第九章 课时作业7 正态分布-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦正态分布核心概念与应用，通过基础辨析、性质应用到实际建模的三层设计，强化从概念理解到综合问题解决的能力进阶，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正态分布概念、图像性质|单选题1、7考查μ/σ几何意义，多选题7辨析基本性质，夯实抽象能力| |能力提升|概率计算、对称性应用|单选题2-5结合3σ原则与实际情境（成绩分布、误差分析），填空题10-12强化运算推理| |综合应用|实际问题建模与数据处理|解答题13-14以评估成绩、轮渡载客为背景，融合频率分布与正态分布，发展数据观念与模型意识|

课时7 正态分布 一、单选题 1．(2026·安徽阜阳市期中联考)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　 　) A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 2．（2026·广西南宁市期末）已知随机变量服从正态分布N(μ，σ)，若P(＜2)＝P(＞6)＝0.1，则P(2≤＜4)=( ) A．0.7 B．0.5 C．0.4 D．0.35 3．(2026·江苏姜堰中学期中)每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X(单位：克)近似服从正态分布N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02，则X介于－2～2的食盐袋数大约为(　 　) A．4 B．48 C．50 D．96 4．（2026·江西南宁市联考）某地区5 000名学生的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(90，σ2)，且成绩在[90,100]的学生人数约为1 800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为(　 　) A．200 B．700 C．1 400 D．2 500 5．(2026·浙江金华义乌市模拟)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级．若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95)(　 　) A．A B．B C．C D．D 6．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7、下列说法正确的有 ( ) A．正态曲线与x轴之间的面积为1 B．正态密度函数在x＝μ处取得最大值 C．若X～N(μ，σ)，则P(X≤a)关于a是先增大后减小 D．若X～N(μ，σ)，a＞0，则P(μ＜X≤μ＋a)随着σ的增大而减小 8、(2026·黑龙江哈尔滨市模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的有(　　) A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 9、（2024·全国新课标I卷）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则有（若随机变量Z服从正态分布，）（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10．已知随机变量，若，则实数a的值为 ． 11、某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，则估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 . 12．(2026·湖北荆州市模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0＜x＜a)的最小值为__ __． 四、解答题 13．（2026·上海华师大二附中模拟）某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2 000名．其评估成绩（单位：分）近似服从正态分布．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图： （1）求样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A,B,C三家公司的面试．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．请利用估计值判断这2 000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数. 参考数据：.若随机变量，则，． 14．（2026·上海华师大二附中模拟）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 课时7 正态分布参考答案 1．A【解析】正态分布N(μ，σ)密度函数的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．故μ1＜μ2，σ1＜σ2．故选A. 2．C【解析】因为P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.1，所以μ＝×(2＋6)＝4．所以P(2≤ξ＜4)＝－P(ξ＜2)＝0.4．故选C． 3．D【解析】X～N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02，则P(0＜X＜2)＝0.48，P(－2＜X＜2)＝0.96，则100×0.96＝96．故选D. 4．B【解析】由5 000名学生的考试成绩X服从正态分布，则考试的成绩关于X＝90对称．由题意得P(90≤X≤100)＝＝0.36，所以P(X＞100)＝0.5－P(90≤X≤100)＝0.5－0.36＝0.14，所以估计成绩在100分以上的学生人数约为5 000×0.14＝700．故选B. 5．B【解析】已知数学测试成绩服从正态分布N(95，122)，则μ＝95，σ＝12，由于A，D等级的概率之和为16%＋16%＝32%＝1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)，所以P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝＝0.16，即P(X≤83)＝P(X≥107)＝0.16，而P(μ－σ＜X＜μ)＝P(μ≤X＜μ＋σ)＝0.34，即P(83＜X＜95)＝P(95≤X＜107)＝0.34，故X≥107为A等级，95≤X＜107为B等级，83＜X＜95为C等级，X≤83为D等级，故99分为B等级．故选B. 6．A【解析】由题设知，服从均值为，标准差的正态分布，服从均值为，标准差的正态分布.事件“”的概率仅与正数有关，且越大，该事件的概率越大，因此：和分别等价于和，故后者的概率更大，A正确，B错误； 和分别等价于和，两者概率相同，C错误，D错误.故选A. 7、ABD【解析】对于选项C，因为X～N(μ，σ)，所以P(X≤a)表示区间(－∞，a]上的面积，就随a的增大而增大．所以C错误．由性质可知，ABD正确．故选ABD． 8、AC【解析】X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误.故选AC. 9、BC【解析】依题可知，，所以，故 ，C正确，D错误；因为，所以，因为，所以， 而，B正确，A错误.故选BC． 10．2【解析】由题意，得，解得． 11、75【解析】依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为，一台这样的电器使用寿命超过1000小时，是元件1使用寿命超过1000小时，并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时，因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为，显然200台这样的电器，使用寿命超过1000小时的台数，，所以200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75. 12．【解析】因为随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＝1，可得a＝2，则＋＝＋＝[x＋(2－x)]＝≥＝，当且仅当x＝时等号成立，所以＋(0＜x＜a)的最小值为． 13．【解】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得样本平均数；样本方差. （2）由（1）可知，，，故评估成绩服从正态分布，所以．在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有人． 14．【解】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得，则可得，即任意一名乘客体重大于的概率为，则的所有可能取值为，， ，，所以的分布列如下： 0 1 2 期望值为. （2）设为第位乘客的体重，则，其中，所以.由可得，即，可得，即，.所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. . 学科网（北京）股份有限公司 $