精品解析：山东省泰安市岱岳区2024--2025学年下学期七年级数学期末试题

七年级数学练习题 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）． A B. C. D. 4. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 5. 下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少应定为多少元？设售价定为每千克元时不亏本，根据题意列不等式是（　　） A. B. C. D. 8. “教育强国”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 满足不等式的最小负整数解是________． 12. 一小区门口升降杆如图所示，于点A，当杆抬升到最高处时，，，那么此时________度． 13. 如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则_________． 14. 在平面直角坐标系内，若两条直线和的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为______． 15. 如图，__________． 16. 初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…．按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是__． 三、解答题，共8小题，86分． 17. （1）解方程组： （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 18. 小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定： ①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入； ②如果小兔进入笼子后选择从开始进入出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元． （1）问小美得到小兔玩具的机会有多大？ （2）假设有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 19. 在括号中填写理由．如图，已知，．求证：． 证明：（________） （________） （________） 又（________）， （________） （________） （________） 20. 课本再现 （1）在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为，又因为，所以，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程． 知识应用 （2）如图2，是外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：． 21. 如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）求证：． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了14秒的温水，又接了8秒的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为________； （2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） （3）李老师的水杯容量为600毫升，分别从两个出水口接满水时，水杯的温度不低于70度，李老师接开水的时间至少多长时间． 23. 已知关于x的一次函数． （1）当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； （2）若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； （3）若，当时，求y的取值范围； （4）当时，y有最大值8，求m的值． 24. 综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学练习题 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据图示可知车速不低于60，不超过120，再用不等号连接即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、当a=0，b=−1时a>b，但2a=0 < b+2=1，故该选项不符合题意； B、通过a>b可得出3a>3b，从而可得出3a+1>3b+1，故该选项符合题意； C、 通过a>b可得出−a<−b，故该选项不符合题意； D、 当a=2，b=−3时a>b，但是|a|=2<|b|=3，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 3. 如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出，平行求出，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 4. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 5. 下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了举反例，明确解题方法是关键； 要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足，但的例子，据此逐项进行验证即可． 【详解】解：当时，，不满足，所以A不符合题意； 当时，，不满足，所以B不符合题意； 当时，，且，结论成立，不能作为反例，所以C不符合题意； 当时，，满足条件，但，结论不成立，符合反例要求，所以D符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A． 7. 某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少应定为多少元？设售价定为每千克元时不亏本，根据题意列不等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设售价为元/千克，因为销售中有的水果正常损耗，故千克苹果损耗后的质量为，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设售价元/千克， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据题意列出不等式是解答本题的关键． 8. “教育强国”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，掌握求频率的方法是解题的关键． 根据频率的定义求解即可． 【详解】解：“教育强国”四字的汉语拼音中，共有个字母，字母“”出现了次 字母“”出现的频率是， 故选：C ． 9. 已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 首先把代入，求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：A． 10. 在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 满足不等式的最小负整数解是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解不等式和求一元一次不等式的整数解． 熟记不等式的性质是解决此题的关键． 不等式的性质：①不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小负整数即可． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项，得 合并，得 ． ∴x的最小负整数解是． 故答案为： 12. 一小区门口升降杆如图所示，于点A，当杆抬升到最高处时，，，那么此时________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公里的推论，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补． 过点B作，求出，由平行公里的推论得，可得，即可求解． 【详解】解：过点作，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150． 13. 如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则_________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系内，若两条直线和的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】先解关于x，y的方程组，再根据交点在第三象限的角平分线上得到方程，解之即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∵交点在第三象限的角平分线上， ∴， 解得：b=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了两直线平行和相交的问题，求出交点坐标，并理解第三象限的角平分线上点的坐标特征是解答此题的关键． 15. 如图，__________． 【答案】##270度 【解析】 【分析】设与交于点，由模型可知，，①+②，根据角之间的关系即可得． 【详解】解：如图，设与交于点， 由模型可知， ， ①+②，得， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的角，解题的关键是理解题意，掌握三角形外角． 16. 初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…．按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是__． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知图形得出第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+69+70＝2485个，再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得． 【详解】解：∵第1个图形中正方体的个数为1， 第2个图形中正方体的个数3＝1+2， 第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3， ∴第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+70＝＝2485（个），其中写有“心”字的正方体有70个， ∴抽到带“心”字正方体的概率是＝． 故答案：． 【点睛】本题考查了概率公式、规律型：图形的变化类，理解题意找到规律是解题的关键． 三、解答题，共8小题，86分． 17. （1）解方程组： （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法进行计算，即可解答． （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 得，， 解得， 把代入①得． 解得， ∴原方程组的解为． （2）， 解①得，， 解②得，． 不等式组的解集为， 在数轴上表示如图所示： 18. 小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定： ①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入； ②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元． （1）问小美得到小兔玩具的机会有多大？ （2）假设有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【答案】；140. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据五个出入口的兔笼中一个出口得奖，确定出所求概率即可； （2）求出获奖概率与没有获奖概率，确定出100人次玩此游戏，游戏设计者可赚的钱即可． 试题解析：（1）根据题意得：小美得到小兔玩具的机会是； （2）根据题意得：一个人玩此游戏，游戏设计者可赚的钱为﹣×5+×3=（元）， 则有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚100×=140（元）． 考点：列表法与树状图法． 19. 在括号中填写理由．如图，已知，．求证：． 证明：（________） （________） （________） 又（________）， （________） （________） （________） 【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等量代换，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质在括号内填写理由即可． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又（已知）， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 20. 课本再现 （1）在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为，又因为，所以，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程． 知识应用 （2）如图2，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作，利用平行线的性质得到，，即可证明结论； （2）利用三角形的外角性质得到，，据此即可证明结论． 【小问1详解】 证明：过点C作， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是的外角的平分线， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，第(2)问利用第(1)问的结论证明是解题的关键． 21. 如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识： （1）由平行线的性质求出，再由三角形的内角和定理解决问题即可. （2）证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论. 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了14秒的温水，又接了8秒的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为________； （2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） （3）李老师的水杯容量为600毫升，分别从两个出水口接满水时，水杯的温度不低于70度，李老师接开水的时间至少多长时间． 【答案】（1）400 （2）嘉琪同学的接水时间为 （3）至少 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，找到数量关系是解题的关键． （1）用温水的速度乘以14加上开水的速度乘以8，即可求解； （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意，列出方程组，即可求解； （3）设李老师接开水的时间至少，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：， 即老师的水杯容量为； 故答案为：400 【小问2详解】 解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得： 则 解得， 此时． 嘉琪同学接水时间为； 【小问3详解】 解：设李老师接开水的时间至少，根据题意得： 解得：， 即李老师接开水的时间至少． 23. 已知关于x的一次函数． （1）当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； （2）若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； （3）若，当时，求y的取值范围； （4）当时，y有最大值8，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一元一次不等式的求解，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）根据一次函数的性质得到，然后解不等式； （2）根据一次函数的性质得到，然后解不等式组； （3）先确定解析式，再分别计算出当时，；当时，；然后根据一次函数的性质确定函数值的范围； （4）根据或两种情况下分别求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，， 解得：； 【小问2详解】 解：函数图像经过第一、二、三象限， ， 解得：； 【小问3详解】 ， 函数解析式为：， ，y随x的增大而增大 当时，， 当时，， 当时，； 【小问4详解】 若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：， 若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：． 24. 综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$