精品解析：江苏省盐城市射阳县实验初中二〇二六年春学期初三期末考试 数学试卷

射阳县实验初中二○二六年春学期初三期末考试数学试卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 若，则等于（　　）． A. 5 B. 3 C. 6 D. 10 6. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 18 8. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 分解因式：____________． 10. 如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________． 11. 如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 12. 如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 13. 某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 14. 若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 15. 正方形和扇形按如图方式放置，其中，线段在线段上，点恰好是圆弧的中点， ，，则阴影部分的面积是______． 16. 已知在平面直角坐标系 中，点A的坐标为，M是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使 为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在2个不同的点M，使 为直角三角形，则的值（或范围）是 _________ ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再从中取一个数代入求值． 20. 如图，在中，点D在边上． （1）请用尺规过点D作一条直线，与交于点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 21. 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召，控制温室气体二氧化硫排放量，某年暑假，某数学小组对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查，完成下列任务． 【材料一】该工厂在前 个月的二氧化硫排放情况如图所示，该工厂 月份排放量可以看作个工作周的总和，排放情况如图所示． 【材料二】该工厂决定适度降低二氧化硫排放量，并对化工生产提出二氧化硫总排放量不超过吨的年度减排要求． 【任务一】 整理：据材料计算 月份二氧化硫排放量并补全图； 【任务二】 展望：该工厂从 月开始，每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少吨，请你计算说明，该工厂是否能够完成年度减排要求． 22. 盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 （精确到0.01）． （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次从盒中摸出两枚棋，请用“列表或画树状图”计算摸出的两枚棋颜色不同的概率． 23. 列方程解应用题： 端午节，是中国传统节日之一，吃粽子更是端午节的重要习俗．某工厂准备在端午节前制作端午礼品“粽香”套装，每一个套装中包含2个蛋黄粽和5个豆沙粽．该工厂有30名工人参与制作“粽香”套装，每名工人每小时能够制作12个蛋黄粽或者15个豆沙粽，已知工厂每名工人每天工作8小时． （1）若工厂每天生产的蛋黄粽、豆沙粽恰好全部配成“粽香”套装，应分别安排多少名工人制作蛋黄粽、豆沙粽？ （2）小白在购买这两种粽子时发现，用120元购买豆沙粽比同样金额购买蛋黄粽的数量多3个．已知每个豆沙粽的单价是每个蛋黄粽单价的，求每个“粽香”套装的单价． 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 25. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的长． 26. 定义：若函数图象上存在点，函数图象上存在点，且满足 ，，则称t为这两个函数的“域差”．例如：函数，当时， ；函数，当时， ，所以这两个函数的“域差”． （1）已知点在函数的图象上，点在函数 的图象上，若对于任意实数m，这两个函数的“域差”均为1，则 ； ； （2）已知点、分别在函数 的图象上，请求出“域差”时m的取值范围． （3）已知点在x轴上，过N点作y轴的平行线与函数 的图象分别交于两，将这两个函数图象上直线右侧的部分分别沿直线翻折，函数图象在直线左侧未翻折部分和右边翻折后的部分组成的图象所对应的函数记为，点、分别在函数的图象上，请解答下列问题： ①若使函数的“域差” 的m值恰有三个，求出此时r的值； ②若使函数的“域差” 的m值恰有两个，直接写出相应的r的取值范围． 27. 如图1，点P是正方形内部一点，连接 ，点E为线段的中点，连接． （1）如图1，若 ，求 的值； （2）如图2，以为一边向上方作正方形． ①连接，猜想线段 的数量关系，并证明你的结论． ②设的延长线与的交点为Q，若，且线段恰好经过点E，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射阳县实验初中二○二六年春学期初三期末考试数学试卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意， ， 解得 ． 4. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 5. 若，则等于（　　）． A. 5 B. 3 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 7. 如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，根据题意可得，证出是等边三角形，求出，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点A，即可求解． 【详解】解：连接，过点作， 根据题意可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵双曲线经过量角器边缘上一点A， ∴． 8. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，判断出点在正比例函数上，根据图象即可判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有 5 个交点． 【详解】解：设， 则， 即点在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故本题答案为：． 10. 如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题； 【详解】解：如图， ∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线， ∴CDAB， ∵CD＝2， ∴AB＝4， 故答案为4． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 11. 如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】##100度 【解析】 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 12. 如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 【答案】甲 【解析】 【分析】由前向后观察物体的视图，叫做主视图；注意根据积木的块数，判断积木甲后侧是否存在被遮挡的积木． 【详解】图为7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，可知积木甲后侧有一块积木被遮挡，拿走积木甲，主视图保持不变． 13. 某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据2024年投入的资金2026年投入的资金，列出方程即可． 【详解】由题意可列方程为． 14. 若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，， ，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 15. 正方形和扇形按如图方式放置，其中，线段在线段上，点恰好是圆弧的中点， ，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，点是圆弧的中点，先求出，由正方形的性质可得，设，由勾股定理得，再结合 求出，最后由扇形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵点是圆弧的中点， ， 四边形是正方形 ， 设， 由勾股定理得， ， ， ， ∴． ∴阴影部分的面积是． 16. 已知在平面直角坐标系 中，点A的坐标为，M是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使 为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在2个不同的点M，使 为直角三角形，则的值（或范围）是 _________ ． 【答案】 或 或 或 【解析】 【分析】分三种情况讨论直角顶点位置，直角顶点为O和A时各对应1个符合条件的点M，直角顶点为M时M在以为直径的圆上，总共有2个不同点M说明圆与对称轴无交点，根据圆心到对称轴的距离大于半径列不等式求解即可． 【详解】解： 为直角三角形，分三种情况讨论： 当 时， ，点M在定直线上，抛物线对称轴为竖直直线，因此定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当 时， ，同理，点M所在定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当 时，由圆周角定理可知，点M在以为直径的圆上，设圆心为，则为的中点， 已知， ，则的坐标为 ，由勾股定理得 ，因此圆的半径 。 抛物线 的对称轴为直线， 设，则对称轴为， 圆心到对称轴的距离， 若满足条件的点共有2个不同的点，则圆与对称轴无交点，即 ， 因此 ，即 ， 得 或 ， 解得或 ， 即 或 ， 当对称轴过点时, 则 的对称轴为： ， 则 ， 当对称轴过点时, 则 的对称轴为： ， 则 ， 故答案为 或 或 或 ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得； 由②得． ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 20. 如图，在中，点D在边上． （1）请用尺规过点D作一条直线，与交于点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法在上方作，根据同位角相等，两直线平行得到； （2）根据平行线的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由作图可得， ∴， ∴． 21. 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召，控制温室气体二氧化硫排放量，某年暑假，某数学小组对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查，完成下列任务． 【材料一】该工厂在前 个月的二氧化硫排放情况如图所示，该工厂 月份排放量可以看作个工作周的总和，排放情况如图所示． 【材料二】该工厂决定适度降低二氧化硫排放量，并对化工生产提出二氧化硫总排放量不超过吨的年度减排要求． 【任务一】 整理：据材料计算 月份二氧化硫排放量并补全图； 【任务二】 展望：该工厂从 月开始，每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少吨，请你计算说明，该工厂是否能够完成年度减排要求． 【答案】任务一：吨，补图见解析；任务二：能够完成 【解析】 【分析】（）根据条形图计算 月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可； （）根据折线统计图中的数据结合从 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少吨，列式计算即可； 本题考查的是折线统计图，条形统计图，有理数加法的应用，能从统计图中获取解题信息是解题的关键． 【详解】解：（） 月份二氧化碳排放总量为（吨）， 补全图如图所示： （）二氧化碳排放总量为（吨）， ， ∴该工厂能够完成年度减排要求． 22. 盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 （精确到0.01）． （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次从盒中摸出两枚棋，请用“列表或画树状图”计算摸出的两枚棋颜色不同的概率． 【答案】（1）0.25 （2） 【解析】 【分析】（1）随着试验次数增加，频率在某个固定值附近摆动，可以用频率估计概率，据此即可求解； （2）根据（1）的结果可求得黑棋数与白球数，画出树状图，得到所有等可能结果及摸出的两枚棋颜色不同的结果，由概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：0.25； 【小问2详解】 解：由（1）中的结果可知，黑棋个数为（个），则白球有（个）， 画出树状图如下： 由上可得，共有12种等可能性，其中摸出的两枚棋颜色不同的可能性有6种， ∴摸出的两枚棋颜色不同的概率为． 23. 列方程解应用题： 端午节，是中国传统节日之一，吃粽子更是端午节的重要习俗．某工厂准备在端午节前制作端午礼品“粽香”套装，每一个套装中包含2个蛋黄粽和5个豆沙粽．该工厂有30名工人参与制作“粽香”套装，每名工人每小时能够制作12个蛋黄粽或者15个豆沙粽，已知工厂每名工人每天工作8小时． （1）若工厂每天生产的蛋黄粽、豆沙粽恰好全部配成“粽香”套装，应分别安排多少名工人制作蛋黄粽、豆沙粽？ （2）小白在购买这两种粽子时发现，用120元购买豆沙粽比同样金额购买蛋黄粽的数量多3个．已知每个豆沙粽的单价是每个蛋黄粽单价的，求每个“粽香”套装的单价． 【答案】（1）应安排10名工人制作蛋黄粽，20名工人制作豆沙粽 （2）60元 【解析】 【分析】（1）设应安排x名工人制作蛋黄粽，则安排名工人制作豆沙粽，根据“每一个套装中包含2个蛋黄粽和5个豆沙粽”列出一元一次方程，求解即可； （2）设每个蛋黄粽的单价是y元，则每个豆沙粽的单价是y元，根据“用120元购买豆沙粽比同样金额购买蛋黄粽的数量多3个”列出分式方程，求解并检验，即可求得每个“粽香”套装的单价． 【小问1详解】 解：设应安排x名工人制作蛋黄粽，则安排名工人制作豆沙粽， 根据题意得：， 解得：， ∴（名）． 答：应安排10名工人制作蛋黄粽，20名工人制作豆沙粽； 【小问2详解】 解：设每个蛋黄粽的单价是y元，则每个豆沙粽的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每个“粽香”套装的单价为60元． 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1）19.3海里 （2）甲货轮先到达港 理由如下： 如图所示： 由题意得， ∴， ∴， 在中，， ∴海里，海里， 在 中，海里， ∴（海里）， ∴甲货轮航行的路程（海里）， 乙货轮航行的路程（海里）， ∵24.1海里＜26.4海里， ∴甲货轮先到达港． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，如图所示： 在中，海里， ∴（海里），（海里）， 在 中， ， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴两港之间的距离约为19.3海里； 【小问2详解】 略 25. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可得，然后根据直径所对的圆周角是直角和两直线平行内错角相等可推出，进而可证得结论； （2）通过证明和，得到，然后设，，则，根据比例式代入解方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点F． 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 26. 定义：若函数图象上存在点，函数图象上存在点，且满足 ，，则称t为这两个函数的“域差”．例如：函数，当时， ；函数，当时， ，所以这两个函数的“域差”． （1）已知点在函数的图象上，点在函数 的图象上，若对于任意实数m，这两个函数的“域差”均为1，则 ； ； （2）已知点、分别在函数 的图象上，请求出“域差”时m的取值范围． （3）已知点在x轴上，过N点作y轴的平行线与函数 的图象分别交于两，将这两个函数图象上直线右侧的部分分别沿直线翻折，函数图象在直线左侧未翻折部分和右边翻折后的部分组成的图象所对应的函数记为，点、分别在函数的图象上，请解答下列问题： ①若使函数的“域差” 的m值恰有三个，求出此时r的值； ②若使函数的“域差” 的m值恰有两个，直接写出相应的r的取值范围． 【答案】（1）；或 （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）再根据新定义，列出等式进行求解即可； （2）根据新定义，列出二次函数关系式，求出时的自变量的值，即可得出结果； （3）由题意，分 和 ，分别求出和，根据新定义，求出对应的值，再进行分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意， ， ∴ ， ∵对于任意，等式均成立， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 又∵， ∴ 不成立， ∴ ， 解得或； 【小问3详解】 解：由题意， ， 当 时，则 ， 当 时，由翻折可知：，， ∴ ， ∴当 时， ，解得或 ， 当 时， ，解得 或 ， ∴①当 的值恰好有3个值时，则的四个值中有2个值相等， 当 ，解得； 当 ，即 时， 此时满足题意的m只有两个值，不符合题意舍去; ②由①知：当 时， 的值恰好有3个； 当 时， 的值有4个， 当 时，则当 时， ， 当 时， （舍去）或 （舍去）， 故此时 的值有1个， ∴当 恰好有2个值时， ． 27. 如图1，点P是正方形内部一点，连接 ，点E为线段的中点，连接． （1）如图1，若 ，求 的值； （2）如图2，以为一边向上方作正方形． ①连接，猜想线段 的数量关系，并证明你的结论． ②设的延长线与的交点为Q，若，且线段恰好经过点E，求线段的长． 【答案】（1） （2）解：①猜想： ；证明如下： 延长至点，使，连接 ， ∵点为的中点， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵正方形， ∴ ， ， ∴垂直平分， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，正方形的性质，推出 ，，根据正切的定义，即可得出结果； （2）①延长至点，使，连接 ，证明，得到 ，易得垂直平分，得到 ，等边对等角，三线合一得到 ， ，证明，推出 ，，即可得出结论；②以为原点，边 所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，设，中点求出点坐标，求出直线的解析式，进而求出 ，作 ，证明，求出点坐标，根据三点共线，求出的值，进而求出点坐标，进而求出的长即可. 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②解：当时，则， 以为原点，边 所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，则， 设， ∵为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴ ， ∴ 作 ，则 ， ∵正方形， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为 ，把代入得 ， ∴， ∵线段恰好经过点E， ∴把，代入，得 ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∵， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $