第九章 课时作业8 概率和其他知识的交汇-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦概率与数列、统计及实际应用的交汇，通过递推构造、条件概率等方法体系，系统培养概率综合问题的推理与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率与数列交汇|题1、3|递推关系建立、构造等比数列求通项|从传球/跳格游戏抽象概率递推模型，推导数列关系| |概率与统计交汇|题2|条件概率计算、分层抽样、分布列与期望|结合频率分布直方图，实现统计数据到概率问题的转化| |概率与实际应用|题4|比赛模型分段概率求和、函数单调性分析|将奖金分配转化为动态比赛概率计算，体现数学建模思想|

课时8 概率和其他知识的交汇 一、多选题 1、甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球n次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论正确的有(　　) A．P2＝ B．P4＝ C．Pn＝(1－Pn－1) D．Pn＝－ 二、解答题 2、为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“5＋2”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2 h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图： (1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min的概率； (2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在[180，200)的人数为X，求X的分布列与数学期望. 3、(2026·广东湛江市模拟)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳 2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)． (1) 甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和数学期望； (2) 证明：数列{Pn－Pn－1}(n＝2，3，…，24)为等比数列． 4、 (2026·云南昆明市诊断)甲、乙两人参加一个比赛，该比赛设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每场比赛乙赢的概率为p(0<p<1)，甲赢的概率为1－p，每场比赛相互独立，在乙赢了3局、甲赢了1局的情况下，设备出现了故障，比赛被迫终止，则奖金应该如何分配才合理？有专家提出如下的奖金分配方案：若出现无人先赢5场且比赛意外终止的情况，则甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金. (1)若p＝，求乙应该获得的奖金数. (2)记事件A为“比赛继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当比赛继续进行下去，甲获得全部奖金的概率为f(p)，并判断当p≥时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.(注：若随机事件发生的概率小于0.05，则称随机事件为小概率事件) 课时8 概率和其他知识的交汇参考答案 1、ACD 【解析】 对于选项A，第一次传球后到乙或丙手里，故P1＝0，第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故P2＝，A正确； 对于选项C，Pn－1为传球(n－1)次后球仍回到甲手里的概率，要想传球n次后球仍回到甲手里，则第(n－1)次传球后球不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传球有的概率回到甲手里，故Pn＝(1－Pn－1)，C正确； 对于选项D，由C选项知Pn＝(1－Pn－1)，即Pn＝－Pn－1＋，设Pn＋λ＝－(Pn－1＋λ)，故 Pn＝－Pn－1－λ，所以－λ＝，解得λ＝－，故Pn－＝－，又P1－＝－≠0， 所以是首项为－，公比为－的等比数列，故Pn－＝－，故Pn＝ －，D正确； 对于选项B，由D选项可知P4＝－×＝，B错误．故选ACD. 2、【解】(1)依题意，课后服务时长超过200 min的调查表共有100×(0.007 5＋0.002 5)×20＝20(份)，设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝＝. (2)根据题意及分层随机抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在[180，200)内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3、【解】（1）根据题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝． （2）【证明】依题意，P1＝1，P2＝．当3≤n≤24时，棋子跳到第n格有两种可能：第一种，棋子先跳到第n－2格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第n－1格，再摸出两球颜色相同．又摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为＝，摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为＝，所以Pn＝Pn－2＋Pn－1，所以Pn－Pn－1＝Pn－2＋Pn－1－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2).又P2－P1＝－1＝－，可得＝－，即数列{Pn－Pn－1}(n＝2，3，…，24)是首项为－，公比为－的等比数列． 4、【解】 (1)设比赛再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢.由题知， 当X＝2时，乙以5∶1赢，所以P(X＝2)＝×＝，当X＝3时，乙以5∶2赢，所以 P(X＝3)＝×C××＝，当X＝4时，乙以5∶3赢，所以P(X＝4)＝×C××＝， 当X＝5时，乙以5∶4赢，所以P(X＝5)＝×C××＝，所以乙赢得全部奖金的概率为＋＋＋＝，所以乙应该得奖金256×＝252(元). (2)设比赛继续进行Y场甲获得全部奖金，则最后一场必然甲赢.由题知，当Y＝4时，甲以 5∶3赢，所以P(Y＝4)＝(1－p)4，当Y＝5时，甲以5∶4赢，所以P(Y＝5)＝(1－p)×C× (1－p)3p＝4(1－p)4p，所以甲获得全部奖金的概率f(p)＝(1－p)4＋4(1－p)4p＝(4p＋1)(1－p)4， p∈，所以f′(p)＝4(1－p)4－4(4p＋1)(1－p)3＝4(1－p)3(1－p－4p－1)＝－20(1－p)3p. 因为p∈，所以f′(p)＝－20(1－p)3p<0，所以f(p)在上单调递减，所以f(p)max＝ f＝×＝≈0.045<0.05，故事件A是小概率事件. . 学科网（北京）股份有限公司 $