训练65 二项分布、超几何分布与正态分布-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练65 二项分布、超几何分布与正态分布 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）】 元件1 1.已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题 元件3 元件2 的方式进行.已知在备选的10道试题中，甲能答对 A.600 B.420 其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽 C.375 D.270 出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X,则 6.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术 X=2的概率为 ( 的研究、应用与推广，为我国粮食安全、农业科学 1 A.3的 B 发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水 10 稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单 c n 位：cm)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)= 2已知随机变量~B6,)则P(=2) 1 e 一，x∈R,则下列说法错误的是 10√2元 ( ( 1 A.243 B.13 A.该地水稻的平均株高为100cm 243 B.该地水稻株高的方差为100 c架 80 D.243 C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概 率比株高在70cm以下的概率小 3.已知随机变量X服从N(2,o),若P(X>3)= D.随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在 0.4,则P(X<1)= (100,110)(单位：cm)的概率一样大 A.0.2 B.0.3 二、多项选择题（每小题6分，共18分） C.0.4 D.0.5 7.一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命 4.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门 80 大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目 中一次的概率为 7:若该射手射击四次命中次数 标3次的概率为M,若击中目标记2分，记10门大 为ξ，每次命中的概率为p(0<p<1),则 炮总得分的期望为N,则M,N的值分别为() ( A.ξB(4,p) B.P(9≥1)=8 1 c D16 25610 2 C力=行或力=3 4 np=号 5.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每 8.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白 台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连 球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是 接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常 () 工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三 A.取出的白球个数X服从二项分布 个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 分布N(10000,10),且各个元件能否正常工作相 互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该 C取出2个白球的概率为 部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 立)，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超 过10000小时的台数的均值为 则总得分最大的餐率为行 (横线下方不可作答) 389 第九章 概率与统计 9.下列说法正确的是 () 5行求甲同 得15分、5分、0分的概率分别为1,3， A.若随机变量X服从两点分布，P(X=1)= 学决赛成绩Y的数学期望。 P(X=0),则P(X=0)三3 附：若X~N(,o2),则P(4-。≤X≤H+ B若随机变量X~B(4,),则P(X=1D= o)≈0.6827，P(u-2o≤X≤μ+2)≈0.9545， 81 P(4-3o≤X≤4+3o)≈0.9973. C.若随机变量X~N(2,o2),P(X<4)=0.8,则 P(0<X<2)=0.3 D.若随机变量X服从N=8,M=3,n=5的超几 何分布，则P(X=2)员 三、填空题（每小题5分，共15分） 10.若随机变量XN(μ，o2),且P(X>5)= P(X<-1)=0.3,则P(-1<X<2) 得分 11.口袋中装有2个红球和3个白球，从中任取两个 球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X 的数学期望E(X)= 得分 12.一个盒子里有除颜色外其余完全相同的4个球， 14.(19分)某校设计了一个实验学科的实验考查方 其中有1个红球，1个绿球和2个黄球，每次拿 案.考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按 个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的 照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少 次数为，则P(5=0)= ,E()= 正确完成2题便可通过.已知6道备选题中考生 甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题 得分 四、解答题（共37分） 正确完成的概率都是号，且每题正确完成与香互 13.(18分)中国数学奥林匹克(CMO)竞赛由中国数 不影响. 得分 学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率 具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队 分布列，并计算数学期望； 员，组织了校内选拔赛，比赛分为预赛和决赛，预 (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作 赛成绩合格者可进入决赛 得分■ 能力， (1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩X~ N(70,225),成绩超过85分的学生可进入决赛， 若共有600名学生参加预赛，试估计进入决赛的 人数.（结果取整数） (2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6 题，每题10分，每题有1个正确选项，答对得10 分，答错得0分：多选题4题，每题15分，每题有多 个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分， 有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛 中，每个单选题答对的餐率均为：每个多准题 红对勾·讲与练 390 高三数学·基础版 ■p=合×(1-日)+-)× 15 6=18 (3)丙考生通过某校强基招生面试的 概率为P,=子×号= ,甲、乙、丙三人中至少有一人通过 强基招生面试的概率为 p=1-(1-日)×(1-号）× (1-6)=品 91 训练64离散型随机变量的 分布列及其数字特征 1.A由试验次数X的含义可知，至少 试验一次才可能刚好打开，如果第五 次依然没有打开，那第六次将是最后 一次开锁试验了，所以X的所有可能 取值为1,2,3,4,5,6.故选A 2.D分布列中出现的所有的概率之和 等于1，.0.3十m十0.4=1，m=0.3, ,,随机变量专的数学期望E()=1X 0.3十3×0.3十5×0.4=3.2.故选D. 14a-1≥0， 3.C依题意，3a2十a≥0， 4a-1+3a2+a=1, 解得a=子，所以实数a的值为了故 1 选C. 4.B恰好取出1件次品的情况有 CC=20(种)，从7件产品中取出3 件产品的情况有C=35(种)，.P(X= 5.C由分布列的性质可得3十a十 专=1，解得a=合，则E0X)=1× +2×+3×日=吕所以 B2X+1)=2E0X)+1=号故 选C 6.A由题意可得E(X)=-1×0.1十 0×0.3+2×0.6=1.1,D(X)= (-1-1.1)2×0.1十(0-1.1)2× 0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29; E(Y)=0×0.3十1×0.4+2×0.3= 1,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2× 0.4十(2-1)2×0.3=0.6，故 E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),即甲 产业收益的期望大，风险高.故选A. 7.ABC根据题意，随机变量X的分布列 为P(X=n）=m+i)n+②n=0, 1,2),则有P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2》=号+号+是=1解得 a=青则PX=D=台P0≤ X<2)=P(X=0)十P(X=1)= 号+号-吕成选ABC 22 8.AC由分布列的基本性质知6a十 0.4=1,解得a=0.1,故A正确： E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+ 5×0.2=2,D(X)=0.1×22+0.4× 12十0.3×02+0.2×32=2.6，故B错 误，C正确；由离散型随机变量期望的 性质可得E(2X十6)=2E(X)十6= 10,故D错误.故选AC. 9.ACD依题意可得0.2十m十0.6=1， 所以m=0.2,0.3十0.4+n=1,所以 n=0.3,所以m十n=0.5,故A正确： 所以E(X)=-1×0.2十0×0.2十2× 0.6=1,则E(2X+1)=2E(X)+ 1=3,故B错误；E(Y)=0×0.3+1× 0.4+2×0.3=1,所以E(X)= E(Y),故C正确；因为D(X)=(一1 1)×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2× 0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3十 (1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6, 即D(X)>D(Y),所以投资A项目的 风险比B项目高，故D正确.故选ACD. 10.4 解析：E(X)=(-1D×令十0X号 1×日=-且Y=aX+3所以 E)=aB0X)+3=号中-子0十 8=3 ,解得a=4. 11.0.49 3 解析：由行十n十0=1，得n=2, :EX)=1.1∴0×号+1×7 5 十 3 =1.1,得=2，.D(X)= 1 0-1.1)2×5+1-1.1)2×2+ 2-1.1×品=0.49. 2 解析：由题意Y=0,1,2,3的小正方 体的个数分别为27,54,36,8，P(Y≥ 2)=PY=2)+PY=3)=125 36 844 125=125· 13.解：(1)设“甲抢到问题A”为事件M, “问题A被回答正确”为事件V, 由题意可知，P(M)=P(M)=2· P(N1Mw=,P(NM)= 2 由全概率公式可得P(N)=P(NI M)P (M)+P(N M)P(M)=17. 241 所以问题A被回答正确的概率为一 (2)由题意可知，X的可能取值为0， 12,则P(X=0)=(1-号)× (1-)= P(X=1D=(-子)×号+是× 5 (1-)- 32 1 P(X=2)=×3 21 所以X的分布列为 X 0 2 P 12 2 数学期望E(X)=0× 12+1X 5 12 117 2×2=12 4.解：(1)设甲、乙答对的歌名数量分别 为X,Y, 则X的可能取值为2,3,4， 则P(X=2)= CC 3)= C =÷PX== C 3 14 由题意知，乙答对的歌名数量满足 Y~B(4,是) 故pY=1=C×子×() 是pY=0ECX ()x 1 甲、乙共答对3首歌名，即甲答对2首 歌名，乙答对1首歌名或者甲答对3 首歌名，乙答对0首歌名， 3 故共答对3首歌名的概率为P=4 3 4 111 6+7×256=896 (2)由(1)可知，甲答对的歌名数量X 的分布列如下： X 2 3 4 4 3 14 14 3 故期望E(X)=2× 4+3×7 十4× 3 14=3, 方差D(X)=2-3× 十0十 (4-3)×3=3 4=7 因为Y B(4,）,故EY)=4× 3Dm=4×x= 3 4 E(X)=E(Y),D(X)<D(Y). 所以甲、乙答对的歌名数量期望 样，但是甲的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔甲代表高二(16)班参加红 五月活动. 训练65二项分布、 超几何分布与正态分布 D由题意可知，X=2表示答对2题， 即随机抽出3道题有2题答对，1题答 参考答案577 错，所以P(X=2)-C:C=.故 Ci。 2 选D. 2.C由题意可知，P(5=2)=C%× (层)x-)= 20,故选C. 3.C由随机变量X服从V(2,o),可得 以=2，即正态曲线关于直线x=2对 称，因为P(X>3)=0.4,根据正态曲 线的对称性，可得P(X1)= P(X>3)=0.4.故选C. 4.B设10门大炮击中目标的次数为X, 则振据题意可得X~B(10）,所以 10门大炮总得分的期望为N=10× 2×2=10,恰好击中目标3次的概率 为M=P(X=3)=c×(兮)）广× 1-》-品选B 5.C由题意可知，该部件每个元件正常 工作超过10000小时的概率均为2： 则该部件正常工作超过10000小时的 概率为[1-（侵门×是=吾所以 1 1000台仪器中该部件的使用寿命超过 10000小时的台数服从二项分布 31 B(1000,8),故所求均值为1000× 3 8=375,故选C. 6.C依题意4=100,6=10，所以平均 株高为100cm,方差为o2=100,所以 A,B正确.依题意P(X≥100十20)= P(X100-20),即P(X≥120)= P(X≤80)，而P(X≤80)>P(X 70),即P(X≥120)>P(X70),所 以C错误.P(100-10<X<100)= P(100X100+10),即P(90< X<100)=P(100<X<110),所以 D正确.故选C, 7.ABD若此射手射击四次命中次数为 5,每次命中的概率为p,0<力<1，则 5的可能取值为0,1,2,3,4，且5 B4,p),依题意可知，P(≥1)=81 80 所以1-P(=0)=1-C9(1-p)1= 智所以1-p)=可片以D= 2 或D=专（会去）放选ABD 8.BD取出的白球个数X,黑球个数Y 均服从超几何分布，故A错误，B正确： 取出2个白球的概车方℃-号故 C。 C错误：若取出一个黑球记2分，取出 一个白球记1分，则取出4个黑球的总 得分最大，所以总得分最大的概率为 C可=故D正骑.故选BD. 1 9.ACD设P(X=0)=x,则P(X= 1)=2x,因为随机变量X服从两点分 布，所以P(X=1)十P(X=0)=1, 所以2x十x=1→x= 子故A正境 578红对闪·讲与练·高三数学· 因为随机变量X~B(4,号)，所以 P(X 1)C x (合)× （口-号厂=器女B错买：因为减机 变量X~N(2,62),所以P(X<2)= 0.5,而P(X<4)=0.8,所以P(2< X<4)=0.8-0.5=0.3,因此 P(0<X<2)=0.3,故C正确；因为 随机变量X服从N=8,M=3,n=5 的超几何分布，所以P(X=2)= C·C8 C =15故D正确.故选ACD 10.0.2 解析：因为X~N(u,o),且P(X> 5)=P(X<一1)=0.3，则4= 51=2,所以P(-1<X<2)= 2 P(X<2)-P(X-1)=0.5 0.3=0.2. 11.1.2 解析：记白球的个数为X,则X的可 能取值是0,1,2，则P(X=0)= Cg·Cg PX-D=CS·g 1 C 5P(X=2)= 3 CS·C=3,所以随 机变量X的分布列为 X 0 1 2 10 10 所以数学期望E(X)=0 10+1X 5+2×3=12 10 =1.2. 1 12.16 2 解析：因为每次拿到黄球的概率为 p-是=合所以B(,宁)，所 4 以P=0)=C×(1-2）' 1 16E()=4×2 =2. 13.解：(1)由于XN(70,225),故= 70,6=15, 故4十6=85， 所以P(X>85)= 1-P(4-。≤X≤4十）≈ 2 1-0.6827 2 故估计进入决赛的人数为 60×1-0,6827≈95. 2 (2)甲同学每个单选题得分1的数学 期望E()=10×号+0×号=6， 甲同学每个多选题得分2的数学期 望E()=15×号+5X号+0× 5=6, 因此甲同学决赛成绩Y的数学期望 基础版 为E(Y)=6E(1)+4E(2)=6X 6+4×6=60. 14.解：(1)设考生甲正确完成实验操作 的题数为，则专的可能取值是1， 2,3, CC号1 P(专=1)= C 51 P(ξ=2)= CC C 5 P(=3)= CC 1 C =5’ 所以专的分布列为 2 3 1 5 5 5 则E)=1× +2x号+3x日-2 1 设考生乙正确完成实验操作的题数 为7，易知7~B(,号)， 所以P(=0)=(1-号)广=7 P(=1)= c()(-)=总 P(7=2)= c()(1-) P(7=3)= 所以？的分布列为 0 1 2 1 2 4 27 9 27 则E7)=8X号 =2 (2)由(1)知E()=E()=2, D8)=1-2)×吉+(2-2P× +8-2×= 1 2 D)=3×号×1-号）=号， 2 4820 2)=9+27=27 所以D()<D(),P(:≥2)> P(7≥2)， 故从正确完成实验操作的题数的均 值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差 方面分析，甲的水平更稳定： 从至少正确完成2题的概率方面分 析，甲通过的可能性更大 训练66随机抽样 用样本估计总体 ,D人数较多，且图书馆的学生不能代 表本校全体学生，故A错误；总体中的 个体数不是有限个，故B错误；抽取的 产品不具有代表性，故C错误；符合简 单随机抽样的定义，故D正确.故选D. C对于①，采用比例分配的分层随机 抽样的方式进行抽样，甲、乙两人可能 同时被抽取，故①正确；对于②，高一