素养提升小题训练24：概率统计综合问题-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题训练24：概率统计综合问题（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一、单选题 1. 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A． B． C． D． 3. 研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与变量的相关性变强 B. 相关系数的绝对值变小 C. 线性回归方程不变 D. 拟合误差变大 二、多选题 4.食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5.眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（ ） A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. D. 6. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 7.如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ） A. B. C. D. 8. 将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（ ） A. 每个盒子中恰有球的概率为 B. 事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立 C. 随机变量的方差为 D. 随机变量的均值为 9.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则 A. B. C. D. 10.19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示： 作物类别 数量 作物平均高度/ 作物高度的方差 雄性作物 50 30 256 雌性作物 50 20 361 由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（ ） A. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25 B. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5 C. 为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株 D. 经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大 三、填空题 11. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 12. 某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为________；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率________． 13.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 14.如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 15.. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题训练24：概率统计综合问题（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一、单选题 1.（江西省宜春市2025届高三下学期二模） 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将个球分成组，有两种分法：1，1，3和2，2，1． 按1，1，3分组，共有种分法； 再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法． 根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．  按2，2，1分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．  由分类加法计数原理，总放法数为种．   先将编号为，，的球放入个不同的盒子，有种放法； 再将编号为，的球放入这个盒子，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，共有种放法． 根据分步乘法计数原理，编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数为种．  根据古典概型概率公式，可得所求概率．  2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A． B． C． D． 【答案】C ,事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则，则 3.（上海市浦东新区2025届高三下学期二模T15） 研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与变量的相关性变强 B. 相关系数的绝对值变小 C. 线性回归方程不变 D. 拟合误差变大 【答案】C 【解析】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点，即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变，所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 二、多选题 4.（四川省成都市石室中学2026届高三零诊模拟）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】对于A, ,故A错误， 对于B, ,故B正确， 对于C, ，故C错误， 对于D,由于,故，D正确， 故选：BD 5.（成都市2026届高中毕业班摸底T11）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（ ） A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】因为，，， 则，所以， 所以，则与不对立，故A错误； 得到，与相互独立，故B正确； 而，故，故C正确； ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 6.（河北省保定市2025届高三第二次模拟T10） 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 【答案】ACD 【解析】因为，=6，所以由正态分布的性质可知，故选项A正确； 当时，即，即，解得或，当时，，当时，，故选项B错误； 当时，即，因为，所以，所以，故选项C正确； 因为，所以. 设函数， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 7.如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】A选项，的可能取值为， 且，故，A正确； B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转， 故，B错误； C选项，，即顺时针走了或逆时针走了， 设硬币正面朝上的次数为，则反面朝上的次数为， ，解得，故，C正确； D选项，若硬币8次均正面朝上，此时，故， 若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时，故， 若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时，故， 若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时，故， 若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时，， 若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时，， 若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时，， 若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时，， 若硬币8次均反面朝上，此时，，故，D正确. 故选：ACD 8. 将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（ ） A. 每个盒子中恰有球的概率为 B. 事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立 C. 随机变量的方差为 D. 随机变量的均值为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，每个盒子中恰有球的概率为，A错； 对于B选项，记事件号是空盒，事件号是空盒， 则，， 所以，，故事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立，B对； 对于C选项，由题意可知，故，C对； 对于D选项，由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，， ， 因此，，D对. 故选：BCD. 9.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】【分析】先求出的分布列，可判断A，B；再由数学期望和方差公式求出，可判断C，D. 【详解】为小明随机选择1个选项的得分，所以， ，， 则的分布列为： 0 2 由此可得， 为小明随机选择2个选项的得分，所以， ,,, 则的分布列 0 2 6 由此可得 ． 所以,，，. 故选：BC． 10.19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示： 作物类别 数量 作物平均高度/ 作物高度的方差 雄性作物 50 30 256 雌性作物 50 20 361 由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（ ） A. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25 B. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5 C. 为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株 D. 经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大 【答案】ACD 【解析】所有作物的高度的平均值为，故A正确； 所有作物的高度的方差为，故B错误； 设作物高度达到预定达标高度的数量为，依题意知，则， 若，则， 由切比雪夫不等式可得，又， 解得，即最少种植27株，故C正确； 设存活株的概率最大，，则， ， ， 则， 解得，， 解得.又，所以当时，最大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11.（安徽省安庆市示范高中2024届高三下学期三模） 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 【答案】 【解析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 12.（天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测） 某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为________；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率________． 【答案】 ①. ②. 【解析】从个人中任取人，全部情况有种，恰有一名两名男生的情况有，故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为； 有女生参加AI人工智能学习的情况有种，恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种，故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为. 故答案为：；. 13（吉林省长春市2025届高三下学期4月三模T14）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 【答案】 【解析】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 14.（湖北省沙市中学2025届高三下学期5月模拟T14）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【解析】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区．①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．故答案为：． 15. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 【答案】 【解析】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$