专项1第十九章二次根式压轴题型 2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦二次根式核心概念与压轴题型，以双重非负性为基础，系统整合化简、运算、应用及复合根式技巧，通过分层题型构建从概念到综合应用的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式有意义的条件|5题|双重非负性应用、隐含条件挖掘|从概念本质（被开方数非负）到综合求值，培养抽象能力与推理意识| |求二次根式的值|5题|构造和差对偶式、性质辨析|结合代数式结构特征，发展转化思想与运算能力| |混合运算|5题|运算法则综合应用|基础运算到复杂式计算，强化运算能力与逻辑思维| |分母有理化|5题|平方差公式法、倒数法|从单一项到代数式化简，培养数学语言表达与应用意识| |化简求值|5题|整体代入、因式分解|关联代数式变形与求值，提升模型意识与推理能力| |应用|5题|跨学科建模（物理、几何）|实际问题抽象为数学模型，发展应用意识与数据观念| |复合二次根式化简|6题|理想二次根式分解法|从简单根式到复合根式，深化数学思维与创新意识|

专项1 第十九章 二次根式压轴题型 目录 题型1 二次根式有意义的条件 1 题型2 求二次根式的值 6 题型3 二次根式的混合运算 11 题型4 分母有理化 14 题型5 二次根式的化简求值 22 题型6 二次根式的应用 25 题型7 复合二次根式的化简 30 题型1 二次根式有意义的条件 1．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 2．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)2022，2023， (2)1 (3)①；② 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴； （3）解：①由，得， ∴， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 3．已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 4．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， ∴ ． 5．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件解得： ∴， ∴原式 ． 【启发应用】 (1)按上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）先求解，再化简即可； （2）先判断，，再化简即可； （3）由三角形三边关系得，，，再化简即可. 【详解】（1）解：由二次根式有意义的条件得，即， 则， ∴原式. （2）解：由数轴知，且， 则，， ∴原式． （3）解：由三角形三边关系得，，， ∴原式. 题型2 求二次根式的值 6．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 7．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 8．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 9．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 10．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 题型3 二次根式的混合运算 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果； （2）先计算算术平方根、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先利用平方差公式、二次根式除法法则算乘除，再算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 15．计算 (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：∵， ∴ ． 题型4 分母有理化 16．． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参照例题分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简分母后求值． （2）先对每一项分别分母有理化，再通过裂项相消合并同类二次根式，化简算式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．阅读下列材料，然后解答问题： 材料：将进行分母有理化，过程如下： 请利用上述方法解答下列问题： (1)化简：___________； (2)计算：___________； (3)化简下列式子：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可； （2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可； （3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 18．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2042 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可； （3）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：是关于4的“美好数”， ∴ ∴ 19．阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）仿照题干给定的方法求出原式的倒数，进而求出原式即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 20．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) ； (3) ， 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可； （2）取倒数比较正数大小求解即可；运用平方比较正数大小的方法求解即可； （3）分别两式相乘和两式相除，得到与的数量关系，解关于、的方程组即可． 【详解】（1） 解：； （2） 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，， ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； （3） 解：， 得，， 整理得， 得，， 整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 题型5 二次根式的化简求值 21．已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 22．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 23．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再求出，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：要使和有意义，被开方数必须非负，因此： 解得， 将代入， 得； 将，代入式子： ． 24．已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 25． 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，再利用完全平方公式变形求解即可； （2）由已知条件可得，再根据异分母分式加减运算、因式分解变形，最后将相关条件代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型6 二次根式的应用 26．（跨学科融合）“高空抛物”是一种不文明的行为，即使是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，据研究，高空抛物下落的时间和高度近似满足公式（其中）． (1)当时，求下落的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量10物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在落地时所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2) (3)即使质量很小的物体，从高空落下后携带的能量也足以伤害人体，因此要严禁高空抛物的不文明行为 【分析】(1)直接将已知的高度和重力加速度代入时间公式， 化简后计算算术平方根， 即可得到下落时间． (2)已知下落时间， 先将时间代入时间公式， 变形后求出下落高度， 再将高度和物体质量代入能量公式， 即可计算出钥匙落地时的能量． (3)将计算得到的钥匙能量与伤害人体所需的能量对比， 结合文明行为规范， 得出关于高空抛物的启示即可． 【详解】（1）解∶将代入公式计算∶ 答∶ 当时， 下落的时间为． （2）解：当时， ， 即， 解得， ∴ 答∶ 这串钥匙在落地时所带能量为． （3）解∶由计算结果可知， 说明即使质量很小的物体， 从高空落下后产生的能量也足够对人体造成伤害． 答∶ 即使质量很小的物体，从高空落下后携带的能量也足以伤害人体，因此要严禁高空抛物的不文明行为． 27．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】(1) (2)面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 28．据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式 （不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)嘉琪说：“物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的倍．”通过计算判断她的说法是否正确； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（）．某质量为的小球经过落在地上，直接写出这个小球在下落过程中所带的能量． 【答案】(1)物体从的高空落到地面的时间为 (2)嘉琪的说法不正确，理由： 当时，， （1）中所求时间的倍为， ， 嘉琪的说法不正确； (3)这个小球在下落过程中所带的能量为 【分析】（1）令，代入公式求解对应的值即可； （2）令，代入公式求解对应的值，与（1）中所求时间的倍比较即可； （3）令，代入公式求解对应的值，再代入题干计算公式即可； 【详解】（1）解：当时，， 即物体从的高空落到地面的时间为； （2）略 （3）解：， ， ， 解得， 这个小球在下落过程中所带的能量为． 29．阅读下面对话，然后解答问题： 我想在一块面积为，长与宽的比为的长方形纸片中，裁出半径为的圆形纸片，不知能否裁出？ 那肯定行． 你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片？为什么？ 【答案】不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由如下： 设长为，宽为． 根据长方形面积公式： ， ∴长方形的长为，宽为， ∵圆的半径为， ∴直径为， 要裁出这个圆，长方形的长和宽都必须大于等于圆的直径， ∵，，， ∴， ∴长方形纸片的宽度小于圆的直径，因此无法裁出半径为的圆形纸片，即小明的说法错误，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【分析】设长为，宽为，根据长方形的面积可求得长方形的长为，宽为；再求出圆的直径为，再比较与的大小即可解答． 【详解】解：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由略． 30．【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 题型7 复合二次根式的化简 31．【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 32．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 33．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数、，使、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值； 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化； （2）利用完全平方公式进行化简； （3）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ 34．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 35．．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)①；；②；； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 36．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项1 第十九章 二次根式压轴题型 目录 题型1 二次根式有意义的条件 1 题型2 求二次根式的值 3 题型3 二次根式的混合运算 4 题型4 分母有理化 5 题型5 二次根式的化简求值 7 题型6 二次根式的应用 8 题型7 复合二次根式的化简 10 题型1 二次根式有意义的条件 1．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 2．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 3．已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 4．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 5．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件解得： ∴， ∴原式 ． 【启发应用】 (1)按上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 题型2 求二次根式的值 6．已知实数，满足，求的值． 7．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 8．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 9．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 10．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 题型3 二次根式的混合运算 11．计算： (1) (2) 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2) 14．计算：． 15．计算 (1) (2)； (3) (4)． 题型4 分母有理化 16．． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 17．阅读下列材料，然后解答问题： 材料：将进行分母有理化，过程如下： 请利用上述方法解答下列问题： (1)化简：___________； (2)计算：___________； (3)化简下列式子：． 18．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 19．阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 20．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 题型5 二次根式的化简求值 21．已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 22．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 23．已知，求的值． 24．已知，求的值． 25． 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型6 二次根式的应用 26．（跨学科融合）“高空抛物”是一种不文明的行为，即使是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，据研究，高空抛物下落的时间和高度近似满足公式（其中）． (1)当时，求下落的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量10物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在落地时所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 27．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 28．据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式 （不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)嘉琪说：“物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的倍．”通过计算判断她的说法是否正确； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（）．某质量为的小球经过落在地上，直接写出这个小球在下落过程中所带的能量． 29．阅读下面对话，然后解答问题： 我想在一块面积为，长与宽的比为的长方形纸片中，裁出半径为的圆形纸片，不知能否裁出？ 那肯定行． 你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片？为什么？ 30．【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 题型7 复合二次根式的化简 31．【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 32．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 33．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数、，使、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值； 34．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 35．．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 36．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $