第九章 课时作业5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦离散型随机变量核心概念与运算，通过分层题型系统构建“定义理解-分布列性质-期望方差计算-实际应用”的解题方法体系，强化知识逻辑链与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2题|随机变量取值定义法、事件转化法|从具体情境抽象随机变量，建立概念与实际问题的联系| |分布列与参数|单选3-6题、多选7-8题|分布列性质方程法、概率关系推导法|以分布列性质为核心，通过方程思想求解参数，深化概率逻辑| |期望方差|单选4-5题、填空10-11题|公式直接应用法、方差函数分析法|基于分布列计算期望方差，理解数字特征的统计意义| |综合应用|解答13-14题|频率分布与分布列结合、概率期望综合建模|从数据处理到实际问题解决，体现数学建模与数据分析素养|

课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差 一、单选题 1．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 2．某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（    ） A． B． C． D． 3．若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝(　 　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A．－0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 4．从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分．则按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为(　 　) A． B．3 C． D． 5．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是(　 　) A．a＝0.2 B．P(X≥2)＝0.7 C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝6.3 6．（2026·浙江嘉兴市模拟）某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)＝，则该社团的人数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．10 二、多选题 7．已知随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P a 其中ab≠0，则下列说法正确的有(　 　) A．a＋b＝1 B．E(ξ)＝ C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值 8．已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若E(Y)＝10，则有(　 　) A．m＝ B．n＝ C．E(X)＝3 D．D(Y)＝ 9．(2026·河北沧州市第一中学期中)国庆节期间某高校学生会联合校团委举行国学知识有奖问答活动，活动一共有两关，以小组为单位参加，每小组3人．第一关每小组的3个人分别回答问题，过关者才能参加第二关活动，第二关由每小组第一关的过关者共同回答问题，若第二关该小组回答问题过关，则可获得500元奖励．已知甲、乙、丙3人为一组，甲、乙、丙各自过第一关的概率分别为，，，若该小组第一关仅1人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有2人过关，则该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有3人过关，该小组过第二关的概率为，则有( 　) A．甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关的概率为 B．若甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为 C．设甲、乙、丙这一组进入第二关的人数为X，则E(X)＝ D．甲、乙、丙这一组获得500元奖励的概率为 三、填空题 10．（2026·上海高考）已知随机变量的分布列如下： X 5 6 7 P 0.2 0.3 0.5 则期望E(X)=　 　 ． 11．（2026·上海浦东新区模拟）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 . 12．（2024·全国新课标I卷） 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 四、解答题 13．为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图： (1)分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和(20，40]内的人数； (2)从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列． 14、（2026·北京高考）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率． (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望． (3)若甲校同学掌握这个知识点则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明） 课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差参考答案 1．D【解析】由试验次数X的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开，如果第五次依然没有打开，剩余钥匙一定能打开锁，所以X的所有可能取值为1,2,3,4,5.故选D. 2．C【解析】第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故.故选C. 3．B【解析】依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4．故选B. 4．A【解析】设得分为X.根据题意，X可以取4，3，2.则P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，则X分布列如下： X 4 3 2 P 所以得分期望为E(X)＝4×＋3×＋2×＝.故选A. 5． C【解析】因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误； 由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误； E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确； D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误．故选C. 6．C【解析】设该社团共有人数为n，所以P(X＝0)＝＝.因为P(X＝0)＝1－P(X>0)＝，所以＝，即(11n－18)(n－7)＝0.又因为n∈N*，解得n＝7.故选C. 7．ABD【解析】根据分布列的性质得a＋＋＝1，即a＋b＝1，故A正确； 根据数学期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝，故B正确； 根据方差公式得D(ξ)＝2×a＋2×＋2×＝－b2＋b＝－2＋，因为0＜b＜1，所以当b＝时，D(ξ)取得最大值，故C不正确，D正确．故选ABD. 8． AC【解析】由m＋＋＋n＋＝1，得m＋n＝①， 又因为E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝10，所以E(X)＝3，故C正确； 由E(X)＝m＋2×＋3×＋4n＋5×＝3，得m＋4n＝②， 所以由①②可得n＝，m＝，故A正确，B错误； D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝4×＋1×＋1×＋4×＝，D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝9×＝，故D错误．故选AC. 9．BCD 【解析】 设M＝“甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关”，则P(M)＝1－(1－)(1－)＝，故A错误； 设N＝“甲在第一关过关”，则P(N)＝，则P(MN)＝P(N)＝，所以若甲、乙、丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为P(N∣M)＝＝＝，故B正确； 设Ai＝“甲、乙、丙3人有i人进入第二关”，其中i＝0，1，2，3，则P(A0)＝××(1－)＝，P(A1)＝×(1－)×＋××(1－)＋××(1－)＝，P(A2)＝××＋××＋××＝，P(A3)＝××＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故C正确； 设B＝“甲、乙、丙这一组获得500元奖励”，P(B∣A1)＝，P(B∣A2)＝，P(B∣A3)＝，P(B)＝P(A1)P(B∣A1)＋P(A2)·P(B∣A2)＋P(A3)P(B∣A3)＝×＋×＋×＝，故D正确．故选BCD. 10．6.3【解析】由已知，期望． 11．【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有，，，则，，，所以， . 12．【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以.从而 .记.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，两式相减即得，故.所以甲总得分不小于2的概率为. 13．【解】(1)由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]内的人数有0.005 0×20×20＝2，得分落在组(20，40]内的人数有0.007 5×20×20＝3.因此，所抽取的20人中得分落在组[0，20]内的人数为2，得分落在组(20，40]内的人数为3. (2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以，随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 14、【解】（1）用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，则，设为“从乙校抽取1人做对”，则，则，设为“恰有1人做对”，故，而可取，，，，故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握该知识的学生”，因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故，即，故，同理有，故，故. . 学科网（北京）股份有限公司 $