期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数应用两大核心题型，通过典例系统构建恒成立问题与零点问题的解题逻辑，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数解决函数恒能成立问题|3例+3变式|含参数范围求解、不等式证明，涉及存在性与任意性|以导数研究函数单调性、极值为基础，构建“最值分析→参数分类讨论”逻辑链| |利用导数解决函数零点与方程的根问题|3例+3变式|含零点个数判断、零点分布及证明，涉及函数构造|通过导数分析函数图像特征，建立“极值点→函数最值→零点存在性”推理路径|

期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题 专项训练 考点目录 利用导数解决函数恒能成立问题 利用导数解决函数零点与方程的根问题 例1.(25-26高二下·天津静海·期中)已知函数 f(x)=ax+Inx,aER 考点一 利用导数解决函数恒能成立问题 (1)讨论fx的单调性： (@四若西数fX在*e0,可上的最大值为3，求“的值： 6)设8()=-2x+2,若∈Q,+),,01,使得)Kg）,求“的取值范国. 例2.(2026江苏徐州模拟预测)己知函数/()-ahK,a∈R (1)若a=2, (i)求fx的极值点： i证明：当e(2,4刊时，f)大f(4-), 2若a<0,f✉>2a6) ,求“的取值范围 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 例3。(2026全国二卷高考真慰)已知函数f儿)-心+瓜+b,曲线y=fx在点Q,/(o》处的切线方程为 y=-2x+1 (1)求a,b: ②当x>0时，f+m)/)>m,求m的取值范国： ③倒当>0时f伥+)+k->2,求女的最小值. 变式1.(2s26高二下上海闵行期末)已知/=0-ar,a∈R. ①)当a=1时，求函数'=f()的单调区间和极值： ②若f)≥0 恒成立，求a的取值范围。 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 变式2.(25-26高二下黑龙江哈尔滨阶段检测)已知函数f)=r-a (1)若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围： (2)若a=1,求证：f()2-e (3)若a=3,m≠-3，关于x的不等式x 包≤-(m+2)血x-n+2恒成立，求m+3的最大值. n-6 变武3.25-26高三下辽宁沈阳·阶段检测)已知函数)、 x+1(e是自然对数的底数)· (1)求fx的极值： a∈0，】使得)+h(+)-as1-bx+对e(1+）恒成立，求实数b的取值范围， (2)若 B)若函数F)=ae-h(c+,aeR,且满足Fm)=F)+。0(m,ne(-l,o),证明：m-小<1. 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 考点二 利用导数解决函数琴点与方程的根问题 例1.(2s26商二下北京海淀月考)已知函数f()=ac0sx1十x,曲线y=f)在(0，f(0)处的切线方程为 b y=x (1)求a,b的值： 函数x在区间2上存在唯二 (3)求函数g(x)=sinr-lhl+)的零点个数. 例2.(2425商=下四川德阳期末)已知函数f)=ln(1+)+a血1-)(aeR,口为帝数). Q)考f四是偶函数，求（的极值， (2)若函数8()=f(x)-1n2 na+1有2个零点x,x2 ①求a的取值范围. ②求证 +x3<0 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 ,g(x)=2(1-x)e*+x2 8(x)+(n-1)x2=0 例3.(25-26高二下·河北保定阶段检测)设函数° ,且关于x的方程 有两个不 相等的根，。 (1)证明：gx无极值. (2)求n的取值范围. 1+L>0 (3)证明：x. 变式1。(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)已知函数/儿)sir F(x)= (1) x,讨论函数F(冈在0，)上的单调性； ②判断西数G()=2)-()+在到上的要点个数 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 变式2，(25-26高二下北京阶段检测)已知函数()=mr-a+1+4 ④若f四在x=3处的切线与x轴平行，求“， @当a=5时，求四的单调取间； )若（四有两个零点，求“的取值范围 变式3.(2026天津三模)已知a,b是实数，函数f=e“+r、6 2,其中e是自然对数的底数. )当a=b=1时，求曲线()在(00》处的切线方程： 2当b<-e时， （1)若f)均有极小值点，且八)k0,求实数“的取值范国。 间齐方程小-受有西个，化，网康0临求名的位 b 6期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 期末复习：利用导数解决函数恒能成立问题、利用导数解决函数零点与方程的根问题专项训练 考点目录 利用导数解决函数恒能成立问题 利用导数解决函数零点与方程的根问题 考点一 利用导数解决函数恒能成立问题 例1．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 例2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析. (2)． 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； （ii）构造函数，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明； （2）构造函数，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． （2）令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 例3．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 变式1．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； (2)若 恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）代入 后对函数求导，根据导数正负判断单调区间，进而求解极值； （2）先对函数求导，再结合导数对的取值分类讨论，求函数最小值，令最小值非负即可求得的取值范围. 【详解】（1）当 时， ，得 . 令 ，解得. 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增. 故函数在处取极小值， ，无极大值. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； （2）对，函数定义域为 ，得，分情况讨论： ① 若 ，因为 ，所以 恒成立，函数在R上单调递增， 且当 时 ，不满足 ，舍去； ② 若 ， 恒成立，符合要求； ③ 若 ，令 得 ，且 在 R上单调递增. 当 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增， 所以函数在 处取得极小值也是最小值，最小值为. 令 ，结合 ，解得 ，即 综上所述，的取值范围是. 变式2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (2)若，求证：； (3)若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． (3) 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【详解】（1）的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． （2）略． （3）时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 变式3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数（e是自然对数的底数）． (1)求的极值； (2)若，使得对恒成立，求实数b的取值范围； (3)若函数，，且满足（m，），证明：． 【答案】(1)当时，取得极小值为，无极大值． (2)； (3)因为，令，， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，则， ①当时，所以，又， 故， 函数在上单调递减， 又，则，， 要证明，只需证明，只需证明， 即， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，， 即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 当时，，函数在上单调递减， 由，得，即，因此； ②当时，可知有两个极值点，，且， 函数在，上单调递减，在上单调递增， 由为极值点，得，即， 则， 又， 则． 对任意，，由，得，则， 因此m，，即． 综上可知． 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可求得极值； （2），利用导数，分和讨论即可； （3）利用导数，分和讨论即可. 【详解】（1）函数，则， 当或时，，所以函数在和单调递减， 当时，，所以函数在单调递增， 所以当时，取得极小值为，无极大值． （2），即， 等价于， 则使得成立，只需（*）， ，由（1）得，当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，，则在上为增函数或为常函数， 则， 由（*）得对恒成立， 令（），则得， 设，，，， ①当时，，所以单调递增， 在，，不符合题意； ②当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，解得． （3）略 考点二 利用导数解决函数零点与方程的根问题 例1．（25-26高二下·北京海淀·月考）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； (3)2 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程，对照系数即可求出的值； （2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可得证； （3）将按照定义域分成，，和四部分，讨论函数的单调性，结合零点存在定理和端点函数值大小逐一判断零点个数即可. 【详解】（1）由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. （2）略 （3）函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点. 综上，函数共有与两个零点. 例2．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义列等式求解参数a的值；再求的导函数，通过分析导函数的正负确定的单调性，进而求极值； （2）①确定的定义域，同时根据对数有意义的条件得到a的初步范围；求的导函数，分析的单调性求出最值，结合零点个数列不等式求得参数范围；②不妨设，将证明转化为，即证；构造辅助函数，利用函数单调性完成证明. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； （2）①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 例3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）设函数，且关于的方程有两个不相等的根，． (1)证明：无极值． (2)求的取值范围． (3)证明：． 【答案】(1)由求导得， 当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，无极值. (2). (3)由题意，不妨设，要证，即证， 因为，则需证，即， 因为在上单调递减， 所以只需证明，又因为， 即证：， 令，， 令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增， 故，所以，所以，所以， 即，故. 【分析】（1）求出函数导函数，再解关于导函数的不等式，结合极值的定义即可证明； （2）分和讨论，令，先求函数导数，得到的单调性和最值，即可求出的取值范围； （3）构造函数，，要证，即证，利用导数易得函数单调递增，即得结论. 【详解】（1）略 （2）由方程可得：， 所以， 当时，； 当时，， 令，则， 因为，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋近负无穷时，趋近，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 如下图： 要使关于的方程有两个不相等的根，需使， 故的取值范围为. （3）略 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)设，讨论函数在上的单调性； (2)判断函数在上的零点个数. 【答案】(1)在上单调递减. (2)有唯一零点. 【分析】（1）先对求导，再构造辅助函数二次求导判断导函数符号，从而确定在上的单调性； （2）连续三次求导逐层分析各阶导数的单调性与零点，结合端点函数值、零点存在定理锁定的单调区间，最终判断零点个数. 【详解】（1）因为，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以在上单调递减. （2）函数在上有唯一零点. 因为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，， 所以，使， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，使， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以，使， 所以在上有唯一零点. 变式2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数. (1)若在处的切线与轴平行，求； (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，，代入求解即可. （2）代入,对求导，讨论单调性即可. （3）有两个零点意味着与的函数在，有两个交点，研究本身的单调性与最值，即可求解出的范围. 【详解】（1）对求导，得， 因为在处的切线与轴平行，则，即， 解得. （2）当时， ， 而时， ，令，解得或(舍去)， 当时， ，，单调递增， 当时， ，，单调递减， 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）若有两个零点，即方程 有两个解， 因为，则方程等价于有两个解， 令，即与图象有两个交点， 对求导得，，令 ， ， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ，当时， ，当 时，， 因此，当时，，故，单调递增， 当 时，，故，单调递减，所以在处取得最大值， ，当时， ，故，当 时，增长远慢于，故, 因此，要使 与有两个交点，则应有，即. 变式3．（2026·天津·二模）已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对函数进行求导，从而得到切线的斜率，进而写出切线方程； （2）（i）通过求导找出极小值点，再代入原函数中，结合题目中的参数范围，转化为函数最值问题求解； （ii）通过变量代换将变量转化为新函数的根，通过构建辅助函数并进行求导，结合导数与单调性的关系求出最值，进而可求出距离最小值时的参数关系. 【详解】（1）当时，，， 求导可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i），求导可得， 因为，分类讨论 当时，，单调递减，则不可能有极小值点； 当时，令，即，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此均有极小值点，且， ， 令，设函数， 故对任意的，，求导可得， 当时，，单调递增， 当，，单调递减， ，， 当时，；，， 图象如下图所示， 故恒成立，解得． （ii）方程有两个根， 由（i）可知，否则单调递减，不可能有两个根， 方程有两个根等价于有两个根， 设函数，， 当，；当，，故可知， 记，上式等价于有两个根， 即，两式相减可得，记， 故上式可写成，即， 将代入可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得，单调递增， 故，即，单调递增， 要求最小值，即求的最小值，就是求的最小值， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，，的图象如下图所示 ， 故存在使得，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即时，取最小值， 故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $