第八章 课时作业10 圆锥曲线中最值范围问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线最值范围问题，通过双曲线、椭圆、抛物线典例，系统覆盖直线与曲线位置关系、几何量范围求解，强化运算推理与模型构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线|1、4题|动点距离范围、向量数量积范围|联立方程+韦达定理+判别式，离心率与焦点关系| |椭圆|2题|线段长度最大值|中点坐标+弦长公式+参数法，椭圆方程与几何性质| |抛物线|3题|三角形面积最小值|导数求切线+函数求最值，抛物线切线方程与对称性|

课时10 圆锥曲线中最值范围问题 解答题 1、 (2026·河北石家庄市模拟节选)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求上动点A到直线l的距离的取值范围． 2、(2026·河南焦作市模拟)已知O为坐标原点，椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)，C是Γ上一点，离心率e＝． (1) 求椭圆Γ的方程； (2) 若斜率为的直线l交Γ于A，B两点，点P在以AB为直径的圆上，求OP长的最大值． 3、(2026·广东湛江市第一中学期末节选)已知点M(0,4)，过抛物线C：x2＝8y上任一点(原点O除外)作C的切线，分别与直线y＝4，y＝－4交于P，Q两点. 问△PMQ的面积是否存在最小值？请说明理由． 4、（2026·贵州黔东南高三开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且截的准线所得的弦长为. (1)求的方程； (2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围. 课时10 圆锥曲线中最值范围问题参考答案 1、【解】联立y＝kx＋m与－＝1可得(9－4k2)x2－8kmx－4m2－36＝0.由题意知9－4k2≠0，则Δ＝64k2m2＋4(9－4k2)(4m2＋36)＝144(m2－4k2＋9).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，故x1＋x2＝，x1·x2＝.则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝0，化简可得m2＝ ①. 可知存在m，k同时满足①及Δ>0，9－4k2≠0，可得O到直线l的距离为 ＝>1，所以A到直线l的距离的取值范围是． 2、【解】（1）由题意知解得所以椭圆Γ的方程为＋y2＝1． （2）如图，设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y得x2＋2mx＋2m2－2＝0.根据根与系数的关系可知其中Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＞0⇒m2＜2．设AB的中点为M，所以M，OM＝|m|，AB＝|x1－x2|＝＝·，所以OP≤OM＋AB＝(|m|＋)，令|m|＝cosθ，所以|m|＋＝(cosθ＋sinθ)＝2sin≤2，当且仅当θ＝，即|m|＝1时取等号，满足m2＜2，所以OP≤，即OP长的最大值为． 3、【解】方法一：设切点E(x0，y0)(y0>0)，因为y＝，所以y′＝，则在点E处的切线方程为y－y0＝(x－x0)．化简得y＝x－y0，令y＝4，得xP＝，则S△PMQ＝× 8＝16× ①. 因为切点E(x0，y0)在抛物线C上，所以x02＝8y0，即|x0|＝2·，代入①式得，S△PMQ＝16×＝4≥16，当且仅当y0＝4时取等号．故△PMQ的面积存在最小值，且为16. 方法二：由抛物线的对称性，不妨令切点在第二象限，如图，设直线y＝4与抛物线在第二象限交于点N， 则S△PMQ＝PM×8＝4PM≥4NM，将y＝4代入x2＝8y，得x＝±4，所以NM＝4.当点P 与点N重合时，PMmin＝4，(S△PMQ)min＝16.故当点N为切点时，△PMQ的面积存在最小值16. 4、【解】（1）由题可知，的坐标为，则.易知的方程为，不妨设与相交于点，，则，整理得，则，可得故的方程为. （2）由题可知，直线的斜率一定存在，设：，，，则，.联立方程组整理得，则，，,.由，在轴的上方，所以，，可得. ，则. 由，得，则，故的取值范围是. . 学科网（北京）股份有限公司 $