第20章《勾股定理》单元复习2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级下册《勾股定理》单元复习卷，通过选择（10题）、填空（5题）、解答（8题）覆盖定理应用、逆定理及实际问题，融合《九章算术》“勾股容方”、生活情境（梯子、风筝）与物理实验，体现几何直观、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|直角三角形判定（第1题）、勾股定理计算（第3题两直角边求斜边）、平板支架高度问题（第2题）|基础巩固，结合生活工具情境| |填空题|5小题|圆柱表面最短路径（第11题）、“青朱出入图”面积（第12题）、数轴表示无理数（第13题）|文化传承与空间观念结合| |解答题|8小题|梯子高度计算（第16题）、物理滑块实验（第19题）、“类勾股三角形”新定义（第21题）、台风影响时间（第23题）|分层设计，从实际应用到创新探究，体现跨学科与问题解决能力|

人教版八年级下册第20章《勾股定理》单元复习 一．选择题（共10小题） 1．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（　　） A．1，2，5 B．6，7，8 C．1，1， D． 2．现有一个可调节角度的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm；当压低支撑臂OA到OA′的位置时，点A′到桌面的高度A′D＝7cm，则此时OD的长度为（　　） A．25cm B．24cm C．23cm D．20cm 3．在Rt△ABC中，两直角边长分别是6cm、8cm，则斜边的长是（　　） A．2cm B．10cm C．14cm D．24cm 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2﹣BC2等于（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 5．下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S＝8的是（　　） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6步，BC＝12步．四边形CDEF为正方形，点D在AC上，点E在AB上，点F在BC上（如图）．则正方形CDEF的边长为（　　） A．2步 B．3步 C．4步 D．5步 7．将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 8．如图，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，再以FD为斜边作Rt△DEF，最后以EF、DE为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以AB为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（　　） A．5 B．3 C．16 D．6 9．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 10．下列四组线段，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．，2， C．5，6，7 D．6，8，10 二．填空题（共5小题） 11．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为　 　 米． 12．“出入相补，各从其类”是魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中系统提出的核心原理．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形．若AD＝5．EI＝7，则正方形AHIG的面积为　 　 ． 13．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动时间为ts，当△ABP为等腰三角形时，t的值是　 　 ． 15．如图，在△ABC中，BC＝15，AC＝20，AB＝25，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．如图，长为2.5m的梯子AB靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离BC为1.5m，求梯子顶端距地面的高度AC的长． 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 18．如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C三点都在格点上（小正方形的顶点称为格点）．三角形CDE是由三角形ABC平移得到的（点B的对应点为点D）． （1）点A的对应点为点　 　 ；若AE＝2a，则上述平移的最短路程为　 　 ； （2）写出图中与∠ABC相等的所有的角，并说明理由； （3）连接BD，若三角形ABC的周长为b，AE＝2a，直接用含a，b的式子表示四边形ABDE的周长． 19．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝8dm，AB+BC＝16dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了9dm，求此时物体C升高了多少dm？ 20．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得AB＝8dm，BC＝9dm，CD＝12dm，AD＝17dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）求线段BD的长度； （2）安全标准规定：需满足BC⊥CD，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 21．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC 的三边长分别是，和2，因为，所以△ABC是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”． 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法　 　 ；（填“正确”或“错误”） （2）已知△ABC的其中两边长分别为1、2，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为　 　 ； （3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的代数式表示其周长． 22．在物理课上，老师带领同学们进行物理实验，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到滑块B的水平距离BC＝6dm，绳子的总长度为18dm（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）． （1）求物体C到滑轮A的垂直距离AC的长； （2）如图2，若物体C升高了7dm，求滑块B向左滑动了多少dm？ 23．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 人教版八年级下册第20章《勾股定理》单元复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（　　） A．1，2，5 B．6，7，8 C．1，1， D． 【分析】直接根据勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：A、∵1+2＜5， ∴三边长为1，2，5不可以组成三角形，不符合题意； B、∵62+72≠82， ∴三边长为6，7，8不可以组成直角三角形，不符合题意； C、∵12+12＝（）2， ∴三边长为1，1，可以组成直角三角形，符合题意； D、∵22+（）2≠32， ∴三边长为2，，3不可以组成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 2．现有一个可调节角度的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm；当压低支撑臂OA到OA′的位置时，点A′到桌面的高度A′D＝7cm，则此时OD的长度为（　　） A．25cm B．24cm C．23cm D．20cm 【分析】利用勾股定理进行解答即可． 【解答】解：由题意得，∠ACO＝90°，∠A′DO＝90°， ∴在Rt△AOC中，， ∴OA′＝OA＝25cm， ∴在Rt△A′OD中，， 故选：B． 3．在Rt△ABC中，两直角边长分别是6cm、8cm，则斜边的长是（　　） A．2cm B．10cm C．14cm D．24cm 【分析】由勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边长分别是6cm、8cm， ∴斜边的长是， 故选：B． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2﹣BC2等于（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【分析】根据勾股定理得出AB2＝BC2+AC2，再根据，求出结果即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB2＝BC2+AC2， ∵， ∴， 故选：B． 5．下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S＝8的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由正方形中的数字计算正方形的边长，再由勾股定理计算求解即可． 【解答】解：A选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则S＝2×2＝4，不满足题意； B选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则S＝4×4＝16，不满足题意； C选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，满足题意； D选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则S＝2×2＝4，不满足题意， 故选：C． 6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6步，BC＝12步．四边形CDEF为正方形，点D在AC上，点E在AB上，点F在BC上（如图）．则正方形CDEF的边长为（　　） A．2步 B．3步 C．4步 D．5步 【分析】设正方形CDEF的边长为x步，证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：设正方形CDEF的边长为x步， ∵四边形CDEF是正方形，AC＝6步，BC＝12步， ∴DE＝CD＝x，AD＝AC﹣CD＝6﹣x，DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， 即， 解得：x＝4， 因此正方形的边长为4步， 故选：C． 7．将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出几的最大值和最小值即可． 【解答】解：当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）； 如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，连接AD， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理得：， 此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm， 故选：D． 8．如图，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，再以FD为斜边作Rt△DEF，最后以EF、DE为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以AB为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（　　） A．5 B．3 C．16 D．6 【分析】先分别求出以AC和以BC为边的正方形的面积，然后相加即可． 【解答】解：∵四边形ACFD是正方形， ∴AC＝FD． ∵以EF、DE为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴AC2＝FD2＝1+3＝4． ∵以AB为边的正方形面积为2， ∴AB2＝2， ∴以BC为边的正方形面积为：BC2＝AB2+AC2＝2+4＝6， ∴图中5个正方形的面积总和是：1+3+4+2+6＝16， 故选：C． 9．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 【分析】根据勾股定理逆定理求解即可． 【解答】解：设原直角三角形的三边为a，b，c（斜边）， ∴a2+b2＝c2， ∵这个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍， ∴这个直角三角形的三条边长为：2022a，2022b，2022c， ∵（2022a）2+（2022b）2＝（2022c）2， ∴得到的新三角形是直角三角形． 故选：B． 10．下列四组线段，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．，2， C．5，6，7 D．6，8，10 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵（）2+22≠（）2，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为　5　 米． 【分析】将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，如图， ∴柱身高为6米，底面周长为1.5米， ∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点， ∴AE＝1.5米，（米）， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：（米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为：2.5×3＝7.5（米）， 故答案为：7.5． 12．“出入相补，各从其类”是魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中系统提出的核心原理．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形．若AD＝5．EI＝7，则正方形AHIG的面积为　169　 ． 【分析】根据正方形的性质得到AG＝GI，BG＝GF，∠ABG＝∠F＝90°，证明Rt△ABG≌Rt△IFG，根据全等三角形的性质得到FI＝AB＝AD＝5，求得EF＝GF＝12，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形， ∴AG＝GI，BG＝GF，∠ABG＝∠F＝90°， ∴Rt△ABG≌Rt△IFG（HL）， ∴FI＝AB＝AD＝5， ∴EF＝GF＝5+7＝12， 在Rt△IGF中，GI2＝IF2+GF2＝52+122＝169， 即正方形AHIG的面积为169， 故答案为：169． 13．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为　　 ． 【分析】由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【解答】解：如图， 由数轴可知：OC＝3，BC＝2，∠ACB＝90°， ∴， ∴a的值为． 故答案为：． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动时间为ts，当△ABP为等腰三角形时，t的值是　4或2或5　 ． 【分析】由勾股定理求出AB的长，以及用t表示出BP，再分三种情况分别求解． 【解答】解：由勾股定理得，AB6cm， 由题意可知，BP＝3tcm， 情况一：当 AB＝AP时此时△ABP 是以A为顶点的等腰三角形． 在Rt△ACP 中，根据勾股定理得：AP2＝AC2+CP2． 代入数据得：． 化简方程：180＝144+（3t﹣6）2， 移项得：（3t﹣6）2＝36， 解得：3t﹣6＝6 或 3t﹣6＝﹣6． 解得 t＝4或t＝0．因为t＝0时点P与点B重合，不能构成三角形，故舍去．所以，t＝4． 情况二：当 AB＝BP时此时△ABP 是以B为顶点的等腰三角形．直接建立等量关系：BP＝AB．代入数据得：， 解得：． 情况三：当AP＝BP时，此时△ABP 是以P为顶点的等腰三角形． 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2+CP2， 因为AP＝BP，所以AP2＝BP2． 建立方程：BP2＝AC2+CP2．代入数据得：（3t）2＝122+（3t﹣6）2． 解得t＝5， 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值是4或2或5． 故答案为：4或2或5． 15．如图，在△ABC中，BC＝15，AC＝20，AB＝25，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为　3.5　 ． 【分析】先由勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，求出，然后由三角形的面积公式求出CD＝12，进而由勾股定理即可求出BD的长，进而求解即可． 【解答】解：在△ABC中， ∵BC＝15，AC＝20，AB＝25， ∴BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝625， ∴BC2+AC2＝AB2 ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴， ∵CD⊥AB， ∴△BCD是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴DE＝BE﹣BD＝12.5﹣9＝3.5． 故答案为：3.5． 三．解答题（共8小题） 16．如图，长为2.5m的梯子AB靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离BC为1.5m，求梯子顶端距地面的高度AC的长． 【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝1.5m，AB＝2.5m， 由勾股定理得， 故答案为：2m． 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得FD，再利用勾股定理求得DC′，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【解答】解：（1）他的说法正确． 理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m）， 即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 18．如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C三点都在格点上（小正方形的顶点称为格点）．三角形CDE是由三角形ABC平移得到的（点B的对应点为点D）． （1）点A的对应点为点C ；若AE＝2a，则上述平移的最短路程为a ； （2）写出图中与∠ABC相等的所有的角，并说明理由； （3）连接BD，若三角形ABC的周长为b，AE＝2a，直接用含a，b的式子表示四边形ABDE的周长． 【分析】（1）根据平移的性质可得结论； （2）根据平移的性质可得结论； （3）由平移的性质可得DE＝BC，BD＝AC，可求得结论． 【解答】解：（1）点A的对应点为点C， 由平移得AC＝CE， 又AE＝2a， 所以，AC＝a，即平移的最短路程为a， 故答案为：C，a； （2）由平移的性质可知，BC∥DE，AB∥CD， 因为AB∥CD， 所以∠ABC＝∠BCD； 因为BC∥DE， 所以∠BCD＝∠CDE， 所以∠ABC＝∠BCD＝∠CDE， ∴与∠ABC相等的角是∠BCD、∠CDE； （3）因为三角形CDE是由三角形ABC平移得到的， ∴DE＝BC，DB＝CA， 又∵AB+BC+AC＝b，AE＝2a， ∴AB+BD+DE+AE＝b+2a，即四边形ABDE的周长为b+2a． 19．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝8dm，AB+BC＝16dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了9dm，求此时物体C升高了多少dm？ 【分析】（1）设AB＝xdm，则BC＝（16﹣x）dm，利用勾股定理列出方程，解方程即可； （2）先求出BE的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）根据题意可知，AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝xdm，则BC＝（16﹣x）dm， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， 故绳子的总长度为：AB+AC＝10+8＝18（dm）， 答：绳子的总长度为18dm； （2）如图2， ∵滑块B向左滑动了9dm， ∴BE＝BD+DE＝9+6＝15（dm），AE＝8dm， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB17（dm）， 由（1）可知，绳子总长为18dm， ∴AC＝18﹣17＝1（dm）， ∴物体C上升高度为：CE＝8﹣1＝7（dm）， 答：滑块B向左滑动了9dm，此时物体C升高了7dm． 20．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得AB＝8dm，BC＝9dm，CD＝12dm，AD＝17dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）求线段BD的长度； （2）安全标准规定：需满足BC⊥CD，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【分析】（1）通过勾股定理求出BD的长度； （2）利用勾股定理的逆定理判断BC与CD是否垂直即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中， ． （2）该车符合安全标准， 理由：∵BC＝9dm，BD＝15dm，CD＝12dm， ∴BC2+CD2＝92+122＝225， ∵BD2＝152＝225＝BC2+CD2， ∴BC⊥CD， 即该车符合安全标准． 21．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC 的三边长分别是，和2，因为，所以△ABC是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”． 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法　正确　 ；（填“正确”或“错误”） （2）已知△ABC的其中两边长分别为1、2，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为　或　 ； （3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的代数式表示其周长． 【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可； （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a，b，c，则a＝b＝c， ∴a2+b2＝2c2． ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； （2）设另一边长为x， ①12+22＝2x2，解得x，符合题意； ②12+x2＝2×22，解得，符合题意； ③x2+22＝2×12，解得x＝0（不合题意，舍去）； 故答案为：或； （3）∵x＜y＜z， ∴x2＜y2＜z2， ∴y2+z2＞2x2，x2+y2＜2z2， ∴x2+z2＝2y2， ∵x2+y2＝z2， ∴y2z2， ∴x2z2． ∴zx，yx． ∴周长为：（1）x． 22．在物理课上，老师带领同学们进行物理实验，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到滑块B的水平距离BC＝6dm，绳子的总长度为18dm（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）． （1）求物体C到滑轮A的垂直距离AC的长； （2）如图2，若物体C升高了7dm，求滑块B向左滑动了多少dm？ 【分析】（1）设AC＝xdm，则AB＝（18﹣x）dm，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出BD的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得：BC＝6dm，AB+AC＝18dm， 设AC＝xdm，则AB＝（18﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即x2+62＝（18﹣x）2， 解得：x＝8， 答：AC的长为8dm； （2）如图2，AD＝8dm，DE＝6（dm）， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（dm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD15（dm）， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 23．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/21 7:31:02；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $