课时作业(29) 三角恒等变换（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(二十九)　三角恒等变换 [基础保分练] 1．(2024·徐州二模)化简可得sin · sin ＝(　　) A．－cos B．－sin C．cos D．sin 答案：D 2．(2025·江苏南通如皋中学模拟)已知sin θ＋cos (θ－)＝1，则sin (θ＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 3．(2025·盐城模拟)函数y＝2cos2－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 答案：A 4．(2025·武汉高三模拟)已知sin (α＋)＝，则sin (2α＋)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 5．函数f(x)＝4sin ＋cos 的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 6．(多选)(2024·海口二模)已知α∈(π，2π)，sin α＝＝tan ，则(　　) A．tan α＝ B．cos α＝ C．tan β＝4 D．cos β＝ 答案：BD 7．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos Asin C，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．C＝90° 答案：AD 8．若1＋＝，则α的一个可能角度值为________. 答案：50°(130°，410°，490°等，答案不唯一)　解析：1＋＝＝＝＝＝＝＝， 则sin α＝sin 50°，故α＝k·360°＋50°，k∈Z或α＝k·360°＋130°，k∈Z. 故50°，130°，410°，490°等均符合题意． 9．(2025·泰州模拟)若θ＝θ0时，f(θ)＝sin 2θ－cos2θ取得最大值，则sin＝________． 答案：　解析：f(θ)＝sin 2θ－(1＋cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ－＝－＝sin (2θ－φ)－(其中cos φ＝，sin φ＝)， 当f(θ)取最大值时，2θ0－φ＝，∴2θ0＝φ＋， sin 2θ0＝sin ＝cos φ＝， cos 2θ0＝cos ＝－sin φ＝－， ∴sin ＝×＋×＝. 10．(2025·湖州模拟)已知f＝cos ＋2sin cos . (1)求f的值； (2)若锐角α满足f＝，求sin 2α的值． 解：(1)f＝cos －2sin (x－)·cos ＝cos －sin ＝cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin ， 则f＝sin π＝0. (2)f＝sin ＝， sin ＝， 因为0<α<，所以<2α＋<， 又sin ＝<， 所以cos ＝－， 故sin 2α＝sin ＝sin ·－cos (2α＋)·＝. [技能提分练] 11．(2024·烟台三模)若2cos2＝1＋cos2α，则tan 2α的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 12．(多选)(2025·重庆西南大学附中模拟)已知α，β，γ∈，且α＋β＋γ＝，则(　　) A．若sin α＋cos α＝，则tan α＝1 B．若tan α＝2，则sin (β＋γ)＝ C．tan α，tan β 可能是一元二次方程x2－6x＋7＝0的两根 D．tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1 答案：ABD 13．(多选)(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β 为锐角，则以下命题中正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ 答案：AB 14.(2024·北京朝阳一模)某地进行老旧小区改造，有半径为60 m，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是__________． 答案：60sin α m　225 m2　解析：∵在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60 m，∴PQ＝AP sin α＝60sin α(m)， 在Rt△PAR中，可得PR＝60sin ，由题可知∠QPR＝， △PQR的面积为S△PQR＝·PQ·PR·sin ∠QPR ＝×60sin α×60sin ×sin ＝900sin αsin ＝450 ＝450， 又α∈，2α＋∈， 当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积有最大值225 m2， 即三角形绿地的最大面积是225 m2. 15．已知cos cos ＝－，α∈(，). (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－的值． 解：(1)cos cos ＝ cos sin ＝sin ＝－， 即sin ＝－. 因为α∈， 所以2α＋∈，所以cos ＝－， 所以sin 2α＝sin ＝sin ·cos －cos sin ＝－×－×＝. (2)因为α∈，所以2α∈， 又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－. 所以tan α－＝－＝＝＝－2×＝2. 16．设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R). (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 解：(1)由辅助角公式得f(x)＝sin x＋cos x＝sin (x＋)， 则y＝＝＝2sin2(x＋)＝1－cos＝1－sin 2x， 所以该函数的最小正周期T＝＝π. (2)由题意，y＝f(x)f＝sin ·sin x＝2sin sin x ＝2sin x· ＝sin2x＋sinx cos x ＝·＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin ＋， 由x∈可得2x－∈， 所以当2x－＝即x＝时，函数取最大值1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$