期末培优：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦二项分布模型构建与概率最值两大核心，通过实际情境问题链实现从模型识别到参数优化的递进训练，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |建立二项分布模型|例3+变式3|独立重复试验情境（比赛/交通/摸球），含超几何分布对比|从概念辨析（二项分布条件）到模型应用（分布列/期望方差），构建“识别-建模-求解”逻辑链| |二项分布概率最值|例3+变式3|含参数概率表达式的最值求解（粒子实验/产品检验/消费偏好）|基于二项分布概率公式，通过相邻项比较或导数法实现参数优化，深化数学思维的严谨性|

期末培优：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 期末培优：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 考点目录 建立二项分布模型解决实际问题 二项分布中的概率最值问题 考点一 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（25-26高二下·河北·阶段检测）为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)求甲答对每道题的概率； (2)已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将甲答对题目拆分为甲独立答对、甲答错后同组成员答对两种互斥情况，利用互斥事件概率加法公式计算甲答对每道题的概率。 （2）设出甲、乙答对题目的个数，枚举甲答对个数多于乙的所有互斥情况，分别计算对应概率并求和，再解关于的不等式得到的最小值. 【详解】（1）甲答对题目分为两种互斥情况： ① 甲自己独立答对，概率为 ； ② 甲没答对，同组成员答对，概率为 ； 因此甲答对每道题的概率为： . （2）设甲答对题数为，乙答对题数为， 则，，， 包含三种互斥情况： ；； ， 分别计算概率：​，， ，，， 因此： ， 根据题意列不等式： ，整理得 ， 结合，解得， 因此的最小值为. 例2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 【答案】(1) (2) 0 2 4 6 8 ， 【分析】（1）根据概率乘法公式求解即可； （2）利用二项分布概率公式求概率分布，结合期望和方差的性质计算可得. 【详解】（1）记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则. （2）记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 ，， ，. 例3．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求和； (2)若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和； (3)若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值； (4)结合（1）（2）两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 【答案】(1) ， (2) 的分布列为： 1 2 3 (3) 的分布列为： 1 2 3 (4) 区别：①抽样方式不同：二项分布对应有放回抽样，各次试验独立，单次试验成功概率恒定；超几何分布对应不放回抽样，各次试验不独立，单次成功概率随抽样变化；②参数不同：二项分布参数为试验次数、单次成功概率，记为；超几何分布参数为总体容量、总体中成功个体数、抽样数，记为；联系：①二者均为描述次试验中成功次数分布的离散型概率分布；②当总体容量远大于抽样数时，不放回抽样近似于有放回抽样，超几何分布近似于参数为的二项分布；③当时，二者数学期望相等，均为. 【分析】（1）有放回摸球，每次摸到白球概率固定，各次独立，故服从二项分布，直接代入期望、方差公式求解； （2）不放回摸球，服从超几何分布，用组合数计算各取值的概率列出分布列，期望可用公式直接计算； （3）表示首次摸到白球时已摸球数，需考虑前几次均为黄球，依次求概率可得分布列，再计算期望； （4）区别：抽样方式（有放回/不放回）导致独立性与概率是否恒定不同；参数及公式也不同. 联系：当总体远大于样本时超几何近似二项，且期望相等. 【详解】（1）有放回摸球时，每次摸到白球的概率，各次摸球相互独立，故服从二项分布， 根据二项分布的期望、方差公式，、， 代入得，； （2）不放回摸3个球时，服从超几何分布，可能取值为1，2，3， 根据超几何分布的概率公式（） 可得，，， 得到的分布列为： 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （3）袋中仅2个黄球，故的可能取值为1，2，3， 记为首次摸到白球的概率，即； 记为第一次摸到黄球、第二次摸到白球的概率，即； 记为前两次均摸到黄球、第三次摸到白球的概率，即， 得到的分布列为 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （4）略. 变式1．（2026·河南郑州·模拟预测）现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． (1)在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； (2)在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； (3)在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）分类列举计算概率即可． （2）设i号箱子中是两个红球和一个黑球的概率，利用全概率公式列出递推式为，求出，再分别求出，，，即可求得期望． （3）求出第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率，再求剩下箱子中的两个小球颜色均相同的概率． 【详解】（1）设“第一轮操作结束后，2号箱子中是2个红球”为事件A， 若2号箱子中是2个红球，则应从1号箱子中取出红球，从2号箱子中取出黑球， 若放入1号箱子的是红球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 若放入1号箱子的是黑球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 所以． （2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2， 设从第i号箱子中取出球之前，该箱子中是两个红球和一个黑球的概率为， 则， 所以， 又因为，所以，所以， 即，所以． 所以，，， 所以． （3）第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率为， 则第二轮操作结束后，所有箱子中小球颜色均相同的概率． 设“第二轮操作结束后，所有箱子中的两个小球颜色均相同”为事件B， 则． 因为， 所以， 所以． 变式2．（2026·陕西咸阳·三模）现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据二项分布的数学期望公式计算即可. （2）根据全概率公式计算即可. （3）根据二项分布和组合数的性质计算即可. 【详解】（1）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为，则由题意可知. 所以正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望为. （2）当传感器的数目为2时，一半为1. 根据题意得，无人机执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目不少于1. 设第次判断时，每个传感器作出正确判断的概率为. 设事件表示第次判断为“正常情况”，即；事件表示第次判断为“降级情况”，即； 由题意知，第1次为正常情况，所以. 根据题设条件，若第次执行了错误命令，则第次发生； 若第次未执行错误命令等价于：第次作出正确判断的传感器数目为大于等于1. 由全概率公式，第次发生的概率为： ，因为 ，代入上式得： ，对其进行变形，构造等比数列： ，由于， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即. 记该款无人机第次执行正确命令的概率为，执行正确命令等价于作出正确判断的传感器数目. ，故当传感器的数目为2时，该款无人机第次执行正确命令的概率. （3）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为， 当传感器的数目为时，一半的数目为，正常情况下，每个传感器作出正确判断的概率为. 执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目满足 ，此时， 无人机执行正确命令的概率为：. 设，则根据二项式系数的对称性得. 令 ，当从取到时，恰好从取到0，所以 . 又因为二项式系数的所有项之和为，所以，解得. 于是，执行正确命令的概率为：. 故当传感器的数目为时，正常情况下，无人机执行正确命令的概率为. 变式3．（2026·湖北宜昌·二模）在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立.那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率. (1)若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率； (2)记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明： (3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）.每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）.记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2) 设进行局比赛，赢的局数为， 则， 在“局胜”的赛制中，A第一局胜的条件下，A获得最终胜利有两种情况： ①若第2局A输，则后续打满局比赛，至少胜局； ②若第2局A胜，则后续打满局比赛，至少胜局； 由全概率公式得 ， 所以 . (3) 不妨设有无数名种子选手， 若上半区的所有种子选手先被抽完，则当“上半区抽完名种子选手时， 下半区至多抽取了名种子选手”， 得到“总共有名种子选手，至少抽取了名上半区种子选手”. 设总共有名种子选手时，来自上半区的有名，则， 所以. 事件“”等效于在在“局胜”的赛制中， 每局获胜概率都为，最终A获胜， 由对称性可知，则， 所以， 因为， 又，所以， 所以，故. 【分析】（1）合理分析目标事件的情况，再结合二项分布概率公式求解概率即可. （2）合理分析题意，进而结合全概率公式证明目标等式即可. （3）结合题意得到，进而结合组合数的性质证明即可. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”的赛制中，A选手获得最终胜利， 则事件等效于进行5局比赛且A至少胜3局. 记5局比赛中A获胜的局数为，由题意得， 所以. （2）略 （3）略 考点二 二项分布中的概率最值问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，从腔室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为，粒子间的旋转状态相互独立，现有两个粒子从室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入室后，恰有1个上旋状态1个下旋状态．这两个粒子通过2号门进入室后，仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率． (2)若两个粒子进入室后，每个粒子再经过2号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立，求返回室的粒子个数的分布列、期望与方差． (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后裂变成个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回室的概率变为，各粒子返回室相互独立．有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值． 【答案】(1) (2) 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）根据题意，把问题拆解为两个粒子状态不变和状态改变两种情况，再利用独立事件概率乘法分别计算两种情况概率，进而相加求解； （2）利用二项分布求出相关概率，求出分布列，进而求出方差和期望； （3）裂变后返回粒子服从二项分布，写出概率，利用相邻项作商法通过比值与1的大小关系判断概率的单调性，进而求解． 【详解】（1）已知两个粒子在室恰为1个上旋，1个下旋，每个粒子经过2号门时， 状态不变的概率为，状态改变的概率为， 要保持进入室后，仍然恰有1个上旋状态1个下旋，则： 两个粒子状态均不变：概率为； 两个粒子状态均改：概率为， 故所求概率为：． （2）返回室的粒子个数服从二项分布，的可能取值为， 则， ， ， 分布列为： 0 1 2 期望为：； 方差为：． （3）两个粒子进入室后裂变成个粒子，粒子返回室的概率变为，返回粒子数 服从二项分布，概率为：，， 则， 令，则，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故当时，取得最大值． 例2．（2026·山东青岛·三模）某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 【答案】(1)，中位数为70.4 (2)7 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积和为1即可求，再根据中位数的求法求解； （2）由题可知随机变量，再根据二项分布概率最大值的求法求解． 【详解】（1）由题知：，解得 设中位数为，则， 解得，故中位数为70.4； （2）因为样本中80分以上的频率为， 故随机变量 所以（，1，2，…，30）， 当最大时，， 得 得 得，所以 ，得 又因为，所以当最大时的值为7． 例3．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【详解】（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 变式1．（25-26高二下·重庆大足·期中）工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； (3)若，已知抽取检验的件产品中恰有2件不合格品，试给出的估计值.（表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.） 【答案】(1)0.1 (2)490 (3)或 【分析】（1）利用二项分布模型写出关于概率的函数，之后对其求导，利用导数在对应区间上的符号，确定其单调区间，从而得到其最大值点. （2）以（1）的结果为参考，构造包含固定费用和随机赔偿费用的总费用的随机变量，利用二项分布的期望公式及期望的性质计算总费用的数学期望. （3）方法一，通过比较任意相邻项的值，找出概率取得最大值时的样本量，体现了统计的估计思想，同时也避免了复杂的求导运算；方法二，因为在恒成立，利用作商法比较和的大小，进一步判断的单调性，从而得出值. 【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为：， 因此，， 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，的最大值点为. （2）由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知：， 则，，， . （3）方法一： 由题意得，， 由，得， 解得，故或. 方法二： 因为在恒成立， 由， 令，得， 当时，,递增， 当时，,递减， 故或. 变式2．（25-26高二下·安徽六安·期中）我校数学IMATH社团计划在周六和周日各举行一次主题不同的数学作图活动，分别由乐舒老师和艳菲老师负责，已知该社团共有位学生，每次活动均需该社团位学生参加（和都是固定的正整数）.假设乐舒老师和艳菲老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团位学生，且所发信息都能收到.记该社团收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的学生人数为 (1)若该社团有位学生，每次活动选择位学生参加，求学生甲没有收到所发活动通知的概率； (2)求该社团学生甲收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的概率； (3)求使取得最大值的整数. 【答案】(1) (2) (3)当能被整除时，故在和处达到最大值；当不能被整除时，在处达到最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式求解即可； （2）由于A和B是相互独立，没有收到信息的概率正好是，利用对立事件的概率公式求解即可； （3）要从和两个角度考虑问题，进而计算可得结论. 【详解】（1）学生甲没有收到乐舒老师的消息，没有收到艳菲老师的信息， 则没有收到消息的概率为 （2）设事件：“学生甲收到乐舒老师所发信息”，事件：“学生甲收到艳菲老师所发信息”， 由题意和是相互独立的事件，则与相互独立， 而， 所以， 因此，学生甲收到活动通知信息的概率为. （3）当时，只能取，有， 当，整数满足，其中是和中的较小者. “乐舒老师和艳菲老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为. 当时，同时收到乐舒老师和艳菲老师转发信息的学生人数恰为，仅收到乐舒老师或仅收到艳菲老师转发信息的学生人数为，则由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为 此时 当， 化简解得. 假如成立， 则当能被整除时， ，故在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达到最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证：， 因为，所以， ，故，显然. 因此. 变式3．（25-26高二下·上海·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 【答案】(1) X 1 2 3 P ， (2)时，最大 【分析】（1）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可；（2）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可． 【详解】（1）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取人， 甜度偏好分数在这组中抽取人， 故，，， 因此，的分布列为： X 1 2 3 P 故，， ． （2）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数k服从二项分布，即， ，则， 当，即时当，即时， 因此，，且， 所以，当时，最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 期末培优：建立二项分布模型解决实际问题、二项分布中的概率最值问题专项训练 考点目录 建立二项分布模型解决实际问题 二项分布中的概率最值问题 考点一 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（25-26高二下·河北·阶段检测）为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)求甲答对每道题的概率； (2)已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 例2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 例3．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求和； (2)若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和； (3)若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值； (4)结合（1）（2）两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 变式1．（2026·河南郑州·模拟预测）现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． (1)在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； (2)在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； (3)在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 变式2．（2026·陕西咸阳·三模）现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 变式3．（2026·湖北宜昌·二模）在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立.那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率. (1)若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率； (2)记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明： (3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）.每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）.记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：. 考点二 二项分布中的概率最值问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，从腔室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为，粒子间的旋转状态相互独立，现有两个粒子从室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入室后，恰有1个上旋状态1个下旋状态．这两个粒子通过2号门进入室后，仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率． (2)若两个粒子进入室后，每个粒子再经过2号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立，求返回室的粒子个数的分布列、期望与方差． (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后裂变成个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回室的概率变为，各粒子返回室相互独立．有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值． 例2．（2026·山东青岛·三模）某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 例3．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 变式1．（25-26高二下·重庆大足·期中）工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； (3)若，已知抽取检验的件产品中恰有2件不合格品，试给出的估计值.（表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.） 变式2．（25-26高二下·安徽六安·期中）我校数学IMATH社团计划在周六和周日各举行一次主题不同的数学作图活动，分别由乐舒老师和艳菲老师负责，已知该社团共有位学生，每次活动均需该社团位学生参加（和都是固定的正整数）.假设乐舒老师和艳菲老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团位学生，且所发信息都能收到.记该社团收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的学生人数为 (1)若该社团有位学生，每次活动选择位学生参加，求学生甲没有收到所发活动通知的概率； (2)求该社团学生甲收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的概率； (3)求使取得最大值的整数. 变式3．（25-26高二下·上海·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $