课时作业78 二项分布、超几何分布与正态分布-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二项分布、超几何分布与正态分布三大离散型随机变量模型，通过概念辨析、公式应用与实际情境建模，系统培养概率统计的数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项分布|3题|独立重复试验概率计算、期望方差公式应用、对立事件转化法|从n次独立重复试验概念出发，推导分布列与数字特征，建立“放回抽样”模型| |超几何分布|2题|不放回抽样模型识别、组合数计算概率|通过“产品检验”情境，对比二项分布差异，强化有限总体无放回抽样特征| |正态分布|3题|3σ原则应用、对称性计算概率、密度曲线特征分析|从连续型随机变量定义切入，结合实际误差分析，构建概率估计的数学模型| |综合应用|2题|分布类型判断、数学期望求解、实际问题转化|整合三种分布的识别与计算，通过“竞赛成绩”“产品质量”情境培养数学建模能力|

课时作业(七十八)　二项分布、超几何分布与正态分布 一、单项选择题 1．(2026·北京市西城区模拟)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是(　　) A．取出的最大号码X不服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 2．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 3．若随机变量X～B，则P(X＝3)＝(　　) A． B． C． D． 4．(北师大版选择性必修第一册P229复习题六A组T3改编)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＋D(X)＝，则P(X≥1)＝(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 5．(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)袋子中有2个黑球、1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分、黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　) A．X～B B．P(X＝2)＝ C．E(X)＝ D．D(X)＝ 6．(2025·重庆月考)自动流水线包装的任一袋食盐，它的质量与标准质量之间的误差(实际质量减去标准质量)是一个连续型随机变量，且服从正态分布．某食盐加工企业有A，B两条自动包装流水线，其中A流水线包装的食盐质量随机误差，B流水线包装的食盐质量随机误差Y的正态概率分布密度函数为f (x)＝，并且X的正态密度曲线比Y的正态密度曲线瘦高，则(　　) A．σ1＜σ2 B．P(X≥500)＜P(Y≥500) C．P(X≥σ1)＞P(X≥σ2) D．P(Y≥σ1)＜P(Y≥σ2) 三、填空题 7．(2025·上海市金山区二模)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________． 8．(2025·上海市闵行区月考)已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为ξ．若P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 ________． 四、解答题 9．(13分)(2025·武威期末)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上的学生有12人． (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？ (2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 附：若X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 10．(15分)(2026·南京开学考试)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P(X≥1)； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望． 课时作业(七十八) 1．C　[超几何分布是在N个对象(包含M个特定对象)中随机不放回取出n个对象， 含有特定对象数ξ的概率分布，被取出的n个对象中特定对象数ξ是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，X不服从超几何分布，故A正确； 取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确； 取出2个白球的概率为P＝，故C错误； 根据已知可得取出四个黑球的总得分最大，概率为P'＝，故D正确． 故选C．] 2．C　[∵μ＝0，∴P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．] 3．A　[若随机变量X~B， P(X＝3)＝××． 故选A．] 4．B　[因为E(X)＋D(X)＝， 所以4p＋4p(1－p)＝， 即(p－1)2＝， 因为0<p<1，所以p＝． 故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－．] 5．AC　[从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，取到黑球记1分，4次取球的总分数相当于取到黑球的总个数， 又每次取到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得X~B，故A正确； P(X＝2)＝，故B错误； 由二项分布期望公式得E(X)＝4×，故C正确； 由二项分布方差公式得D(X)＝4××，故D错误． 故选AC．] 6．AC　[对于A，因为X的正态密度曲线比Y的正态密度曲线瘦高，说明X的方差更小，则σ1<σ2，故A正确； 对于B，因为流水线的误差X~N(500.01，)，均值为500.01，因此P(X≥500)>0.5， B流水线的误差Y的均值为500，则P(Y≥500)＝0.5， 因此P(X≥500)>P(Y≥500)，故B错误； 因为σ1<σ2，所以P(X≥σ1)>P(X≥σ2)， P(Y≥σ1)>P(Y≥σ2)，故C正确，D错误． 故选AC．] 7.0．648　[该同学通过测试的概率为×0.62×0.4＋×0.63＝0.648．] 8.25%　[设这12件产品中的次品数为x， 则P(ξ＝1)＝≤40%， 解得x＝3， 故这12件产品的次品率为＝25%．] 9．解：(1)设参赛学生的成绩为X，由题可得X~N(70，100)， 所以μ＝70，σ＝10， 则P(X>90)＝P(X<50)＝[1－P(50≤X≤90)]≈×(1－0.954 5)＝0.0227 5， 12÷0.022 75≈527(人)， 因此，此次参赛学生的总数约为527人． (2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65， 527×0.158 65≈84(人)． 因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人． 10．解：(1)每次抽取后都放回，则取到黄球的个数X~B， 所以P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝×， 所以P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝． (2)每次抽取后都不放回，则取到黄球的个数Y的可能取值为0，1，2， 且P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝． 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $