期末复习：计数原理在古典概型中的应用、二项式定理及其应用专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦计数原理与古典概型结合、二项式定理应用两大模块，通过多样化情境题型构建知识应用逻辑链，培养数学抽象与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理在古典概型中的应用|4例+4变式|含游戏/几何/数字/比赛等情境，涉及等可能事件概率计算|以计数原理为工具，构建古典概型中基本事件数计算逻辑，从简单到复杂情境拓展| |二项式定理及其应用|6例+6变式|涵盖特定项系数、二项式系数性质、常数项等，含多选题型|从二项式定理展开式基础，延伸至系数计算与性质应用，形成“公式-计算-性质”推导链条|

期末复习：计数原理在古典概型中的应用、二项式定理及其应用专项训练 期末复习：计数原理在古典概型中的应用、二项式定理及其应用专项训练 考点目录 计数原理在古典概型中的应用 二项式定理及其应用 考点一 计数原理在古典概型中的应用 例1．（25-26高二下·河南·阶段检测）甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，且，在中随机抽取3个不同点，则这三个点可以构成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·浙江·期中）假设一个随机数选择器每次等可能地从到这个数字中选一个数，那么在次选择后（数字可重复），选出的个数的乘积能被整除的概率为______． 例4．（2026·上海·模拟预测）立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 变式1．（25-26高二下·北京西城·期中）学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（    ） A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 变式3．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知这10个正整数的随机排列为，，…，．记，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为_____． 变式4．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局，各队的实力相同，则有且只有2支球队恰好获胜3场的概率为__________． 考点二 二项式定理及其应用 例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·云南·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 例3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测·多选）已知（其中）的展开式中共有13项，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中二项式系数之和为 B．展开式中各项系数之和为 C．展开式中的有理项共有6项 D．展开式中含的项为 例4．（25-26高二下·四川南充·月考·多选）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·上海·期末）已知，则的值为________． 例6．（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中的常数项为______． 变式1．（25-26高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·四川南充·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·福建厦门·期中·多选）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 变式4．（2026·云南玉溪·模拟预测·多选）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 变式5．（25-26高二下·上海·阶段检测）在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 变式6．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）展开式中的系数为______．（用数字作答） 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：计数原理在古典概型中的应用、二项式定理及其应用专项训练 期末复习：计数原理在古典概型中的应用、二项式定理及其应用专项训练 考点目录 计数原理在古典概型中的应用 二项式定理及其应用 考点一 计数原理在古典概型中的应用 例1．（25-26高二下·河南·阶段检测）甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出每轮游戏甲或乙胜的概率，再利用概率的加法公式、乘法公式求解. 【详解】每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为， 第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为， 同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为． 例2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，且，在中随机抽取3个不同点，则这三个点可以构成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用组合数及已知条件得中点的个数、任取3个点取法数，再排除3点共线的情况，从而得到3点能构成三角形的取法数，最后应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，中点的个数为，任取3个有种， 中的点分布如下图所示，15个点分布在3纵5横的15个位置上， 其中3个点纵向共线有种， 其中3个点横向共线有种， 其中3个点斜线共线，如图有8种， 综上，3个点可以构成三角形有种， 所以中随机抽取3个不同点，则这三个点可以构成三角形的概率为. 例3．（25-26高二下·浙江·期中）假设一个随机数选择器每次等可能地从到这个数字中选一个数，那么在次选择后（数字可重复），选出的个数的乘积能被整除的概率为______． 【答案】 【分析】1. 正面分类法：将乘积能被整除等价转化为所选个数同时包含至少个至少个偶数，拆分四类互斥场景分别计数求和后，除以总选法数得到目标概率. 2. 反面排除法：利用对立事件概率公式，先计算乘积不能被10整除的对立事件（所选个数不含或不含偶数）的概率，用减去对立事件概率得到目标概率. 【详解】解析：解法一：（正面考虑）要能被整除，这三个数至少有一个和一个偶数，所以 第一类：个，个偶数，个其他（不是且不是偶数），共有种， 第二类：个，个相同偶数，共有种， 第三类：个，个不同偶数，共有种， 第四类：个，个偶数，共有种， 所以选出的个数的乘积能被整除的概率为． 解法二：（反面考虑）要不能被整除，这三个数没有或没有偶数， 没有共有种，没有偶数共有种，没有且没有偶数共有种， 所以选出的个数的乘积能被整除的概率为． 例4．（2026·上海·模拟预测）立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 【答案】 【分析】利用组合数公式及古典概型概率公式计算即可得. 【详解】抽到的两个红包可能性有种， 由奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数， 则其中奖金数额之和为偶数的可能性有种， 故抽到的奖金数额之和为偶数的概率为. 变式1．（25-26高二下·北京西城·期中）学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，三人选到同一研学地点的概率是. 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（    ） A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 【答案】B 【详解】设语文课本有本，则数学课本有. 从8本书中任取2本的总组合数为； 至多有1本语文课本的组合数有； 至多有1本语文课本的概率是， ，即，解得或； ，. 变式3．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知这10个正整数的随机排列为，，…，．记，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为_____． 【答案】/ 【分析】首先分析在前段还是后段，再根据与的关系进行求解. 【详解】记， 则，即. （1）若10在后段，则，于是，不满足， 所以若要满足，则10在前段； （2）当或2时，若10在前段，则， 于是，不满足， 所以为不可能事件，即， 所以若要满足，当时，都在前段； （3）当时，若都在前段，则， 于是. 对，均有为的子事件（因为前个位置包含这三个数， 必然推出前个位置包含这三个数）， 所以. 下面求的概率： 将放在前9个位置，则是1到7中的某个数，满足的排列共有个， 所以，所以. 变式4．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局，各队的实力相同，则有且只有2支球队恰好获胜3场的概率为__________． 【答案】 【详解】解：由题可知共有场比赛，每场比赛有2种情况，共有种； 从5支球队中选出两支球队甲、乙恰胜3场， 由于甲乙之间存在胜负关系，故甲、乙的选法有种； 不妨设甲战胜了乙，甲还需战胜其余3支队伍中的2支队伍，故有种选择． 这样，乙必然战胜其余3支队伍． 设甲没战胜的队伍是丙，由于是恰有两支球队获胜3场， 所以除甲、乙、丙外的两支球队至少有一支队伍战胜了丙， 丙与另外两支球队之间的3场比赛共有种结果，其中丙战胜另外两支球队的情况（会导致丙也获胜3场）有2种，需要排除，故符合题意的情况有种， 故所求的情况种数为，概率为． 考点二 二项式定理及其应用 例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】原式， 由题意，只需求展开式中的系数即可， 又展开式中项为， 所以所求的展开式中项的系数为． 例2．（2026·云南·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由二项式定理可知：的展开式中含的项为： ，所以的系数为2. 例3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测·多选）已知（其中）的展开式中共有13项，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中二项式系数之和为 B．展开式中各项系数之和为 C．展开式中的有理项共有6项 D．展开式中含的项为 【答案】ABD 【分析】先根据二项式展开式的项数确定，再分别对二项式系数和、各项系数和、有理项、特定幂次项进行判断即可. 【详解】由展开式中共有13项，可得． 对于A：展开式中的二项式系数之和为，A正确； 对于B：令，可得展开式中各项系数之和为，B正确； 对于C：展开式的通项为：（r =0，1，2，．．．，12）， 若为有理项，则为整数，即为偶数，则可取0，2，4，6，8，10，12，共有7项，C错误； 对于D：令，可得，可得展开式中含的项为，D正确． 例4．（25-26高二下·四川南充·月考·多选）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A，令 ，代入 ， 得，即 ，A正确； 选项B， ，是的系数，取 ， 则 ，B正确； 选项 C，令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相减， 得到 ， 解得 ，即 ，C错误； 选项D，对两边求导， 得到， 令 ，得到=，D正确. 例5．（25-26高二下·上海·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】对已知二项展开式两边关于求导，代入即可求得目标式的值. 【详解】， 两边对求导可得：， 即， 令可得，. 例6．（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. 变式1．（25-26高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式的通项为 . 令，得， 所以 的展开式中的系数为. 变式2．（25-26高二下·四川南充·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的通项公式为，可知的展开式中，含项的系数是， 的展开式中，含项的系数为， 利用组合数的性质化简得. 变式3．（24-25高二下·福建厦门·期中·多选）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 【答案】BC 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 变式4．（2026·云南玉溪·模拟预测·多选）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 【答案】ABC 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 变式5．（25-26高二下·上海·阶段检测）在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 【答案】60 【详解】二项式的通项公式为： ， 化简得：，令 ，解得. 将代入通项公式，可得项的系数为： . 变式6．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）展开式中的系数为______．（用数字作答） 【答案】 【分析】写出展开式通项，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得， 故展开式中的系数为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $