期末培优：传球概率问题、概率中的随机游走问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦传球概率与随机游走问题，通过递进式典例构建概率递推模型，覆盖从基础到复杂场景的逻辑链条，培养数学建模与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传球概率问题|3例+3变式|涉及不同人数/概率规则，结合分布列与期望|以三人传球为基础，拓展至多人/加权概率，通过递推关系构建数列模型，体现从具体到抽象的推理过程| |随机游走问题|3例+3变式|几何体/坐标系中移动，结合数列证明与分布列|从一维到三维空间，以质点移动为载体，融合概率递推与数列通项求解，培养空间观念与数据意识|

期末培优：传球概率问题、概率中的随机游走问题专项训练 期末培优：传球概率问题、概率中的随机游走问题专项训练 考点目录 传球概率问题 概率中的随机游走问题 考点一 传球概率问题 例1．（24-25高二下·云南昭通·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)n次传球后球在甲手中的概率为． 证明：（i）为等比数列； （ii）当时，． 例2．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 例3．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球传给另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有的概率传给甲；若丙持球，则他有的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为. (1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持球者是甲，为甲胜利.记随机变量X为3轮游戏后甲胜利的次数，求X的分布列和数学期望； (2)求. 变式1．（2026·四川资阳·三模）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 变式2．（24-25高三下·云南临沧·阶段检测）如图，在一次传球训练中，甲、乙、丙、丁四人按照逆时针依次站在一个正方形的四个顶点处．每次传球时，传球者将球传给其他三人中的一个．已知第次由甲将球传出，且每次传球者沿着正方形的边传给队友的概率为，沿着正方形的对角线传给队友的概率为． (1)求第次传球者为乙的概率； (2)记前次传球中丙的传球次数为，求的概率分布列及方差； (3)求第次传球者为丁的概率． 变式3．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）杭州亚运会五人制女篮比赛收官．决赛中，中国女篮战胜日本女篮，以六战全胜的成绩卫冕成功．这也是继亚洲杯决赛后，中国女篮再度击败对手．这也是中国女篮第七次获得亚运会冠军．中国女篮首发五人分别是李梦、韩旭、黄思静、王思雨和金维娜娜．主教练郑薇准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． (1)记李梦，韩旭，黄思静三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列： (2)若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，记次传球后球在李梦手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 考点二 概率中的随机游走问题 例1．（2026·福建南平·二模）在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的. (1)若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望； (2)若质点移动了次，质点回到点的概率为. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，证明：. 例2．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 例3．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． (1)若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，； (2)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． ①设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； ②记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求． 参考公式： 变式2．（24-25高二下·广东·阶段检测）随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． (1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； (2)证明：； (3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 变式3．（2026·福建泉州·二模）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即． (1)求，； (2)证明：； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：传球概率问题、概率中的随机游走问题专项训练 期末培优：传球概率问题、概率中的随机游走问题专项训练 考点目录 传球概率问题 概率中的随机游走问题 考点一 传球概率问题 例1．（24-25高二下·云南昭通·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)n次传球后球在甲手中的概率为． 证明：（i）为等比数列； （ii）当时，． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）记“经过2次传球后，球在甲手中”，利用全概率公式计算即可； （2）（i）设n次传球后球在手甲中的概率为，得到，，化简整理得，结合等比数列的定义，即可证明结论. （ii）结合第（i）问，可求出等比数列的通项公式，进而可得， 对n为奇数和偶数进行分情况，即可证明结论. 【详解】（1）依题意，传球2次后球在甲手中包括两种情况，即：甲乙甲和甲丙甲，所以传球2次后球在甲手中的概率为． （2）证明：（i）记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则有， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列． （ii）， 所以， 当为大于1的奇数时，， 当为正偶数时，， 综上所述，当时，． 例2．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解； （2）由题意知，，根据数列的构造法求通项公式； （3）由题意知，作差法比大小. 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 例3．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球传给另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有的概率传给甲；若丙持球，则他有的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为. (1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持球者是甲，为甲胜利.记随机变量X为3轮游戏后甲胜利的次数，求X的分布列和数学期望； (2)求. 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）求出每一轮常游戏甲胜的概率，再利用二项分布的概率公式求出分布列及期望. （2）利用全概率公式求出与的关系式，再利用构造法求出. 【详解】（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲， ， 因此一轮游戏甲胜利的概率为，随机变量的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望. （2）设事件表示次传球后，球在甲同学手上，事件表示次传球后，球在乙同学手上， 事件表示次传球后，球在丙同学手上，设次传球后，乙持球的概率为， 则，由全概率公式知： ， 整理得，于是，而，即， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即有， 所以. 变式1．（2026·四川资阳·三模）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传递后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且， 所以，， 由（2）得， 则. 变式2．（24-25高三下·云南临沧·阶段检测）如图，在一次传球训练中，甲、乙、丙、丁四人按照逆时针依次站在一个正方形的四个顶点处．每次传球时，传球者将球传给其他三人中的一个．已知第次由甲将球传出，且每次传球者沿着正方形的边传给队友的概率为，沿着正方形的对角线传给队友的概率为． (1)求第次传球者为乙的概率； (2)记前次传球中丙的传球次数为，求的概率分布列及方差； (3)求第次传球者为丁的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）应用独立事件乘法求甲丙乙、甲丁乙的概率，再应用互斥事件加法求概率； （2）由题意的可能取值为，，并求出对应概率，写出分布列，进而求方差； （3）设第次传球者为甲的概率为，第次传球者为丁的概率为，根据已知得，进而有，再由等比数列的定义写出通项公式，即可得. 【详解】（1）甲丙乙的概率为：，甲丁乙的概率为：， 记事件“第次传球者为乙”，则． （2）由题设，的可能取值为，， ， ， 所以的概率分布列为 ． （3）设第次传球者为甲的概率为，第次传球者为丁的概率为，则， 因为乙和丁相对于甲，地位是相等的，所以第次传球者为乙的概率也为，第次传球者为丙的概率也为， 因为， 所以，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 变式3．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）杭州亚运会五人制女篮比赛收官．决赛中，中国女篮战胜日本女篮，以六战全胜的成绩卫冕成功．这也是继亚洲杯决赛后，中国女篮再度击败对手．这也是中国女篮第七次获得亚运会冠军．中国女篮首发五人分别是李梦、韩旭、黄思静、王思雨和金维娜娜．主教练郑薇准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． (1)记李梦，韩旭，黄思静三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列： (2)若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，记次传球后球在李梦手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，，；②，. 【分析】（1）依题意可知的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）①利用古典概型的概率公式计算可得；②记表示事件“经过次传球后，球在李梦手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式. 【详解】（1）依题意可知的可能取值为、、， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 . （2）①若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练， 且第1次由李梦将球传出，次传球后球在李梦手中的概率为， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在李梦手中”，则， 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即次传球后球在李梦手中的概率. 考点二 概率中的随机游走问题 例1．（2026·福建南平·二模）在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的. (1)若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望； (2)若质点移动了次，质点回到点的概率为. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，证明：. 【答案】(1)分布列见详解， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见详解 【分析】（1）根据的所有可能取值依次求概率即可得到的分布列，最后通过数学期望的公式求出期望； （2）（i）根据次后质点到三点的概率相同，再根据次后质点从三点回到点的概率也相同，即可得到数列的通项公式；（ii）先写出数列的表达式，构造函数，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）依题意可得，的所有可能取值为， 则，， ， 则的分布列为 X P 所以. （2）（ⅰ）由质点每次等可能地随机沿棱移动个单位可知，若质点移动了次，次后质点到三点的概率相同，记为，易知，， 若质点移动了次，， 若质点移动了次，由三点等可能地向点移动，故， 则，即，所以，， 数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. （ⅱ）， ，所以，是递减数列， 设，，， 所以函数在上单调递增， 所以由得， 即， 所以， 则. 例2．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 【答案】(1)； (2)（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到 三点的概率相同，都为； 第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为； 第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为， 则， 即， 再由，即． 于是存在常数，使得． （ii）由可知， 由可知， 于是——①，——②，——③，——④. 由①②得，即——⑤， 再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥ ，化简得. 因为， 则． 由，于是．所以. 所以当为奇数时，，，……， ，上述个式子相乘得． 又由，即可知． 所以，解得， 即当为奇数时，，所以当为偶数时， 当为偶数时，，， ，上述个式子相乘得,即. 又由可知．解得，即当为奇数时，． 因此，当为奇数时，；当为偶数时，． 当时，， 则． 当时，， 即． 所以存在常数，使得． 【分析】（1） 时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，C，D），第2秒要回到A，每个方向的概率都是，从而可得，时，质点不可能返回到A，故； （2）（i）由正方体的对称性可知秒后质点到 三点的概率相同，都为；质点恰好到三点的概率也相同，都为；从而可得及，进而可证明结论；（ii）由题意可得，进而可得，再进一步可得，再由累乘法可得为偶数时，为奇数时.再通过分组求和可得及所证不等式. 【详解】（1）当 时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C）， 第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是. 所以. 当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为. 从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以. 故，. （2）（i）略 （ii）略 例3．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 【答案】(1) (2)①；②，或． 【分析】（1）这是典型的独立重复试验概率问题，质点回到原点，意味着次移动中，向右和向左的次数必须相等，各为次； （2）① 这是递推关系建模问题，按第次移动的方向分类讨论：若第次向左，则前次只需满足条件；若第次向右，则第次必须向左，前次满足条件，由此推导与，​的线性递推关系； ② 这是递推数列的待定系数法问题，先将给定的展开，与（2）①中得到的递推式对比系数，建立关于的方程组，解方程组即可得到参数值． 【详解】（1）质点每次移动向左或向右的概率均为​，移动次后回到原点，说明向右移动次数向左移动次数次， 所以质点移动次后回到原点的概率． （2）①移动次时，所有情况均无连续次向右，所以， 移动2次总情况数为，排除连续次向右的情况（右右），符合条件的有种，， 移动次总情况数为，符合条件的情况有左左左，左左右，左右左，右左左，右左右，共种，， 当时，第次向左时，概率为，第次向右时，第次必向左，概率为， 所以． ②由，得， 所以， 解方程组得，或． 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． (1)若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，； (2)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． ①设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； ②记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求． 参考公式： 【答案】(1)， (2)① X的分布列为： X 0 2 4 P 期望为2；② 【分析】（1）利用分步乘法计数原理和组合知识，结合古典概型概率公式求解即可； （2）①列出所有样本点，根据古典概型概率公式求概率，然后可得分布列； ②设第秒末质点回到原点的概率为，定义，，则或，根据求解即可. 【详解】（1）若质点只能在x轴上移动，每秒有2种可能，4秒移动方式共有种， 第4秒末质点回到原点，则必定向左移动2步，向右移动2步，有种， 故； 第秒末质点回到原点，则必定向左移动n步，向右移动n步，故. （2）①因在1秒末，质点会等可能地出现在，，，四点处， 故在第2秒末可能运动到点，，，各两种情形， ，，，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量X表示的取值，故X的可能取值为0，2，4， 对应的概率分别为：，，， 故X的分布列为： X 0 2 4 P 期望为. ②第秒末质点要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动步， 向下移动步． 设第秒末质点回到原点的概率为，则 . 记第n秒末质点的位置为，定义，， 则，， 易知与取的概率均为． 又因为，故或， 则， 又易知，， 所以. 变式2．（24-25高二下·广东·阶段检测）随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． (1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； (2)证明：； (3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 【答案】(1)36 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分三种情况讨论，分别求出走四步回到出发点的情况，再利用分类加法计数原理求解即可； （2）利用，  根据等式两侧的系数必然相等证明即可； （3）若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，根据独立事件概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】（1）该粒子移动4个单位要回到出发点可分如下三大类： （i）其所走四步中有一步上、一步下、一步左、一步右，共有种走法 （ii）其所走四步中有二步上、二步下，共有种走法 （iii）其所走四步中有二步左、二步右，共有种走法   故而该粒子走四步回到出发点的情况共有为种 （2）因为， 故而有   因为等式两侧的系数必然相等，故而有 （3）若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，设其向上移动的次数为，则其向左移动的次数为，故而所求概率为         变式3．（2026·福建泉州·二模）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即． (1)求，； (2)证明：； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明． 【答案】(1) (2)因为， ， 所以. (3)先分析连续移动6次后的取值情况：6次均为顺时针，则； 5次顺时针1次逆时针，则； 次顺时针2次逆时针，则； 3次顺时针3次逆时针，则； 次顺时针4次逆时针，则； 1次顺时针5次逆时针，则； 次逆时针，则. 故. 所以的可能取值为，其中， ； 所以随机变量的分布列如下： 1 2 3 9 10 由. 令， 则． 两式相减，得， 即， 故，又因为，所以. 【分析】（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次，则、，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据、计算概率，即可证明； （3）先分析连续移动6次后的取值情况，即可求出，从而得到随机变量的分布列，再利用错位相减法求出，即可得证. 【详解】（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次， 则与互斥. 所以，； （2）略 （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $