第八章 课时作业3 圆的方程-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆的方程核心概念，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖标准方程、位置关系及轨迹问题，强化几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-2、填空10|直接考查圆的方程形式及点与圆位置关系|从标准方程到一般方程，构建方程形式与参数的关联| |综合问题解决|单选3-6、多选7-9、填空11|涉及直线与圆相切、对称、参数讨论及最值|结合几何性质（如圆心位置、距离公式）推导关系，体现数形结合| |拓展创新应用|填空12、解答13-14|融合欧拉线、轨迹方程及动态问题|从静态方程到动态轨迹，深化知识迁移与模型构建|

课时3 圆的方程 一．单选题 1．若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京卷）圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3、已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 4. (2026·山西晋城市模拟)设M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为 (　 　) A．2 B． C．3 D．9 5．(2026·甘肃兰州市高三统考期末)已知圆C以P1P2为直径，且点P1(4,9)，P2(6,3)，则下列各点在圆C外的是(　 　) A．M(6,9) B．N(3,3) C．Q(5,3) D．R(4,4) 6．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，M是圆C上的动点，AM与圆相切，且AM＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 二．多选题 7、（2026·河北沧州市模拟）已知方程λ(x2＋y2－2x)＋μ(x2＋y2－2y)＝0(λ，μ不全为零)，下列说法中正确的有( ) A．当λμ＝0时为圆 B．当λμ≠0时不可能为直线 C．当方程为圆时，λ，μ满足λ＋μ≠0 D．当方程为直线时，直线方程为y＝x 8、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的有(　 　) A．F＝4 B．圆关于直线y＝－2x对称 C．坐标原点在圆的内部 D．的最大值为9 9．(2026·广东茂名市模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有(　 　) A．圆C过定点 B．点(0,0)在圆C外 C．直线4x－3y－3＝0平分圆周 D．存在实数k，使得圆与x轴相切 三．填空题 10、(2026·湖北武汉市外国语学校期末)已知A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a，2)四点共圆，则a＝________. 11、 已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是 　． 12、(2026·山东烟台市模拟)1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的欧拉线的方程为x－y＋2＝0，且点A(2，0)，B(0，4)，则△ABC的外接圆方程为　 ；点C的坐标为　 　． 四．解答题 13、已知以点P为圆心的圆过点A(－1，0)，B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝4.求： (1) 直线CD的方程； (2) 圆P的方程． 14．已知方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0表示圆，其圆心为C． (1) 求该圆半径r的取值范围； (2) 求圆心C的轨迹方程； (3) 若k＝－2，线段AB的端点A的坐标为(0,4)，端点B在圆C上运动，求线段AB中点M的轨迹方程． 课时3 圆的方程参考答案 1．C【解析】由题意，知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围是.故选C. 2．C【解析】由题意，得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选C. 3、D【解析】由题意，设（），圆的半径为，，解得， 所以圆心，半径，所以圆的方程为.故选D. 4. C【解析】圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的标准方程为2＋(y＋1)2＝5＋，则圆心坐标为，半径为r＝．因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，解得k＝4，所以圆的半径r＝＝3．故选C. 5．B【解析】 由线段的中点坐标公式，可得圆心为C(5,6)．因为P1P2＝＝2，所以圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10．因为CM＝＝r，所以点M在圆C上；因为CN＝＞r，所以点N在圆C外；因为CQ＝3＜r，所以点Q在圆C内；因为CR＝＜r，所以点R在圆C内．故选B. 6．B【解析】因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1.因为点M是圆上的动点，所以MC＝1.又AM与圆相切，且AM＝2，则AC＝＝，设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.故选B. 7、ACD【解析】对于选项A，由题可得或代入得x2＋y2－2y＝0或x2＋y2－2x＝0，都是圆，故A正确； 对于选项B，当λ＝1，μ＝－1时，化简得y＝x，是直线，故B错误； 对于选项C，原式可化为(λ＋μ)x2＋(λ＋μ)y2－2λx－2μy＝0，要表示圆，则必有λ＋μ≠0，故C正确； 对于选项D，只有当λ＋μ＝0时，方程表示直线，且直线方程为y＝x，故D正确．故选ACD. 8、 ABD【解析】由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，化成圆的一般式为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故A正确； 因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，故B正确； 原点到圆心的距离d＝＞4，则原点在圆的外部，故C错误； 的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2,1)的距离，从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2,1)的距离与半径之和，故的最大值为＋4＝9，故D正确．故选ABD. 9． ACD【解析】对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，由得或故圆C过定点和，所以A正确； 对于选项B，因为圆心为(3k,4k－1)，r＝，点(0,0)到圆心的距离d＝＝，又因为k∈R，当k＞0时，d＜r，此时点(0,0)在圆C内，所以B错误； 对于选项C，因为圆心为(3k,4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，即圆心在直线4x－3y－3＝0上，所以C正确； 对于选项D，若圆与x轴相切，则|4k－1|＝，即9k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－，所以D正确．故选ACD. 10、±【解析】设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，则解得所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝±. 11、 1＋3【解析】方法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，代入方程化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是3＋1． 方法二：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，可得(x－2)2＋(y－1)2＝9．令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0,2π)，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3cos＋1．因为θ∈[0,2π)，所以θ＋∈，则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1． 方法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9．设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值为1＋3． 12、(x＋1)2＋(y－1)2＝10；(－4，0)【解析】设C(m，n). 由重心坐标公式得，△ABC的重心为，代入欧拉线方程得＋2＝0，整理，得m－n＋4＝0 ①. AB的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0．联立，解得x＝－1，y＝1．所以△ABC的外心为(－1，1)．则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理，得m2＋n2＋2m－2n＝8②. 联立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．所以顶点C的坐标是(－4，0)．△ABC的外接圆方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10． 13、【解】 (1) 直线AB的斜率k＝1，线段AB中点坐标为(1，2)，所以直线CD的方程为 y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在直线CD上，得a＋b－3＝0①. 又直径CD＝4，所以 PA＝2，所以 (a＋1)2＋b2＝40②. 由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2，所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)，所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 14．【解】（1）方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0可转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝－k2－k＋6，由方程表示圆，所以－k2－k＋6＞0，即得－3＜k＜2，所以r＝＝∈． （2）由(1)知C(－k，－2k－5)，令消去k可得y＝2x－5．又－3＜k＜2，所以－2＜x＜3，故圆心C的轨迹方程为y＝2x－5(－2＜x＜3)． （3）当k＝－2时，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，设M(x，y)，又M为线段AB的中点，点A的坐标为(0,4)，则B(2x,2y－4)．由端点B在圆C上运动，所以(2x－2)2＋(2y－3)2＝4，即(x－1)2＋2＝1，所以线段AB的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋2＝1． . 学科网（北京）股份有限公司 $