精品解析：宁夏回族自治区银川市北银中学等校2025-2026学年第二学期九年级第三次素质测评 数学卷

银川市北银中学2025-2026学年第二学期九年级第三次素质测评数学卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，将一块含 角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　） A. B. C. D. 5. 下列判断正确的是（ ） A. 两点之间垂线段最短 B. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 点关于y轴的对称点在第一象限 D. 同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10. 不等式组的解集是________． 11. 韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌是河南省省级非物质文化遗产项目．如图，四张卡片正面分别印有这四种非物质文化遗产项目，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片正面恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率是_______． 12. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 14. 如图，一张锐角三角形纸片，点， 分别在边，上， ，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为________． 15. 已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点 做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则 的值为_____． 16. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知 cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm． 三、解答题（本题共有10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算：（）-1+2cos45°+|-1|-（3.14-π）0． 18. 先化简，再求值：，其中，满足． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上． （1）AB的长为________； （2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：______________________________________________________． 20. 某文物考古研究院用 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（ ）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 已知粮食糟醅和芋头糟醅的总量为公斤，如果实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 公斤． （1）求此次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的．请问，在古代想用50公斤的原材料蒸馏出至少10公斤的酒，最少要用多少公斤的粮食糟醅？ 21. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 22. 数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； （1）活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量 ______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． （2）活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 23. 数学实践——谁的反应快 【活动准备】一把有刻度的直尺，一支铅笔． 【活动过程】 ①甲同学伸出一只手，将拇指和其余四指分开． ②乙同学把直尺直立，刻度0在下方，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，甲同学以最快的速度抓住直尺，记录手抓在直尺上的刻度（单位：），重复试验10次． ③甲乙同学对调，重复上面过程，记录并整理试验所得数据． 【数据收集与整理】 第几次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.6 13 10.5 8.4 10.7 10.5 7.6 9.4 11.3 8 11 11.4 5.3 8.7 8 9.6 11.4 10 11.2 11.4 【数据分析】 数据 同学 平均数 中位数 众数 方差 甲 10.5 10.5 2.682 乙 3.586 （1）请补全表格中的数据：__________，__________， __________． 【数据应用】 （2）值的大小与反应速度快慢的关系是：__________； （3）甲、乙两位同学中__________同学的反应快（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：_______________； （4）甲、乙两位同学中__________同学的反应速度比较稳定（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：______________________________． 24. 如图，四边形内接于，，的延长线相交于点 ，，，相交于点 ． 是上一点，交于点，且，． （1）求证： ； （2）求证： ； 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题． 探究： （1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________． （2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格： M的坐标 … … P的坐标 … … 猜想： （3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________． 验证： （4）设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式． 应用： （5）如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围． 26. 【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点 ，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点 ，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接 ．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市北银中学2025-2026学年第二学期九年级第三次素质测评数学卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000084=8.4×10-6． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、与次数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意． 3. 已知直线，将一块含 角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°． 【详解】设直线与的交点为． ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴. 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角． 4. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞， 故选B． 考点：简单几何体的三视图． 5. 下列判断正确的是（ ） A. 两点之间垂线段最短 B. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 点关于y轴的对称点在第一象限 D. 同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，错误； B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，错误； C、∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点在第二象限， ∴点关于轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确； D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，错误． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 8. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二．填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得 ． 10. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 11. 韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌是河南省省级非物质文化遗产项目．如图，四张卡片正面分别印有这四种非物质文化遗产项目，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片正面恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的结果有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率为． 12. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两条直线交点求方程的解， 先求出点P的坐标，再根据方程的解是直线与直线 交点的坐标解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点， ∴方程的解是． 故答案为：． 13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上， ，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积等知识，根据同高的两个三角形面积之比等于对应的底之比可求出，设 ，则 ， ，根据沿将剪成面积相等的两部分，可求出 ，进而求出 ，然后同高的两个三角形面积之比等于对应的底之比求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ， ∴， 设 ，则 ， ∴ ， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 15. 已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，做一次“正横跳马”横坐标增加，纵坐标增加，做一次“正竖跳马”横坐标增加，纵坐标增加，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点， 则， ． 16. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知 cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 设这个展开图中正方形的边长为 ，然后延长交于点D，根据三角函数的性质，可求得的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：如图，设这个展开图中正方形的边长为 ， 延长交于点D， 则，，， ∵ ， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即， 解得：， 即这个展开图中正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（本题共有10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算：（）-1+2cos45°+|-1|-（3.14-π）0． 【答案】 【解析】 【分析】根据负数指数幂、三角函数、绝对值和零指数幂的运算法则进行计算即可解答. 【详解】解：（）-1+2cos45°+|-1|-（3.14-π）0 =2+2×+-1-1 =2++-2 =2 【点睛】本题考查了幂的运算、三角函数和绝对值，准确计算是解题的关键. 18. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键． 先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b满足． ∴，解得， 当时， ∴原式． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上． （1）AB的长为________； （2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：______________________________________________________． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、勾股定理、矩形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由勾股定理即可解答； （2）根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点C和点D，即可确定矩形；然后运用相似三角形说明理由即可． 【小问1详解】 解：由图可得，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求，根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点C和点D．证明如下： 如图：易证：， ∴，即，解得， ∴，即可确定点D， 同理：可以找到点C，即图中四边形即为所求． 20. 某文物考古研究院用 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（ ）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 已知粮食糟醅和芋头糟醅的总量为公斤，如果实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 公斤． （1）求此次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的．请问，在古代想用50公斤的原材料蒸馏出至少10公斤的酒，最少要用多少公斤的粮食糟醅？ 【答案】（1）此次实验用了4公斤粮食糟醅，2公斤芋头糟醅 （2）最少要用25公斤的粮食糟醅 【解析】 【分析】（1）设此次实验用了公斤粮食糟醅，公斤芋头糟醅，根据原材料重量以及出酒量列方程组求解即可； （2）设要用公斤的粮食糟醅，根据题意列一元一次不等式求解，取最小值即可． 【小问1详解】 解：设此次实验用了公斤粮食糟醅，公斤芋头糟醅， 则，解得：， 答：此次实验用了4公斤粮食糟醅，2公斤芋头糟醅； 【小问2详解】 解：设要用公斤的粮食糟醅，则芋头糟醅公斤， 则 ， 解得： ， 即最少要用25公斤的粮食糟醅． 21. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析 【解析】 【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论． 【详解】解：赞成小洁的说法，补充 证明：∵OB＝OD， 四边形是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 22. 数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； （1）活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量 ______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． （2）活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 【答案】（1）①；②；③ （2）踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为 【解析】 【分析】（1）①②③根据题意列代数式即可； （2）根据题意得出，确定n可以取12或13，然后分两种情况利用一次函数的性质求解确定最大值即可． 【小问1详解】 解：①根据题意得：高度； ② ， ③歇脚台宽度； 【小问2详解】 解：由题意得 解得 ， ∵n为正整数， ∴n可以取12或13， 当 时， ， 此时， s随b的增大而减小，且 ， ∴当时，s取得最大值， ， 当时， ， 此时， 同理，当时，s取得最大值， ， ∵， ∴踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为． 23. 数学实践——谁的反应快 【活动准备】一把有刻度的直尺，一支铅笔． 【活动过程】 ①甲同学伸出一只手，将拇指和其余四指分开． ②乙同学把直尺直立，刻度0在下方，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，甲同学以最快的速度抓住直尺，记录手抓在直尺上的刻度（单位：），重复试验10次． ③甲乙同学对调，重复上面过程，记录并整理试验所得数据． 【数据收集与整理】 第几次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.6 13 10.5 8.4 10.7 10.5 7.6 9.4 11.3 8 11 11.4 5.3 8.7 8 9.6 11.4 10 11.2 11.4 【数据分析】 数据 同学 平均数 中位数 众数 方差 甲 10.5 10.5 2.682 乙 3.586 （1）请补全表格中的数据：__________，__________， __________． 【数据应用】 （2）值的大小与反应速度快慢的关系是：__________； （3）甲、乙两位同学中__________同学的反应快（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：_______________； （4）甲、乙两位同学中__________同学的反应速度比较稳定（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：______________________________． 【答案】（1）；； （2）值越小，反应速度越快；值越大，反应速度越慢； （3）乙，乙的平均数小于甲的平均数 （4）甲；因为甲的方差比较小，反应速度比较稳定 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的定义进行计算即可； （2）值越小，反应速度越快；值越大，反应速度越慢； （3）根据平均数大小进行判断即可； （4）根据方差的大小进行判断即可． 【小问1详解】 解：； 中位数是第和个数据的平均数， 将数据从小到大进行排列：， ； 众数为出现次数最多的数据， 出现了次， ； 【小问2详解】 解：值越小，反应速度越快；值越大，反应速度越慢； 【小问3详解】 解：， 故甲、乙两位同学中乙同学的反应快，因为乙的平均数小于甲的平均数； 【小问4详解】 解：， 故甲、乙两位同学中甲同学的反应速度比较稳定，因为甲的方差比较小，反应速度比较稳定． 24. 如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，，相交于点．是上一点，交于点，且，． （1）求证： ； （2）求证： ； 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， 又 ， ， ， ． 由（1）知， ， 又 ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用得，根据同弧所对圆周角相等可得 ，再根据三角形外角性质 ，完成证明； （2）先证 得 ，再通过角的等量代换证 ，推出，从而得 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题． 探究： （1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________． （2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格： M的坐标 … … P的坐标 … … 猜想： （3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________． 验证： （4）设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式． 应用： （5）如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围． 【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5） 【解析】 【分析】（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案； （2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解； （3）用平滑的曲线作出图像，即可； （4）过点P作 轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得到答案； （5）连接，由题意得当时，在 的外接圆上，弧所对的圆心角为60°， 的外接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解． 【详解】解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （2） M的坐标 … … P的坐标 … … （3）草图见图2：形状：抛物线 （4）如图1，过点P作 轴于点E， ，， 在中， 即 化简，得 ∴y关于x的函数解析式为． （5）连接，易得，又 ∴为等边三角形，∴ 当时，在 的外接圆上，弧所对的圆心角为60° 其圆心在的垂直平分线y轴上， ∴ 的外接圆圆心为坐标原点O， 设，则 ，即 ① 又点D在该抛物线上 ∴ ② 由①②联立解得：（舍去） 数形结合可得， 当时，点D的纵坐标的取值范围为 【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图像和性质，圆周角定理，解题关键是：熟练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆． 26. 【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接 ．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形； ②； （3）线段的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明 ，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得 ，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $