2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（二十）（人教B版选择性必修第三册全部内容）

**基本信息** 聚焦人教B版选择性必修三核心内容，以数列与导数为双主线，通过多样化题型实现概念理解与综合应用的衔接训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|单选1-2、多选5、填空7、解答9（共6题）|涵盖等比数列基本量计算、递推数列证明、中国剩余定理应用|从等比数列概念到递推关系转化，构建“定义-性质-应用”链条，发展数学抽象与推理能力| |函数与导数|单选3-4、多选6、填空8、解答10（共6题）|包含函数图像分析、导数与单调性、极值切线及定积分计算|从导数几何意义到单调性、极值应用，形成“概念-性质-综合问题”逻辑链，培养数学思维与表达能力|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（二十） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知各项均为正数的等比数列，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知数列满足：，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为(    ) A. 和 B. C. 和 D. 和 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 数列共有项 6.下列计算正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前项和为          ． 8.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足且 求证：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 10.本小题分 已知函数在处取得极值． 求曲线在点处的切线方程； 求函数在上的最值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（二十） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知各项均为正数的等比数列，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题． 根据等比中项的性质计算即可． 【解答】 解：因为等比数列，，， 由，，有， 又各项均为正数， 所以． 故选：． 2.已知数列满足：，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为，且， 所以，，，，， 所以数列为周期数列，周期为， 所以． 故选：． 3.已知函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于基础题． 利用题干图象判断和时切线的斜率大小，再与在区间平均变化率比较即可． 【解答】 解：由题图，可知在点处的切线的斜率大于在点处的切线的斜率， 则． 又因为在区间平均变化率为， 其几何意义为割线的斜率， 由题图，可知． 故选C． 4.设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为(    ) A. 和 B. C. 和 D. 和 【答案】A  【解析】解：根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 数列共有项 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，属于基础题． 由题意得现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，则它们构成首项为，末项为，公差为的等差数列，由此即可逐一判断每一个选项． 【解答】 解：到这个数中能被除余的数有：，，，， 到这个数中能被除余的数有：，，， 由题意现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，末项为，公差为的等差数列， 所以， 数列共有项，故D正确； 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确． 故选：． 6.下列计算正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC  【解析】解：，则，故A正确； ，则，故错误； ， 则 ，故C正确； ，则，故D错误． 故选： 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前项和为          ． 【答案】  【解析】解：设数列的公比为，则， 因为 则数列的前项和为． 故答案为：． 8.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数与函数单调性的关系，求导公式和法则，以及一元二次不等式恒成立问题，考查转化思想． 由求导公式和法则求出，由题意和导数与函数单调性的关系可得：在上恒成立，利用二次函数的图象和列出不等式，求出实数的取值范围． 【解答】 解：由题意知，， 则， 在上是单调函数， 在上恒成立， 则，解得， 实数的取值范围是， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足且 求证：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 【答案】解：由 ， 得，所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为． 由可得，所以．   【解析】本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题． 将条件取倒数可得，从而得证； 利用等差数列先求得，从而得解． 10.本小题分 已知函数在处取得极值． 求曲线在点处的切线方程； 求函数在上的最值． 【答案】解：因，故 由于在处取得极值，故有 化简得，解得 经检验，时，符合题意，所以． 则，，故． 所以曲线在点处的切线方程为：，即 ，， 解得或；解得， 即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ， 因此在的最小值为，最大值为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（二十） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知各项均为正数的等比数列，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知数列满足：，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为(    ) A. 和 B. C. 和 D. 和 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 数列共有项 6.下列计算正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前项和为          ． 8.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足且 求证：数列为等差数列； 求数列的通项公式． 10.本小题分 已知函数在处取得极值． 求曲线在点处的切线方程； 求函数在上的最值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $