山东省泰安市岱岳区2025-2026学年七年级下学期期末考试考前适应性检测

**基本信息** 本试卷以《孙子算经》、抖空竹非遗、酸菜加工等文化与现实情境为载体，覆盖二元一次方程组、平行线、三角形、概率等七年级下册核心知识，通过基础题与探究题的梯度设计，考查运算能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题40分|第2题《孙子算经》方程应用、第4题三角形角平分线性质|结合经典文化，考查概念辨析与基础运算| |填空题|6题24分|第15题抖空竹平行线性质、第14题不等式组整数解|融入非遗元素，检测空间观念与逻辑推理| |解答题|8题86分|第21题酸菜加工方案设计（方程与不等式）、第24题等腰直角三角形探究|综合现实应用与几何探究，培养模型意识与创新思维|

山东省泰安市岱岳区2026年七年级下学期期末考试考前适应性检测 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 2．（本题4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．三角形的三条高交于一点 C．三角形有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形 D．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 5．（本题4分）如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）在一个不透明的布袋中装有8个白球，若干个黑球，它们除颜色不同外其余均相同，若从中随机拿出一个球为白球的概率是，则布袋中黑球的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（本题4分）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．（本题4分）如图在中，，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题4分）已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________． 12．（本题4分）如图，已知，，则________． 13．（本题4分）如图，在的正方形网格中，已将部分小正方形涂上阴影，有一只小虫自由地落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是______． 14．（本题4分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为______． 15．（本题4分）抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为_____． 16．（本题4分）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）解方程组： (1) (2) 18．（本题9分）如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（本题10分）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 20．（本题11分）已知：如图，点在一条直线上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 21．（本题11分）“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： ①全部进行粗加工并包装； ②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售； ③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请根据以上信息，回答下列各小问： (1)若选择方案①，求该公司所得的利润． (2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由． 22．（本题12分）请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由． 解：，理由如下： ∵，______（邻补角定义）， ∴______（______________）， ∴______（______________）， ∴（______________）， ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（______________）， ∴（______________）． 23．（本题12分）一个盒子中装有红、黑、白三种颜色的小球，总共30个，每个小球除颜色外都相同，若红球个数是黑球的2倍少1个，从盒子中任取一个球是白球的概率是． (1)盒子中白球的个数为______． (2)求从盒子中任取一个球是黑色的概率． 24．（本题13分）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市岱岳区2026年七年级下学期期末考试考前适应性检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D B A B C B C 1．C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 把代入含有a，b的两个方程，得， 由②得． 则． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键． 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组． 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．把代入，求出的值，再求出方程组的解即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据三角形外角的性质，三角形的高，三角形的分类，三角形角平分线逐项判断即可． 【详解】解：A． 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项的命题是假命题； B． 钝角三角形的三条高不交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故本选项的命题是假命题； C． 任意一个三角形至少有一个角是锐角，故本选项的命题是假命题； D． 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，故本选项的命题是真命题． 故选：D 5．B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B 6．A 【分析】本题主要考查概率的计算公式，根据题意找到等量关系列方程是解决问题的关键． 根据概率公式，摸到白球的概率等于白球数量与总球数的比值，设黑球个数为，列方程求解即可． 【详解】解：设黑球个数为，则总球数为， 由题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解． ∴ 黑球的个数为个． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．C 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：因为当时，直线在直线的上方， 所以，不等式的解集为． 9．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． ①先证明，进而依据“”判定和全等得可判断①；②根据得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此得，继而得周长为可判断②；③设的延长线交于点H，证明和是等腰直角三角形得，由此得是等腰直角三角形，则可判断③；④假设，根据得，再根据得，进而得是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾，由此得假设是错误的，据此可判断④． 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 10．C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直平分线的作法与性质、等边对等角等知识点，掌握中垂线的作法是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：为的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故选C． 11．1 【分析】根据加减消元法，用含的式子表示出和，将其代入即可求得的值． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②得：， 将和代入得：， 解得：． 12．85 【分析】本题考查三角形的外角．求出的补角，再利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：如图： ， ∵是三角形的外角， ∴， 故答案为：85． 13． 【分析】本题考查的是几何概率，用到的知识点是概率公式．求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值即可求解． 【详解】解：小虫落到阴影部分的概率， 故答案为： 14． 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数得到关于的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，不等式组的解集为， 不等式组恰好有个整数解， 满足条件的整数解为， ． 15．/122度 【分析】本题涉及平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 通过作辅助线，构造与已知角相关的角，利用平行线的性质求出这些角的度数，再根据三角形外角的性质求出所求角的度数． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．①③④⑤ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∴， ∴， ∵ ∴， 故⑤正确； 若②平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故②错误， 即正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）原方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得， 去括号，得， 解得， 把代入，得， 方程组的解为； （2）解：，即， ，得， ，得， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， 方程组的解为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）与性质定理（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等）是解题的关键． （1）通过已知角相等的条件，利用等量代换得到内错角相等，从而证明两直线平行． （2）先由（1）的平行结论推出同旁内角互补，再结合角相等的条件证明另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到角相等，进而求出角的度数． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 19．（1），图见解析；（2），最大整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键． （1）不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再求出最大整数解即可． 【详解】解：（1）原不等式移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2）， 解①得：， 解②得：； ， 整数解为：， 最大整数解为． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． （1）证明，，利用可证明； （2）由得，证明出，从而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 21．(1)57500元 (2)第③种，见解析 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，方案选择，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：（元）． 若选择方案①，求该公司所得的利润为元． （2）当选择方案②时，由题意得，进行天精加工并包装，余下的直接销售． 则精加工并包装的数量为，直接销售的数量为． 此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工并包装天，进行粗加工并包装天． 则 解得 此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为元． ， 选择第③种方案能使公司最大利润化． 22．，，（同角的补角相等），，（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），，（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等）． 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等和判定内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行填写即可． 【详解】解：，理由如下： ∵，（邻补角定义）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 23．(1)4 (2) 【分析】此题考查了根据概率求数量，一元一次方程的应用，求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）用球的总数乘以取到白球的概率即可； （2）设盒中黑球的个数为x个，则红球个数为个，列方程求出黑球的个数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：盒子中白球的个数为：（个）， 故答案为：4； （2）解：设盒中黑球的个数为x个， 由题意得， 解得， ， 即从盒子中任取一个球是黑色的概率为． 24．（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $