第二十章 勾股定理 单元专项练习提升卷 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 单元专项练习提升卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．5，7，12 C．12，13，15 D．21，28，35 2．小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（　　） A．10根 B．14根 C．24根 D．30根 3．三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．下列说法中错误的是（　　） A．三个角度之比为3：4：5的三角形是直角三角形 B．三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形 D．三边之比为1：2： 的三角形是直角三角形 5．如图，已知等腰的底边在轴上，且，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 7．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（　　） A． B． C． D． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则C点到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 9．如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， ∠CAB=30°， AC=6 ， D为AB上一动点(不与点A重合)，△AED 为等边三角形，过D 点作 DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是(　　) A． B．9 C． D．6 10．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC的中点，则EM+CM的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　 　． 12．如图，在中，，于点，，，则　 　． 13．如图，有一个棱长为2cm的正方体，点P为 中点，在A点的一只蚂蚁想吃到P点的食物，则它爬行的最短路程为　 　cm. 14．已知⊿ 中， ，点 在 上，则点 到另外两边的距离之和是　 　 . 15．如图：已知： ， ，垂足分别为 、 ，点 是 上使 的值最小的点.若 ， ， ，则 　 　. 16．已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接CE，则的最小值为　 　(用含的代数式表示)． 三、解答题（17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，22、23每题9分，24题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，某海岸线MN的方向为北偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离． 18．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米。如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米? 19．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，，求CD，BD的长. 20．已知长方体的长为1cm、宽为1cm、高为4cm（其中AC=1cm，BC=1cm，CG=4cm）.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程是多少？ 21．如图， AD 是∆ABC的角平分线， ∠C=90°，CD=1cm， 点P是AB上一动点 （1）连结DP， 求DP的最小值； （2）若∠B=30°， 求∆ADB的面积. 22．在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 23．如图，在中，，，，动点从出发沿射线以1cm/s的速度运动，设运动时间为． （1）求边的长． （2）当为等腰三角形时，求的值． 24．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．5，7，12 C．12，13，15 D．21，28，35 【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，不正确； B、∵52+72≠122，不正确； C、∵122+132≠152，不正确； D、∵212+282=352，正确； 故答案为：D. 【分析】如果a、b、c为正整数且满足a2+b2=c2，那么a、b、c叫做勾股数，根据定义分别判断即可. 2．小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（　　） A．10根 B．14根 C．24根 D．30根 【答案】C 【解析】【解答】解：∵两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒， ∴由勾股定理，得到斜边需用：（根）， ∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：6+8+10=24． 故答案为：C. 【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；即可求得斜边需要的火柴棒的数量，再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量． 3．三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】【解答】解：∵2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2， ∴2ab=a2+2ab+b2-c2 ∴a2+b2=c2 ∵ａ，ｂ，ｃ是三角形的三边长 ∴此三角形是直角三角形。 故答案为：C 【分析】利用完全平方公式将右边的括号展开，再变形，可得出a2+b2=c2，即可判断此三角形的形状。 4．下列说法中错误的是（　　） A．三个角度之比为3：4：5的三角形是直角三角形 B．三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形 D．三边之比为1：2： 的三角形是直角三角形 【答案】A 【解析】【解答】A．因为根据三角形内角和定理求得各角的度数，其中没有直角，符合题意； B．因为其三边符合勾股定理的逆定理，不符合题意； C．根据内角和公式求得三角的度数，有直角，不符合题意； D．因为其三边符合勾股定理的逆定理，不符合题意． 故答案为：A． 【分析】三角形内角和为180°，根据三个角度之比可算出每个角的大小，由此判断A错误，C正确； 运用勾股定理可判断B、D均为正确。 5．如图，已知等腰的底边在轴上，且，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C， ∵， ∴OC=BO=4，AC=， ∴点A的坐标是：， 故答案为：C． 【分析】过点A作AC⊥OB于点C，根据等腰三角形的性质得到OC=BO=4，然后利用勾股定理得到OC=4，AC=3，进而解题． 6．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故答案为：B ． 【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为，据此得到第九个直角三角形的斜边长，进而得到该图形周长，根据无理数的估算求出的范围，进而根据不等式性质求出+10的范围，即可判断得出答案. 7．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 【分析】分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求出答案. 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则C点到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB= =15， 过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又∵S△ABC= AC•BC= AB•CD， ∴CD= = = ， 则点C到AB的距离是 ． 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理可得出AB的长度，利用三角形的面积公式，可得出C到AB的距离。 9．如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， ∠CAB=30°， AC=6 ， D为AB上一动点(不与点A重合)，△AED 为等边三角形，过D 点作 DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是(　　) A． B．9 C． D．6 【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 连接DG， AG， 设AG交DE于点H， G为EF的中点， ∴点G在线段DE的垂直平分线上， 为等边三角形， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴ AG为线段DE的垂直平分线， ∴点G在射线AH上，当 时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足， 在 和 中， 解得：BC=6， 故答案为：D. 【分析】连接DG， AG， 设AG交DE于点H， 先判定AG为线段DE的垂直平分线，再判定 (AAS)，然后由全等三角形的性质可得答案. 10．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC的中点，则EM+CM的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接BE，交AD于M'， ∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上中线， 则AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分线， ∴MB=MC，M'B=M'C， ∴EM+CM=EM+BM，EM‘+CM’=EM‘+BM’， ∵EM+BM>BE=EM‘+BM’， ∴当B、M、E在同一条直线上，EM+CM最小， 这时BE=. 故答案为：D. 【分析】根据等边三角形的性质得出AD为BC边上的垂直平分线，于是EM+CM转化为BM+EM，然后根据两点之间线段最短，推得当M'在BE和AD的交点时， EM+CM最短，最后利用勾股定理求出BE的长即可. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　 　． 【答案】8 【解析】【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5， ∴DE= AC=5， ∴AC=10． 在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得 CD= = =8． 故答案是：8． 【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC的值，根据勾股定理求出CD的值. 12．如图，在中，，于点，，，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：设 =x，则CD=x-1 在中，根据勾股定理有 解得：x=5 故答案为：5 【分析】勾股定理应用，无法直接求解就考虑设元利用方程思想解决 13．如图，有一个棱长为2cm的正方体，点P为 中点，在A点的一只蚂蚁想吃到P点的食物，则它爬行的最短路程为　 　cm. 【答案】 【解析】【解答】解：有两种情况：当展成的长方形：长为2+1=3，宽为2时，最短路径为： . 当展成的长方形：长为2+2=4，宽为1时，最短路径为： . 故蚂蚁爬行的最短路径长为 cm. 故答案为： . 【分析】 立体图形表面上的最短问题，将正方体侧面分两种情况展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长. 14．已知⊿ 中， ，点 在 上，则点 到另外两边的距离之和是　 　 . 【答案】4.8 【解析】【解答】解：如图所示．连接AP，作AH⊥BC于H点PD⊥AB于D，PE⊥AC于E． ∵AB=AC=5，BC=6，∴BH=CH=3， ∴AH= =4． ∵S△ABC=S△ABP+S△ACP， ∴ ×6×4= ×5×PD+ ， ∴PD+PE=4.8． 故答案为：4.8． 【分析】连接AP，作AH⊥BC于H点PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AH的长，再利用S△ABC=S△ABP+S△ACP，就可求出PD+PE的值。 15．如图：已知： ， ，垂足分别为 、 ，点 是 上使 的值最小的点.若 ， ， ，则 　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C， 则AC+BC=A′C+BC=A′B， A′B就是AC+BC的最小值； 延长BN使ND=A′M，连接A′D， ∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴AA′∥BD. ∵ND=A′M， ∴四边形A′DNM是平行四边形， ∵AM⊥MN， ∴∠AMC=90°， ∴∠A′MC=90°， ∴四边形A′DNM是矩形， ∴ND=AM=3，A′D=MN=15， ∴BD=BN+ND=5+3=8， ∴A′B= ， ∴AC+BC=17. 故答案为：17. 【分析】作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC=A′C+BC=A′B，由两点之间线段最短可得A′B就是AC+BC的最小值；解直角三角形A´BD即可求解。 16．已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接CE，则的最小值为　 　(用含的代数式表示)． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，为最小值， 当、、三点共线时，， ， ， 与重合， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 的垂直平分线交于， ， ， ， 在中，， 即的最小值 故答案为：． 【分析】过点E作EF⊥CE交CB延长线于F，过点A作AH⊥BC于H，作AC的垂直平分线交AH于K，连接CK，根据手拉手模型，利用SAS证明△BAD≌△CAE，由全等三角形的对应角相等得∠ACE=∠B，根据三角形的内角和定理、平角定义可求得∠ECF=30°，则由含30度角的直角三角形的性质得到CF=2EF，进而根据勾股定理表示出CE、EF、得出，故当A、E、F三点共线时，AE+EF=AF为最小值，当A、E、F三点共线时，∠F=60°，即∠DAF=30°，根据含30°角直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的三线合一得， 由等边对等角及三角形外角性质得出∠CKH=30°，最后再根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理求解即可. 三、解答题（17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，22、23每题9分，24题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，某海岸线MN的方向为北偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离． 【答案】解：过点C作CD⊥AM垂足为D， ∴∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=30°， 设CD=x ∵在Rt△ACD中，∠CAD=75°-45°=30° ∴AC=2x ∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，BC=30 ∴BD=BC=x ∴，解得x= ∴AC=2x=． 答：港口A到海岛C的距离是海里． 【解析】【分析】过点C作CD⊥AM垂足为D，设CD=x，则AC=2x，BD=BC=x，再利用勾股定理可得，求出x=，即可得到 AC=2x=。 18．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米。如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米? 【答案】解：由题意可知， 0.7m， ， 在 中，由勾股定理得：AC= 在 中，由勾股定理得： . 【解析】【分析】由勾股定理求出AC=2.4 m ，得 再由勾股定理求出 即可解决问题. 19．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，，求CD，BD的长. 【答案】解：因为所以则在中，由勾股定理得：同理可得： 【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意可得为直角三角形，所以：同理可求出BD. 20．已知长方体的长为1cm、宽为1cm、高为4cm（其中AC=1cm，BC=1cm，CG=4cm）.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程是多少？ 【答案】根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况： 沿AE、EG、GF、FB剪开，得图（1）AF2=AB2+BF2=（1+1）2+42=20cm， 沿AC、CG、GF、FH、HE、EA剪开，得图（2）AF2=AC2+FC2=12+（4+1）2=26cm， 沿AD、DH、HF、FG、GE、EA剪开，得图（3）AF2=AD2+FD2=12+（4+1）2=26cm， 综上所述，最短路径应为（1）所示， 所以AF2=20cm， 即AF= cm， 答：最短路径应为 cm. 【解析】【分析】把长方体的表面展开，使A点与F点在同一个平面内，由两点之间线段最短可知，最短路径有以下三种情况： 如图所示， 分别利用勾股定理求出AF2，再从中找出AF的最小值即可. 21．如图， AD 是∆ABC的角平分线， ∠C=90°，CD=1cm， 点P是AB上一动点 （1）连结DP， 求DP的最小值； （2）若∠B=30°， 求∆ADB的面积. 【答案】（1）解：如图， 过点D作DH⊥AB于H， ∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DH⊥AB， ∴DH=CD=1cm， 由垂线段最短可知：DP的最小值是1cm （2）解：在Rt△ABC中， ∠C =90°， ∠B =30°，则∠BAC=90°-30°=60°， BD=2DH =2cm， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD=2CD=2cm， 由勾股定理得： 【解析】【分析】(1)过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=CD=1cm，再根据垂线段最短即可解题； (2)先根据角平分线和直角三角形的两锐角互余得到利用含30度角的直角三角形的性质求出BD、AD，再根据勾股定理得到AC长即可解题. 22．在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）解：由题知：米，米，米， ∵， ∴在中：， ∴是直角三角形，， 则， 即是最近的路． （2）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理， 即， 解得， 则米，得：米． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形即可； （2）根据勾股定理列出关系式，再进行计算即可. 23．如图，在中，，，，动点从出发沿射线以1cm/s的速度运动，设运动时间为． （1）求边的长． （2）当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）解：在中，，，， ， 即边的长为． （2）解：由题意得：， 分以下三种情况： ①如图，当时，为等腰三角形， ，， ， 由得：，即， 解得； ②如图，当时，为等腰三角形， 则； ③如图，当时，为等腰三角形， （等腰三角形的三线合一）， ； 综上，当为等腰三角形时，的值为或10或16． 【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）分三种情况：①当，②当，③当，据此分别画出图形并求解即可. 24．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， （2）解：△ADC是直角三角形，理由如下，如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形 （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地的面积为： 【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，用勾股定理求出BE的值，然后根据线段中点的性质即可求解； （2）△ADC是直角三角形，理由如下，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AC=AB，然后根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状； （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算即可求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $