4.7.1 正弦定理、余弦定理 训练-2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 以正弦定理、余弦定理为核心，通过多题型分层训练构建“定理应用-边角转化-综合推理”的方法体系，强化解三角形问题的逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-3、填空8|正弦定理解的判断、余弦定理求边长、三角恒等变换判形状|从定理公式到直接应用，构建边角关系认知| |综合应用|单选4、多选5-7、填空9-10|射影定理/正余弦定理边角互化、三角恒等变换与定理结合、范围问题不等式法|定理与三角变换融合，提升综合解题能力| |解答题|解答11-12|定理综合应用求角与边长、面积公式结合方程思想|完整解题流程训练，强化数学语言表达|

4.7　正弦定理、余弦定理及其应用 4．7.1　正弦定理、余弦定理 一、 单选题 1 [2025惠州五校联考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为(　　) A. 无解 B. 两解 C. 一解 D. 不确定 2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的直径为(　　) A. 4 B. 5 C. 5 D. 6 3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4 [2025南京、盐城一模]在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝a cos C－2a cos B，则的值为(　　) A. B. C. 1 D. 2 二、 多选题 5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的大小可以为(　　) A. B. C. D. 6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(　　) A. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B. a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C. ＝ D. A>B⇔sin A>sin B 7 [2025湖北调研]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且cos2＝cosB cos C＋，则下列说法中正确的是(　　) A. tan B tan C＝2 B. tan A＝tan B＋tan C C. A< D. a>b，a>c 三、 填空题 8 在△ABC中，如果cos (B＋A)＋2sin A sin B＝1，那么△ABC的形状是________． 9 在△ABC中，点D在边BC上，AB＝，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，则AC的长为________． 10 [2025安阳三模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，＋cos A＝2，则的值为________，cos B的取值范围为________． 四、 解答题 11 [2025湖南“长望浏宁”四县调研]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b cos C＝a cos C＋c cos A. (1) 求角C的大小； (2) 若c＝，且△ABC的面积为3，求a，b的值． 12 [2025海门二调]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝. (1) 求角A的大小； (2) 若b＝2，a sin A＝b sin C，求△ABC的周长． 4．7　正弦定理、余弦定理及其应用 4．7.1　正弦定理、余弦定理 1. B　解析：因为＝，所以sin B＝sin A＝sin 45°＝.又因为a<b，所以B有两个解，即此三角形有两解． 2. C　解析：因为b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，所以S＝ab sin ＝2，解得a＝4.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝25，解得c＝5，所以△ABC的外接圆的直径为2R＝＝5. 3. B　解析：当b＝时，由正弦定理，得＝，即＝，所以sin C＝.又因为c>b，所以C＝45°或C＝135°，故“b＝”是“C＝45°”成立的必要且不充分条件． 4. D　解析：方法一(利用三角形射影定理)：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝c cos B，CD＝b cos C，所以a＝BD＋CD＝c cos B＋b cos C.同理，b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A．因为b－2c＝a cos C－2a cos B，所以a cos C＋c cos A－2(a cos B＋b cos A)＝a cos C－2a cos B，整理，得c cos A＝2b cos A．又△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以c＝2b，即＝2. 方法二(利用余弦定理)：由b－2c＝a cos C－2a cos B和余弦定理，得 b－2c＝a·－2a·，整理，得c3＋b2c－2bc2－2b3＝(c－2b)a2，即(c－2b)(c2＋b2)＝(c－2b)a2.因为△ABC为锐角三角形，所以c2＋b2≠a2，所以c－2b＝0，即＝2. 方法三(利用正弦定理)：由b－2c＝a cos C－2a cos B和正弦定理，得sin B－2sin C＝sin A cos C－2sin A cos B，则sin (A＋C)－2sin (A＋B)＝sin A cos C－2sin A cos B，化简，得cos A sin C＝2cos A sin B．因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，即＝2. 5. BC　解析： 由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2ac cos B，又(a2＋c2－b2)·tan B＝ac，所以2ac cos B tan B＝ac，即sin B＝.又B∈(0，π)，所以B＝或B＝.故选BC. 6. ACD　解析：在△ABC中，由正弦定理＝＝，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；由sin 2A＝sin 2B，得2A＝2B或2A＋2B＝180°，则A＝B或A＋B＝90°，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理知C正确；在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故D正确．故选ACD. 7. ABD　解析：对于A，因为cos2＝＝cos B·cos C＋，所以cos A＝cos B cos C，即－cos (B＋C)＝cos B cos C，所以sin B sin C＝2cos B cos C，所以tan B tan C＝2，故A正确；对于B，方法一：tan A＝－tan (B＋C)＝－＝－，即tan A＝tan B＋tan C，故B正确；方法二：tan A＝－tan (B＋C)＝－＝－，将sin B sin C＝2cos B cos C代入，得tan A＝－＝tan B＋tan C，故B正确；对于C，方法一：因为 tan B tan C＝2，所以tan B，tan C同号，若tan B<0，tan C<0，且0<B<π，0<C<π，则<B<π，<C<π，显然不符合题意．若tan B>0，tan C>0，此时0<B<，0<C<，则tan A＝tan B＋tan C>0，所以0<A<，所以tan A>tan B，tan A>tan C，所以A>B，A>C，所以3A>π，所以A>，故C错误；方法二：因为tan B tan C＝2>0，所以tan B>0，tan C>0，所以tan A＝tan B＋tan C≥2＝2>.又0<A<，所以A>，故C错误；对于D，由A>B，A>C结合正弦定理，得a>b，a>c，故D正确．故选ABD. 8. 等腰三角形　解析：因为cos (B＋A)＋2sin A sin B＝1，所以cos A cos B＋sin A sin B＝1，所以cos (A－B)＝1，所以在△ABC中，A－B＝0，即A＝B，所以△ABC是等腰三角形． 9. 　解析：如图，作AE⊥BD交BD于点E.因为AB＝，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，所以AE＝AB＝，则AD＝＝2.在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AC＝. 10. 2　　解析：由＋cos A＝2，得＋cos A＝2，所以sin A cos B＋cos A sin B＝2sin B，即sin (A＋B)＝sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，即＝2.cos B＝＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝时取等号．又B∈(0，π)，所以cos B<1，所以cos B的取值范围为. 11. (1) 由2b cos C＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos C＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin B. 又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以cos C＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2) 因为c＝，C＝且△ABC的面积为3， 所以a2＋b2－2ab cos C＝c2，且S△ABC＝ab sin C＝3， 即解得或 12. (1) 由＝， 得2sin C－cos A sin C＝2sin A cos B＋sin A cos C， 即2sin C＝2sin A cos B＋(sin A cos C＋cos A sin C). 因为sin A cos C＋cos A sin C＝sin (A＋C)＝sin B， 所以2sin C＝2sin A cos B＋sin B. 又sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以2sin A cos B＋2cos A sin B＝2sin A cos B＋sin B， 整理，得2cos A sin B＝sin B. 在△ABC中，因为sin B>0，所以cos A＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. (2) 由a sin A＝b sin C及正弦定理，得a2＝bc. 又b＝2，所以a2＝2c， 由(1)，得A＝，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得2c＝4＋c2－2c， 即c2－4c＋4＝0，解得c＝2，所以a2＝2c＝4，则a＝2. 综上，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋2＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $