2 单元培优卷(二)(第二十章)-【单元金卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

2单元培优卷（二） 单元金卷 (第二十章) 数学八年级-下册 时间：100分钟满分：120分 题号 二 三 总分 得分 r 争分夺秒，勤学苦练创佳绩，攀蟾折桂，舍我其谁】 一 、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各组数据中的三个数是一组勾股数的是 装 A.5,4,5 B.6,8,10 C.6,7,8 D.1,1,√2 2.如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标 记格点A,B,C,D,连接格点，则下列线段长度为√10的是（) A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD 拟 订 D B 第2题图 第3题图 3.如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准 备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点 母 C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是 ( 线 A.勾股定理 B.三角形内角和定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形的两锐角互余 4.下列命题中，逆命题正确的有 () ①内错角相等，两直线平行；②如果两个角都是直角，那么它们相 料 等：③如果两个实数相等，那么它们的平方相等：④如果三角形的 三边长a,b,c满足a2=b2+c2,那么这个三角形是直角三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折 州 抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(1 丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折 -7 断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 () A.4.55尺 B.5.45尺 C.4.2尺 D.5.8尺 A 3二2二101D2中 第5题图 第6题图 6.如图，数轴上A点表示的数为-2，B点表示的数为1.过点B作 BC⊥AB,且BC=2,以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴 的交点D表示的数为 () A.√13 B./13+2 C.13-2 D.-√/13+2 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点.若DA=DB=8, △ABD的面积为24，则CD的长是 () A.3 B.4 C.6 D.2√7 4 第7题图 第8题图 8.如图是一个长和宽均是3cm,高BC=9cm的长方体纸箱，BC上 有一点P,PC=乙BC.一只蚂蚁从点A出发，沿纸箱表面经过2个 31 侧面爬行到点P,则蚂蚁爬行的最短距离是 () A.62 cm B.3√3cm C.10 cm D.12 cm 9.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角 形围成，较短的直角边BC=5,斜边AB=√61.若将四个直角三角 形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风 车”，则这个风车的外围周长是 () A.70 B.76 C.72 D.80 D 图2 B 第9题图 第10题图 10.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点（不与点 B,C重合)，AE的垂直平分线分别交AB,CD于点G,F.若CF= 6DF,则BE:EC的值为 () .6 B.6-1 C.14-2 D.6-4 3 2 2 —8— 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若Rt△ABC的两边a,b满足√a-3+(b-4)2=0,则它的第三边c 为 12.如图，△ABC的顶点A,B,C都在边长为1的正方形网格的格点 上，CD LAB于点D,则CD的长为 飞 B 0 第12题图 第13题图 13.如图，一架长5m的梯子AB,斜靠在墙A,0上，点B1到墙底端 0的距离为3m,此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子 的B,端向墙的方向移动了1.6m到B处，此时梯子的高度达到 工作要求，那么梯子的A,端向上移动了 m 14.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm,CD=3cm,AB= 13cm,BC=12cm,∠ADC=90°，则这块菜地的面积为 cm2. D 第14题图 第15题图 15.如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE,垂足为O,∠BFD= ∠C.若AF=4,BF=3,则点F到直线AB的距离为 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(8分)如图，AC⊥BD,并相交于点0，设m=AB2+CD,n=AD+ BC2,请比较m和n的大小. —9 17.(9分)如图，在△ABC中，AC=13cm,AB=12cm,BC=5cm,D 是BC延长线上的点，连接AD,若AD=15cm. (1)求CD的长； (2)过点C作CE⊥AD交AD于点E,求CE的长 18.(9分)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意 见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培 养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八(1)班、八 (2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地！ (1)小昕测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m,12m, 13m,请你帮助他们计算出这块试验基地的面积； （2)八(2)班的劳动实践基地的三边长分别为AB=15m,BC= 14m,AC=13m(如图)，你能帮助他们求出面积吗？ 19.(9分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形 ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题 (1)线段AB的长为 ,BC的长为 ,CD的 长为 (2)连接AC,通过计算说明△ACD和△ABC是什么特殊的三 角形. —10 20.(9分)剪纸面塑、年画风筝、中医问诊、美食扎堆…在开封市 “欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让 过往游客市民看花了眼、“迷”住了心小明买了一个年画风筝， 并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测 得放飞点与风筝的水平距离BD为15m:根据手中余线长度，计 算出AC的长度为17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为 1.5m.已知点A,B,C,D在同一平面内 (1)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在余线仅剩7m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上 升12m,请问能否成功？ B 21.(10分)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港. （1)求A,C两港之间的距离；（结果精确到0.1km,参考数据： √2≈1.414,3≈1.732) (2)求C港在A港的什么方向上. -11 22.(10分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我 ※※※※ 们称这个三角形为“美丽三角形”， (1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4,求证：△ABC是“美 ※※※※ ※※※※ 丽三角形”； ※※※ (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4√3，若△ABC是“美丽三角 ※※※※ ※※※※ 形”，求BC的长 ※※※ 米※ 治 (备用图) 装米米※ ※米※ ※※ ※ 23.(11分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE= ※※※※ 45°，BE分别交AC,AD于点E,F (1)如图1，若AB=13,BC=10,求AF的长； (2)如图2，若AF=BC,求证：BF2+EF2=AE ※ ※※ ※※※ 图 图2 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 兴兴※※ ※※※※ ※※※※ -12参芳 1单元培优卷（一） 0⊙0⊙000⊙0⊙0000⊙000006 0 快速对答案： 0 1~5 BACDB 6~10 BACDD 0 0 1.112.213.51432-215.3 d d 10.D【解析】由从大正方形中剪去面积为30cm2和 48cm2的两个小正方形，可得大正方形的边长为 √30+√48=（√30+45）(cm),则剩余部分的面积 为大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即 (√30+45)2-30-48=24/10(cm2).故选D. 33 133 15. 8 【解析】根据题意得，√万=√4+1≈4+ 2x48 1 16解：()⑧-4√2 +√24÷√/3=32-22+22=32. (2)(2W5-√7)(25+W7)-(5-3)=(25)2-(7)2 (W5-3)=20-7-√5+3=20-7+3-√5=16-√5： 17.解：由数轴可知c<a<0<b, 则a+c<0,c-a<0, ∴.原式=-a+(a+c)-(c-a)-b=-a+atc-c+a-b=a-b. 18.解：原式=x2+2xy-2xy-2y =x2-2y2. 当x=√5，y=-3时， 原式=(5)2-2×(-√3)2=5-6=-1. 19.解：由题意得，a2-1=0,1-a2=0,a+1≠0， 解得a=1,.b= F),Vc=4,…0=±4， 9 当c=4时，原式=1×2+4= 7 当c=-4时，原式=1×24= 7 综上所述，ab+c的值为)或-2 20.解：(1)√9<√13<√16，√25<√29<√36， .3<√13<4,5<√29<6， :√13的小数部分为a=√13-3，√29的整数部 分为b=5, .a+b-√13=√13-3+5-√13=2. (2)√1<3<√4，.1<√3<2，.13<12+3<14， 即13<x+y<14, :x是整数，且0<y<1,.x=13,y=12+3-13= √5-1， 则x-y=13-(5-1)=14-√3，x-y的相反数为 3-14. 21.解：(1)这个舞台的宽：80：√128=√50=52（米） 答：这个舞台的宽是5√2米. (2)舞台装饰后的总面积：（√128+22）×(52+22)= (82+2W2)×(52+2W2)=10W2×7W2=140(平方米). 答：舞台装饰后的总面积是140平方米. 22.解：(1)20+103=(15+5)+2×√15x5=(√15+W5)2 (2)√11-62=√2+9-2×√2x9=√(3-√2)2= 3-5. (3)(m+Wn)2=(m+n)+2√mm=a+2√2i, .m+n=a,mn=21. 案 单元金卷·数学 八年级下册 a,m,n均为正整数， .mn=1×21=3×7,.a=1+21或a=3+7, 即a=22或a=10. 23.解：(1)√7 5-2 (2)原式 √7+5 (7-√5)(7+5) √7+5√7+√5 7-5 2 1 (3) (n为正整数) √n+I+√元 n+I-元 = (√n+1+元)（√n+I-√n) =VntI-n/I, n+1-n 0大1 1 1 十十 )(/2025+1) 迈+15243√20匹+√224 =(2-1+3-√2+W4-√3++√2025-√2024)· (√2025+1)=（√2025-1）（√2025+1）=2025-1 =2024. 2单元培优卷（二） 00⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙00⊙0⊙ 快速对答案： 1~5 BBCBC 6~10 CDABC 11.5或万12.3V10 2 13.0814.2415.12 0 8.A【解析]由题可知PC=号BC=6cm 将长方体纸箱2个侧面展开如图，连接 AP,AP的长即为爬行的最短距离， :AC=6cm,PC=6cm,.在Rt△ACP 中，AP=√6+6=62(cm),.蚂蚁爬 行的最短距离是6v2cm.故选A. 出方法指导》 转化法 解几何体表面上的最短距离问题的关键是转 化，即将空间问题转化为平面问题，根据平面上 “两点之间，线段最短”确定最短路径连接起点与 终点所得线段作为三角形的一条边，构造直角三 角形，利用勾股定理求最短路线长. 9.B【解析】在Rt△ABC中，BC=5,AB=√6I, .AC=√AB2-BC2=6.将四个直角三角形中较长 的直角边分别向外延长一倍，∴.CD=2AC=12,AD= AC=6,.BD=√BC+CD=13,这个风车的外围周 长是4(AD+BD)=4X(6+13)=76.故选B. 10.C【解析】如图，连接AF,EF. A CF=6DF,.设DF=a,CF= 6a,..CD=7a=AD=BC,..AF= √AD+DF=52a.GF垂直平 G 分AE,.EF=AF=52a,.EC= B √EF2-CF2=√14a,∴.BE=7a- 4a,BB:BC=☑-2故选C 2 14.24【解析】如图，连接AC, 在Rt△ACD中，AD=4cm, CD=3cm,根据勾股定理得， AC=√AD2+CD2=5cm,在 △ABC中，AB=13cm,BC=12cm,∴.AC2+BC2= AB2,.△ABC为直角三角形，则S=SAARG-SACn= 1 ×12x5-2×3x4=24(cm2). 1512 【解析】：LBFD=∠C,BF∥CE,AFL CE,即∠COF=90°，∴.∠AFB=∠COF=90°，∴.AB= √AF+BF=5,设点F到直线AB的距离为h,且 AF-4.BF-3.AB5,.FFh 1 43=×5xA-片点F到直线AB 1 的距离为号 16.解：AC⊥BD,.AB2=0A2+0B2,CD2=OC2+OD2, AD2=0A2+0D2,BC2=0B2+0C2. ,m-n=AB2+CD2-(AD2+BC2)=0A2+0B2+0C2+ 0D2-(0A2+0D2+0B2+0C2)=0,.m=n. 17.解：(1)：AC=13cm,AB=12cm,BC=5cm, ∴.AC2=AB2+BC2,.△ABC是直角三角形， .∠ABD=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD=√AD-AB2= √/152-122=9(cm), ∴.CD=BD-BC=9-5=4(cm),∴.CD的长为4cm, (2)由(1)得CD=4cm,∠ABD=90°，∴.AB⊥BD .CE⊥AD, 5m2cD·AB=7400B7×4x12= 2x15xCE,CB=写(em)CB的长为6。m 1 16 5.cm. 18.解：(1)52+122=132， .三边长分别为5m,12m,13m的三角形构成直 角三角形，其中的直角边是5m,12m, ·此三角形的面积为2×5×12=30(m). (2)过点A作AH⊥BC于点H,如图. 设BH=x,则CH=14-x. 在Rt△BHA中，A=AB2-BH=152-x2 在Rt△AHC中，A=AC2-CH=132-(14-x)2, .152-x2=132-(14-x)2,解得x=9, .AH=√152-92=12， 1 1 ÷.△MBC的面积=2BC·AH=2×14x12=84(m2). 答：△ABC的面积是84m2. 19.解：(1)W5522 (2)AC=AD=√2+4=2W5, ∴.△ACD是等腰三角形. AB2+AC2=5+20=25=BC2, ∴.△ABC是直角三角形. 20.解：(1)如图1，过点A作AE⊥ED于点E,则AE=BD =15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90° 在Rt△AEC中，CE=√AC2-AE=√17-15=8(m), ..CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m). (2)不能成功，理由如下： 假设能上升12m,如图2，延长 DC至点F,连接AF,则CF= 12m, ∴.EF=CE+CF=8+12=20(m), 图1 在Rt△AEF中，AF=√AE+EF2= √/152+202=25(m),AC=17m,余 线仅剩7m, .17+7=24<25, .不能再上升12m,即不能成功. 21.解：(1)由题意可得∠MAB=60°， ∠PBC=30°， 图 .∠BAN=30°，∠CBQ=60°， ∴.∠ABQ=30°，∴.∠ABC=90. AB=BC=10 km, AC=√AB2+BC=102≈14.1(km). 答：A,C两港之间的距离约为14.1km. (2)由(1)可得△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=45°，.∠CAM=60°-45°=15°， .C港在A港的北偏东15方向上. 22.(1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D, :AB=AC,AD LBC,.BD=BC=2. 由勾股定理得，AD=√AB2-BD2=4, ∴.AD=BC,即△ABC是“美丽三角形” (2)解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2， BC=√BD2-CD2=6, 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2=AB2-CE,BC2-(2BC)2=(45),解得 BC=8. 综上所述，BC的长是6或8. D 图1 图2 23.(1)解：AB=AC,AD⊥BC,∴.BD=CD. .BC=10,.BD=5. 在Rt△ABD中，AD=√AB-BD=√132-5=12， 在Rt△BDF中，：∠CBE=45°， ∴.DF=BD=5,∴AF=AD-DF=12-5=7. (2)证明：如图，在BF上取一点 H,使HB=EF,连接CH,CF. ·HB=EE,∠CBH=∠DFB= ∠AFE,BC=AF, .△CHB≌△AEF, ∴.CH=AE,∠CHB=∠AEF, ∴.∠CEF=∠CHE,∴.CE=CH. .BD=CD,FD⊥BC ∴.CF=BF,∴.∠CFD=∠BFD=45°， ∴.∠CFB=90°，∴.EF=FH. 在Rt△CFH中，CF2+FH=CH, .BF2+EF2=AE2. 3月考提升卷（一）》 8°00⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0e8 快速对答案： 1~5 BCDBB 6~10 ACDBA 11.x≤1且x≠-212.813.2a-3 141.515，或3 0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙