9.6.1 离散型随机变量的概率分布、均值与方差 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦离散型随机变量及分布列，以“基础概念→性质辨析→综合应用”为路径，通过分层题型设计实现知识巩固与能力进阶，体现数学思维的推理严谨性与数学语言的模型表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|随机变量定义、概率分布性质、期望计算|单选题1-3直接考查概念辨析，填空题8-9强化运算能力，对应数学思维的运算能力| |提升层|期望方差性质、实际情境应用|多选题5-7辨析性质（如E(aX+b)公式），填空题10结合游戏奖金计算，体现数学语言的数据意识| |综合层|跨情境建模、决策分析|解答题11-12（密码概率、竞赛得分策略）融合排列组合与期望比较，培养数学眼光的创新意识与应用能力|

9.6　离散型随机变量及分布列 9．6.1　离散型随机变量的概率分布、均值与方差 一、 单选题 1 袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　　) A. X＝4 B. X＝5 C. X＝6 D. X≤4 2 已知随机变量X的取值为1，2，3，若P(X＝1)＝P(X＝3)＝，则P(X＝2)的值为(　　) A. B. C. D. 3 [2025宿迁联考]已知随机变量X的概率分布为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝0.2，则E(3X＋2)的值为(　　) A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 4 《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 [2025无锡梅春高级中学期中]已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则下列结论中正确的是(　　) A. P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B. a＝ C. P(0≤X<2)＝ D. P(X＝1)＝ 6 对于离散型随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法中正确的是(　　) A. E(X)是反映随机变量的平均取值 B. D(X)越小，说明X越集中于E(X) C. E(aX＋b)＝aE(X)＋b D. D(aX＋b)＝a2D(X)＋b 7 已知a，b，c∈(0，1)，随机变量ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 P a b c 则下列结论中正确的是(　　) A. E(ξ－2)＝E(ξ) B. D(ξ－2)＝D(ξ) C. E(ξ2)≥[E(ξ)]2 D. D[(ξ－2)2]＝D(ξ2) 三、 填空题 8 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的概率分布为 X 1 2 3 4 P 0.5 0.2 0.2 0.1 已知商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为 100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝________元． 9 [2025通州高级中学期中]已知随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P p 0.6 若E(X)＝1.2，则p＝________；当p＝________时，D(X)最大． 10 小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回地从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x，第二个球的号码是y，记ξ＝x＋2y，若公司规定ξ＝9，8，7时，分别为一、二、三等奖，奖金分别为1 000元，500元，200元，其余无奖，则小张玩游戏一次获得奖金的数学期望为________元． 四、 解答题 11 [2025宿迁期中]银行储蓄卡的密码由6位数字组成．小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了π(π≈3.141 59…)的前6个数字(1，1，3，4，5，9)设置个人银行储蓄卡密码． (1) 求密码中两个1不相邻的概率； (2) 若密码的前三位出现1的次数为X，求X的概率分布和数学期望． 12 [2025邹城一中月考]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1) 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的概率分布； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 9．6　离散型随机变量及分布列 9．6.1　离散型随机变量的概率分布、均值与方差 1. B　解析：由题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取；若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球．故X＝5表示“放回4个球”． 2. C　解析：因为随机变量X的取值为1，2，3，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，所以P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝. 3. C　解析：由题意，得E(X)＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1，则E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×1＋2＝5. 4. A　解析：由题意知，在10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数．若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝.故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝. 5. ABC　解析：由题意，得随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，则P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，则P(X＝1)＝，所以P(0≤X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，故A，B，C正确，D错误．故选ABC. 6. ABC　解析：离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，故A，B正确；由数学期望和方差的性质，得E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，故C正确，D错误．故选ABC. 7. BC　解析：E(ξ－2)＝E(ξ)－2，故A错误；D(ξ－2)＝D(ξ)，故B正确；因为D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi＝xpi－[E(X)]2，所以D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2≥0，所以E(ξ2)≥[E(ξ)]2，故C正确；取a＝b＝c＝，则E[(ξ－2)2]＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D[(ξ－2)2]＝×＋×＋×＝，E(ξ2)＝1×＋4×＋9×＝，D(ξ2)＝×＋×＋×＝＋＋＝≠D[(ξ－2)2]，故D错误．故选BC. 8. 130　解析：由题意可知Y的可能取值为100，150，200，则利润Y的概率分布为 Y 100 150 200 P 0.5 0.4 0.1 所以E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元). 9. 0.1　0.2　解析：由E(X)＝1.2，得0×p＋1×0.6＋2×(0.4－p)＝1.2，所以p＝0.1.由题意，得E(X)＝1.4－2p，E(X2)＝02×p＋12×0.6＋22×(0.4－p)＝2.2－4p，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝2.2－4p－(1.4－2p)2＝－4(p－0.2)2＋0.4，则当p＝0.2时，D(X)取得最大值． 10. 　解析：由题意，得取一次球，取的号码是1的概率是，取一次球，取的号码是2的概率是，取一次球，取的号码是3的概率是.因为ξ＝x＋2y，ξ＝9，8，7，当ξ＝x＋2y＝7时，或所以P(ξ＝7)＝×＋×＝；当ξ＝x＋2y＝8时，所以P(ξ＝8)＝×＝；当ξ＝x＋2y＝9时，所以P(ξ＝9)＝×＝.设奖金为X，则P(X＝0)＝1－－－＝，所以随机变量X的概率分布为 X 1 000 500 200 0 P 所以E(X)＝1 000×＋500×＋200×＋0×＝. 11. (1) 由题意，得π的前6个数字的不同排列有CA种，两个1相邻的有5A种， 所以密码中两个1不相邻的概率P＝1－＝. (2) 由题意，得X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝P(X＝0)＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝， 所以次数X的概率分布为 X 0 1 2 P 则数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 12. (1) 由题意，得X的可能取值为0，20，100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以得分X的概率分布为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2) 由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的可能取值为0，80，100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题． 学科网（北京）股份有限公司 $