期末复习：外接球问题、内切球问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦外接球与内切球问题，通过分类题型构建空间几何与球的逻辑体系，以题载知培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |外接球问题|12题（含折叠三棱锥、正棱柱、圆柱等）|涉及侧棱垂直底面、折叠二面角、正多面体等结构|从几何体结构特征推导球心位置，应用勾股定理求半径，关联表面积公式| |内切球问题|11题（含圆锥、三棱锥、圆台等）|涵盖等体积法、轴截面分析、正棱锥内切等类型|通过体积分割或几何切线关系确定半径，体现空间几何量的转化推理|

期末复习：外接球问题、内切球问题专项训练 期末复习：外接球问题、内切球问题专项训练 考点目录 外接球问题 内切球问题 考点一 外接球问题 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补形为直三棱柱，利用直三棱柱外接球与三棱锥外接球相同的性质，先求底面正三角形外接圆半径，再结合棱柱高计算外接球半径，最终求出外接球表面积. 【详解】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 例3．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 例4．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 例5．（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据四面体外接球的性质，确定球心位置，解三角形求出球半径即可得解. 【详解】取的中点，连接，如图，    因为菱形ABCD中 所以为正三角形，且， 所以为二面角的平面角，故， 又平面，所以平面， 由平面，故平面平面. 所以四面体的外接球的球心在平面上， 在上取点，使，则是的外心，过点作垂直于，过点E作垂直于. 设与交于点，连接，则，则为四面体的外接球的球心，如图，    所以垂直平分， 因为为正三角形，且边长为， 所以，故， 又，所以，， 在直角三角形中，， 即球的半径， 故四面体的外接球的表面积为. 例6．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】根据题意可证垂直平分，同理可得垂直平分，则球心在上，再利用勾股定理求出球的半径即可． 【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为，   ， ，又平面， 平面，又平面， ，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设， ，， ， 又，解得，， 则四面体外接球的表面积为． 变式1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正方体外接球直径等于正方体体对角线长度的几何关系求解半径. 【详解】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为： 设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 变式2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥补形成长方体，结合长方体的外接球运算求解即可. 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，    则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 变式3．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 变式4．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）在三棱锥中，平面 ，，，则其外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】将三棱锥补形成长方体，然后求出长方体的体对角线长，即为外接球的直径，即可求解. 【详解】将三棱锥补形成长方体，如图所示： 则，即其外接球的直径为， 所以外接球的表面积. 变式5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 【答案】 【分析】借助正弦定理求出底面三角形外接圆半径后，结合直三棱柱性质与勾股定理可得该三棱柱外接球的半径，再利用球体体积公式计算即可得解. 【详解】设底面三角形外接圆圆心，则，即， 设该三棱柱外接球球心为，则且， 由底面，且底面，故， 即， 则该三棱柱外接球的体积为. 变式6．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【分析】先确定圆柱外接球的球心位置，求出外接球半径，再代入球的表面积公式计算结果 【详解】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高， 球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ， 根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为 考点二 内切球问题 例1．（25-26高一下·重庆·期中）在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法进行求解. 【详解】    如图所示，作，因为，所以是中点，因为平面平面，所以平面，所以， 设，则， 在直角三角形中，，即：，解得：，即：，， 因为，，所以和是直角三角形，且，则， 设三棱锥内切球的半径为，则， ， 代入得：，解得：，即：三棱锥内切球的半径为. 例2．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 例3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    例4．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________ 【答案】 【分析】应用正六棱锥的外接球及内切球关系计算求解. 【详解】设底面边长为a，高为h，外接球半径，内切球半径r， 因为正六棱锥及球的对称性，球心在正六棱锥的高上， 若球心在M处，则，则 ，所以，则， 设棱锥的斜高为，所以侧面积为， 棱锥的表面积为， 所以正六棱锥的体积等于， 所以内切球半径， 令，则，代入， 消去得出，即得， 化简得，所以， 则外接球和内切球的半径比； 若外接球球心在内切球与底面的交点O处，则外接球半径， 设棱锥的斜高为 ，所以侧面积为， 棱锥的表面积为， 所以正六棱锥的体积等于， 所以内切球半径， 则外接球和内切球的半径比. 综上， 例5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 【答案】 【详解】设内切球半径为， 则，则， 则内切球的体积为 例6．（25-26高二上·广东江门·开学考试）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______. 【答案】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， ∴三棱锥A－BCD的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥A－BCD的外接球的半径为R，内切球的半径为r， ∵三棱锥A－BCD的外接球的表面积为， ∵BC＝CD＝4，∴，解得AB＝4， ∴， ∵AB＝BC＝CD＝4，∴AC＝BD＝， ∴三棱锥的表面积为， 又∵，∴. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 27 【分析】根据已知条件可得，求得三棱锥各面的面积即可求得表面积；利用线面垂直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的半径，利用球的体积公式计算即可. 【详解】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 变式2．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径， 且边长为4的正三角形内切圆半径为：， 所以圆锥内切球的表面积为：. 变式3．（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出三棱锥体积的最大值，再建立关于体积与内切球半径的关系，解方程求解. 【详解】由题可知，将沿直线翻折到平面平面时， 三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则， 且平面，， 所以三棱锥的体积为：. 由和均为直角三角形，和均为正三角形， ，， 所以三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球半径为. 由，得，解得. 变式4．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用侧面展开半圆的弧长关系与侧面积求出圆锥母线、底面半径，算出圆锥高，借助轴截面三角形等面积法求内切球半径，最后代入球体积公式计算. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径为， 侧面展开半圆的弧长与圆锥底面周长相等，，整理得. 圆锥侧面积等于半圆面积，，解得，代入得. 圆锥的高. 沿轴线截取圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长， 腰长，截面面积. 设内切球半径为，轴截面三角形内切圆半径等于球半径， 由面积等积关系， 则，解得，， 内切球的体积. 变式5．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 【答案】 【分析】先求正六棱锥的高，再计算斜高进而求出表面积，接着求出棱锥体积，最后根据内切球的性质求出内切球半径代入球的表面积公式即可. 【详解】正六棱锥底面是正六边形，底面外接圆半径等于底面边长，即底面中心到底面顶点距离为2， 设顶点为，为棱锥的高，由侧棱长， 由勾股定理得， 底面正六边形的边心距（中心到边的距离）， 斜高（侧面等腰三角形的高） . 底面积：，侧面积：. 总表面积， 棱锥体积， 由棱锥内切球性质得 . 内切球表面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：外接球问题、内切球问题专项训练 期末复习：外接球问题、内切球问题专项训练 考点目录 外接球问题 内切球问题 考点一 外接球问题 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 例5．（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 例6．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 变式1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 变式2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）在三棱锥中，平面 ，，，则其外接球的表面积为________． 变式5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 变式6．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 考点二 内切球问题 例1．（25-26高一下·重庆·期中）在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________ 例5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 例6．（25-26高二上·广东江门·开学考试）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______. 变式1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 变式2．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $