山东泰安市肥城市2025-2026学年高二下学期期末考试考前适应性检测数学试题

**基本信息** 以小球抽取游戏、成绩关联分析等真实情境为载体，通过函数导数综合应用、二项式定理开放设问等设计，梯度考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配高二期末综合能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数导数、二项式系数|第4题结合函数零点考查充分不必要条件，体现逻辑推理| |多选题|3/18|随机变量、函数性质|第11题通过分段函数零点与方程根综合考查数学抽象| |填空题|3/15|函数单调性、全概率公式|第13题投篮概率问题，渗透数学建模意识| |解答题|5/77|概率统计、导数应用、独立性检验|17题小球抽取游戏情境考查古典概型，18题成绩数据分析体现数据观念，19题导数不等式恒成立考查逻辑推理|

山东省泰安市肥城市2026年高二下学期期末考试考前适应性检测 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，则（   ）． A．1 B． C． D． 3．（本题5分）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（本题5分）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 7．（本题5分）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 8．（本题5分）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知随机变量，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 10．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．有3个零点 C．若关于的方程有四个不同实根，则 D．若，恒成立，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______. 13．（本题5分）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 14．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝______ 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．（本题15分）在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____________，求： (1)求n和展开式中二项式系数最大的项； (2)求的展开式中含的项的系数． 17．（本题15分）某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 18．（本题17分）为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ (2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（本题17分）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B D C A BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】解一元二次不等式可化简集合B，然后由并集定义可得答案. 【详解】.则， 从而. 故选：A 2．D 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】由， 故选：D. 3．A 【分析】写出通项公式，然后代值计算即可. 【详解】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 4．D 【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解． 【详解】因为时，，可知函数的图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点．      当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 结合选项只有是的真子集， 故是函数有且只有一个零点的充分不必要条件. 故选：D． 5．B 【分析】求导，代入，求出答案. 【详解】，令得，解得. 故选：B 6．D 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 7．C 【分析】根据回归方程、相关系数的意义、残差平方和、独立性检验的知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，经验回归直线是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的， 并非由成对样本数据中的两点确定，所有A错误； 对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1； 当是负相关时，相关系数越接近于，并非只接近1，所以B错误； 对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以C正确； 对于D，在独立性检验中，计算得到，而， 因为，所以不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，所以D错误. 故选：C. 8．A 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 9．BD 【分析】利用二项分布的期望和方差公式，结合随机变量线性关系的期望和方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，所以， 又因为，所以，故A错误； 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 由于，即，故C错误； 若，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即有最大值，故D正确； 故选：BD. 10．ACD 【分析】对于A和B，通过赋值法，即可求解；对于C，利用二项展开式的通项公式，即可求解；对于D，对展开式两边求导，再赋值，即可求解. 【详解】对于A，令，得，所以A正确； 对于B，令，得，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，对两边同时求导， 得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD. 11．ACD 【分析】先根据分段函数的解析式和导数相关知识判断函数的单调性，即可判断；令，分段求出的值即可判断；先解方程求出的值，再根据函数的单调性和最值画出函数图象，通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，进而判断；由已知将问题转化为求函数，的最大值问题，通过求导判断函数的单调性即可求解最值，进而求解的范围. 【详解】当时，，此时在上单调递增， 当时，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的单调递增区间为，故A正确； 当时令，得， 当时，令，得，所以函数有2个零点，故B错误； 因为，即， 所以或， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 当时，，所以的图象如图所示，    由图可知有一个根， 若满足关于的方程有四个不同实根， 则有三个不同实根，所以，故C正确； 若，恒成立，则， 令，，所以， 由，得（舍）或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，有最大值为，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立. 13． 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14． 【分析】利用奇偶性和对称性得到函数的周期性，利用周期性得到函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得，即， 又因为，则， 因此函数的周期为8， 当时，，则，结合， 所以． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）化简集合A与B，根据并集的定义求解即可. （2）根据是的充分不必要条件，得B是C的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【详解】（1）集合， ， 所以. （2）， 由是的充分不必要条件，得集合B是C的真子集， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 16．(1)，和 (2) 【分析】（1）根据二项式系数的性质，判断的值和二项式系数最大的项，根据二项式展开式，求出该项即可. （2）根据二项式的展开式，求出指定项即可. 【详解】（1）条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意， 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得； 当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项， 根据二项式展开式可知，第项为， 当时，，当时，， 所以二项式系数最大的项为第4项和第5项. （2）已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数为. 17．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）求出B取得的小球编号为6，7时的概率，和为5，8时的概率可得答案； （2）（ⅰ）求出A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时的概率、小球编号为1，4，8；2，3，8时的概率、小球编号为2，4，7；3，4，6时的概率可得答案；（ⅱ）求出A抽取2次小球获胜的概率、抽取3次小球获胜的概率、抽取4次小球获胜的概率可得答案． 【详解】（1）分析可得B前两次取得的小球编号之和为13时， 取得的小球编号分别为6，7或5，8，只需要分析前4次抽取的情况， 一共有种取法， 当B取得的小球编号为6，7时，概率为， 当B取得的小球编号为5，8时，概率为， 所以B前两次取得的小球编号之和为13的概率为； （2）（ⅰ）A取了3次小球并获得胜利，说明A取了3次小球编号之和为13， B取了2次小球编号之和不为13，A，B取球的总情况一共有种取法， 其中3次小球编号之和为13的组合有1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7； 2，5，6；3，4，6共6种情况． 当A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时，共有种； 当A抽取的小球编号为1，4，8；2，3，8时，要排除B抽取6，7， 此时共有种； 当A抽取的小球编号为2，4，7；3，4，6时，要排除B抽取5，8， 此时共有种； 所以A取了3次小球并获得胜利的取法为种， 可得所求概率为． （ⅱ）A可以抽取2次小球获胜，概率为， A可以抽取3次小球获胜，概率为， A可以抽取4次小球获胜，A可取小球编号为1，2，3，7；1，2，4，6；1，3，4，5． 当A抽取4次小球时，获胜的概率为， 所以可得A获得胜利的概率为． 18．(1)能； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． （2）由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2，                           ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 19．(1)最小值-1，最大值 (2). 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，然后求值即可； （2）求导，可知函数的最小值，得到，然后分，，计算即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以， . 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得最小值. ，，而， 所以：此在处取得最大值 （2）. 因为，令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 所以：， 即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设， 则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $