.8，P(B|A1)＝0.5，P(B)＝0.45.依题意，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.2×0.5＋0.8×P(B|A2)＝0.45，解得P(B|A2)＝，所以所求概率为.故选A. 7．ABD 【解析】 对于选项A，由BA，则，A正确. 对于选项B，由BA，则，B正确. 对于选项C，如果A与B相互独立，则，，C错误. 对于选项D，由C分析及事件关系，知P()=1=0.42，D正确.故选ABD． 8．ABD【解析】依题意可得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，故A正确，B正确，C错误；P(A2|B)＝＝＝＝，故D正确．故选ABD. 9、AC【解析】P(B|A)＋P(|)＝＝1，故A正确； 当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)＋P()＝2P(B)≠0，故B错误； 因为A，B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)，故C正确； 因为A，B是互斥事件，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝0，而P(B)∈(0,1)，故D错误． 故选AC. 10．；【解析】两次都摸到红球的概率为，第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出. 11．；【解析】设“甲选到A”为事件D，“乙选到A”为事件M，“乙选到B”为事件N，则甲选到A的概率为P(D)＝＝；乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝＝＝． 12、【解析】，又，所以.因为，所以. 13．【解】设A＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，Bi＝“任取一件这种产品，结果是第i条流水线的产品”(i＝1，2，3，4)，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥.根据题意，P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02.由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5，故从该厂产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.031 5. 14．【解】（1）第一场比赛乙获胜时，则第二场甲获胜，第三场丙获胜，满足题意；第一场比赛丙获胜时，则第二场甲获胜，第三场乙获胜，满足题意.所以需要下第四场比赛的概率为 （2）由题意，最终甲获胜的情况如下，当甲第一场轮空，第一场乙胜丙输，第二场甲胜乙输，第三场甲胜丙输，此时，第一场丙胜乙输，第二场甲胜丙输，第三场甲胜乙输，此时，则甲获胜.当甲第一场不轮空，第一场乙胜甲输，第二场丙胜乙输，第三场甲胜丙输，第三场甲胜乙输，此时，第一场甲胜乙输，第二场丙胜甲输，第三场乙胜丙输，第四场甲胜乙输，此时，第一场甲胜乙输，第二场甲胜丙输，此时，所以第一场乙与甲比赛，甲获胜概率为，同理，第一场丙与甲比赛，甲获胜概率为，故甲获胜概率为 （3）方法一：设A：甲最终获胜；B：乙第一场未轮空且获胜，则，结合（2）知， 方法二：第一场丙轮空时，甲最终获胜概率为，第一场甲轮空时，甲最终获胜概率为， . 学科网（北京）股份有限公司 $