精品解析：山东省泰安市肥城市慈明学校2023-2024学年高二下学期期末检测数学试卷

肥城市慈明学校 2023—2024学年度第二学期期末检测 “慈爱明德•知行合一”高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，即可得出角的取值. 【详解】由题意得，所以，，故角的值可能为． 故选：A. 2. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可. 【详解】解：因为函数满足对任意的，都有成立， 所以函数是定义在上的减函数， 所以，解得，所以 故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的判断、利用分段函数的单调性求参数范围，是中档题. 3. 若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，作出的图象为，则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，取讨论它们的大小，即可得到的范围. 【详解】设， ，由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 作出的图象为， 由，， 当时，，即， 当时，，即， 因为， ，所以， 而， 即， 则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解， 只需 即， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 4. 一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可. 【详解】的定义域为，解得：， 故， 因为，所以， 故，故 故选：B. 6. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 7. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可. 【详解】先将甲、乙排为一列，有种方法， 再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法， 根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为． 故选：D． 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 二、多项选择题 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平方关系求得，从而确定可提范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； ，D正确； 结合可得，，B正确； ，C不正确． 故选：ABD． 10. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，结合基本不等式使用的条件“一正、二定、三相等”来进行判断即可完成求解. 【详解】当时，，所以，此时，故A正确； 此时当时成立，取，则，故B错误； 当时，故C错误； 当时，，则，故D正确． 故选：AD． 11. 以下结论正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 存在，使得不等式成立 C. 若，则 D. 若正实数满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】集合基本不等式成立条件和乘“”法确定. 【详解】对于A，不等式恒成立的条件是，故A错误； 对于B，当时，不等式成立，故B正确； 对于C，若，则，当且仅当时取等号； 对于D，若正实数满足，则， 当且仅当，即时取等号；故D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分为，根据补集运算求出，再根据交集运算，即可求出结果. 【详解】由图可知，阴影部分为， ∵或，∴ ∴．. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，以及图得应用，属于基础题. 13. 若函数在上满足恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析题意，列出方程组，求解即可. 设，则，即①， 由得，则②， 由①②可得，即， 因为不恒为0，所以， 所以，经验证，符合题意． 故答案为： 四、双空题 14. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 五、解答题 15. 将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角函数平移变换与伸缩变换的性质推导即可得； （2）由的范围，可得的范围，即可得函数的值域． 【小问1详解】 的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象； 【小问2详解】 设，由，得， 则，即在区间上的值域为． 16. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上为减函数，证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 17. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设函数，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）（） 【解析】 【分析】（1）由图得、，可得，再代入可得答案； （2），根据复合函数、三角函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 易知， 由图知，则，，， ， 所以（），解得（）， 因为，所以，则； 【小问2详解】 因为， 要求其单调递增区间，只要（）， 解得（）， 所以的单调递增区间为（）． 19. 某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表： 更喜欢正装 更喜欢运动装 家长 120 80 学生 160 40 （1）根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异； （2）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异； （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为． 【解析】 【分析】（1）计算，与临界值比较可得结论； （2）利用超几何分布写出分布列和期望. 【小问1详解】 由题可知 更喜欢正装 更喜欢运动装 总计 家长 120 80 200 学生 160 40 200 总计 280 120 400 则， 因为，所以有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异． 【小问2详解】 座谈的家长中更喜欢正装的人数为，更喜欢运动装的人数为． 由题意可得X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肥城市慈明学校 2023—2024学年度第二学期期末检测 “慈爱明德•知行合一”高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 7. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多项选择题 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 以下结论正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 存在，使得不等式成立 C. 若，则 D. 若正实数满足，则 三、填空题 12. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 13. 若函数在上满足恒成立，则__________． 四、双空题 14. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 五、解答题 15. 将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域． 16. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 17. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设函数，求的单调递增区间． 19. 某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表： 更喜欢正装 更喜欢运动装 家长 120 80 学生 160 40 （1）根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异； （2）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $