期末复习：相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦相互独立事件与互斥事件的概念辨析及乘法公式应用，通过分层例题与变式构建概念-辨析-应用的逻辑链条，培养推理意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相互独立事件与互斥事件|4例+4变式|选择为主，结合取球/比赛/项目参与等情境，考查概念判断与概率关系|从概念区别（互斥无交集vs独立无影响）到性质应用（概率加法vs乘法），形成概念辨析→关系判断→概率计算的逻辑链| |独立事件的乘法公式|3例+3变式|解答题为主，涉及方案比较/比赛得分/面试通过等实际问题，需分步计算概率|以乘法公式为核心，从基础应用（独立事件概率计算）到综合拓展（多事件分步/分类概率），体现模型意识与运算能力|

期末复习：相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式专项训练 期末复习：相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 相互独立事件与互斥事件 独立事件的乘法公式 考点一 相互独立事件与互斥事件 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 例2．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 例3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 例4．（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 变式1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 变式2．（25-26高一下·云南昆明·月考）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 变式3．（25-26高一下·四川成都·月考）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 变式4．（25-26高一下·四川德阳·月考）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高一下·北京昌平·月考）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 例2．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 例3．（25-26高一上·江西景德镇·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，且；各项目的比赛结果相互独立． (1)若，求甲得4分的概率； (2)要使甲获冠军的概率大于乙获得冠军的概率，求的取值范围． 变式1．（25-26高一上·江西九江·期末）在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 变式2．（25-26高一下·湖南邵阳·月考）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 变式3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式专项训练 期末复习：相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 相互独立事件与互斥事件 独立事件的乘法公式 考点一 相互独立事件与互斥事件 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 例2．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 例3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 例4．（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 变式1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 变式2．（25-26高一下·云南昆明·月考）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 变式3．（25-26高一下·四川成都·月考）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：利用相互独立的性质即可判断；对于选项B：由互斥可得到，而不一定为0，进而做出判断；对于选项C：由，结合与互斥即可判断；对于选项D：由事件的关系可得与是对立事件，结合概率的性质即可判断. 【详解】对于选项A：因为相互独立，所以与也相互独立，所以,故选项A正确； 对于选项B：因为互斥，所以与不能同时发生，故，而不一定为0,故选项B错误； 对于选项C：因为，而与互斥，故，故选项C正确； 对于选项D：因为，，故与是对立事件，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 变式4．（25-26高一下·四川德阳·月考）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 【答案】BC 【分析】对于AC：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B：根据事件间关系分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：若A和互斥，则， 显然，所以A和一定不相互独立，故A错误； 对于选项B：若事件，则，故B正确； 对于选项C：若A和相互独立，则， 所以A和一定不互斥，故C正确； 对于选项D：因为， 若A和互斥，则，则，故D错误； 故选：BC. 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高一下·北京昌平·月考）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 例2．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求出； （2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩； （3）先拆分事件，再分步计算子事件概率，最后合并子事件概率求解． 【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， ，解得. （2）的频率为，的频率和为， 故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得， 进入决赛的同学成绩应不低于分． （3）甲乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件， ，， 两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为． 例3．（25-26高一上·江西景德镇·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，且；各项目的比赛结果相互独立． (1)若，求甲得4分的概率； (2)要使甲获冠军的概率大于乙获得冠军的概率，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用独立概率乘法求甲恰好赢两局的概率，相加即可； （2）先分析甲获胜的条件是赢至少两局，分别求出赢两局和赢三局的概率，总胜率表达为的一次函数，从而得到不等式，结合得范围. 【详解】（1）分别表示甲在三个项目中获胜，表示甲得4分， ； （2）甲得4分或6分，夺冠， 甲得4分的概率； 甲得6分的概率； 甲夺冠的概率为； 乙夺冠的概率为；又， . 变式1．（25-26高一上·江西九江·期末）在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【详解】（1）设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则，   又互斥， 所以当时，， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，①         ，②     由①②，得，解得.       （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则，    则．    或. 变式2．（25-26高一下·湖南邵阳·月考）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. (2)在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得. 若A为强队，则，此时. 即，所以. 所以双败赛制对强者更有利. 变式3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $