1.1 探索勾股定理 课件 2026-2027学年 北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，系统覆盖定理探索、验证与简单应用，通过“逐点导讲练”导入，从直角三角形三边关系切入，结合文字、图示、符号语言构建知识，以例题和变式训练为学习支架，帮助学生逐步理解。 其亮点在于融合数形结合思想，通过赵爽弦图等拼图验证培养推理意识，用面积法求斜边上的高及小鸟飞树问题建模发展几何直观与应用意识。采用母题变式训练，小结梳理条件、结论与应用，助力学生提升运算能力与探究能力，为教师提供结构化教学资源。

1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单应用 知1－讲 感悟新知 知识点 勾股定理 1 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c a2=c2-b2， b2=c2-a2 1. 勾股定理 确定了直角三角形三边的数量关系 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角 三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入一个辅助量，建立方程来求未知的边 . 2. 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 知1－讲 感悟新知 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b2+c2=a2 (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a2+c2=b2 (b为斜边长) ∠C =90° a2+b2=c2 (c 为斜边长) 2.找准条件灵活应用勾股定理 知1－练 考向： 利用勾股定理求直角三角形的边 题型1 勾股定理在斜边确定的三角形中的应用 [母题 教材P8习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b. 解题秘方：应用勾股定理首先根据直角所对的边是斜边确定公式中的c，然后紧扣勾股定理公式及其变形公式解答。 例1 知1－练 解：因为∠C＝90°，a＝3，b＝4， 所以由勾股定理得c2＝a2＋b2＝32＋42＝25. 所以c＝5. (1)已知a＝3，b＝4，求c； 知1－练 解：因为∠C＝90°，c＝13，a＝5， 所以由勾股定理得b2＝c2－a2＝132－52＝144. 所以b＝12. (2)已知c＝13，a＝5，求b. 知1－练 感悟新知 1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75，求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60. 变式训练 9 知1－练 如图1-1-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，CD⊥AB，垂足为D. 求CD的长. 思路导引： 例 2 题型2 勾股定理在几何图形中求线段长的应用 知1－练 解：因为∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 所以AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52. 所以AB＝5. 因为CD⊥AB， 所以S△ABC＝AB·CD＝AC·BC， 即AB·CD＝AC·BC. 所以CD＝＝＝. 知1－练 感悟新知 方法点拨： 面积法是几何题解法中的一种基本方法，也称为等面积法。比如：若直角三角形两条直角边长分别为a，b，求斜边上的高，这一问题就需要借助面积法，即用两种方式表示直角三角形的面积：(1)斜边乘斜边上的高除以2；(2)两直角边乘积的一半，从而建立等量关系，解出未知量. 知1－练 感悟新知 2-1. 如图， 在四边形ABCD 中， ∠ D=∠ ACB=90 °，AD=8，CD=6， 且四边形ABCD 的面积为49，则AB2= _________ 。 125 变式训练 知2－讲 知识点 勾股定理的验证 2 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 知2－讲 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 知2－讲 特别提醒 通过拼图验证定理的思路： 1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变； 2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3. 利用等式的性质变换验证结论成立。 即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结论。 知2－讲 续表 方法 图形 说明 伽菲尔德 总统拼图 知2－讲 续表 方法 图形 说明 毕达哥拉 斯拼图 感悟新知 意大利著名画家达·芬奇用如图 1-1-2 所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为 S1，图②中空白部分的面积为 S2． 例3 考向：利用拼图法验证勾股定理 知2－练 知2－练 感悟新知 解题秘方：探索勾股定理的关键是找面积相等：①根据直角三角形以及正方形构造图形；②用代数式表示出图形面积S1，S2；③根据面积相等列出等式；④推导出勾股定理。 知2－练 感悟新知 (1)请用含 a， b， c 的代数式分别表示 S1， S2； 解：图①中空白部分的面积 S1=a 2+b 2+2× ab=a 2+b 2+ab， 图 ② 中空白部分的面积 S2=c 2+2× ab=c 2+ab. 知2－练 感悟新知 (2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理． 解：由 S1=S2，得 a2+b2+ab=c2+ab， 所以 a 2+b 2=c 2． 知2－练 感悟新知 3-1. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF。试利用此图说明勾股定理。 变式训练 知2－练 感悟新知 感悟新知 知3－讲 知识点 勾股定理的简单应用 3 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 若所求线段不在 直角三角形中， 常作辅助线构造 直角三角形 知3－讲 感悟新知 特别解读 勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，应用勾股定理需先找出或构造直角三角形（需作三角形的高）。 知3－练 感悟新知 如图 1-1-3，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 4 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是 10 m，求两树相隔的距离． 例4 考向： 利用勾股定理解决实际问题 知3－练 感悟新知 解题秘方：通过“作垂线”构造直角三角形是利用勾股定理解决实际问题常用的添加辅助线的方法． 知3－练 感悟新知 解：如图 1-1-3，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E. 由题意知，AB=10 m， CD=4 m， AD=10 m， 易知 BE=CD=4 m，所以 AE=10 － 4=6(m) . 在 Rt △ AED 中，由勾股定理得 DE 2=AD 2 － AE 2=10 2 － 6 2=8 2， 所以 DE =8 m. 所以易得 BC=DE=8 m. 所以两树相隔的距离为 8 m． 知3－练 感悟新知 4-1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆 AB 的底端 B 处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点 D 处，发 现 此 时点 D 到 旗 杆AB 的水平距离为 8 m，点 D到地面的距离 CD为 2 m，则 旗 杆 AB 的高度为(     ) A．23 m  B．17 m C．15 m D．10 m B 变式训练 探索勾股定理 勾股定理 直角三角形 应用 几何应用 实际应用 验证 拼图法 面积法 条件 三边平方关系 结论 解：因为四边形ABCD是边长为a的正方形， 所以AD＝CD＝BC＝AB＝a，∠D＝∠ABC＝ ∠BAD＝90°。所以∠ABF＝90°。 在△ADE和△ABF中， 所以△ADE≌△ABF(SAS)。 所以AE＝AF＝c，∠DAE＝∠BAF，S△ADE＝S△ABF。 所以∠EAF＝∠BAF＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE＝ ∠BAD＝90°，S正方形ABCD＝S四边形AECF。如图，连接EF。 $