训练49 圆的方程-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练49 圆的方程 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）》 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.(2025·河北沧州月考)已知圆C:(x一1)2+(y一 7.(2025·广东东莞模拟)已知圆C:x2+y2一4x十 1)2=1,则下列点在圆C内的是 ( 6y+11=0与点A(0,-5),则 () A.(0,0) B.(1,0) A.圆C的半径为2 n(分》 B.点A在圆C外 C.(2,1) C.点A在圆C内 2.(2024·北京房山区摸拟)圆C:x2+y2一2x十 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为√2 2y一2=0的圆心坐标为 ( 8.(2025·江苏宿迁模拟)已知圆C:(x一3k)2+ A.(1,1) B.(1,-1) (y一4k+1)2=1+25k2,则下列结论中正确的有 C.(-1,一1) D.(-1,1) () 3.(2024·福建厦门模拟)以(1，-一2)为圆心，√2为半 A.圆C过定点 径的圆的方程是 ( B.点(0,0)在圆C外 A.(x-1)2+(y+2)2=2 C.直线4x-3y一3=0平分圆周 B.(x+1)2+(y-2)2=2 D.存在实数k,使圆C与x轴相切 C.(x-1)2+(y+2)2=√2 9.(2025·山东青岛模拟)在数学中有这样形状的曲 D.(x+1)2十(y-2)2=√2 线：x2十y2=|x十y|,关于这种曲线，下列结论 4.(2025·辽宁沈阳模拟)圆(x一2)2+y2=1上的点 正确的有 () 到原点距离的取值范围是 ( A.该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形 A.(0,3] B.[0,3] B.该曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整 C.[1,3] D.[2,3] 数的点) 5.(2025·黑龙江实验中学高三月考)若过点(2,1) C.该曲线上任意两点之间的距离都不大于2 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x一y一 D.该曲线所围区域的面积大于5 3=0的距离为 三、填空题（每小题5分，共15分） B26 10.已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC的 5 外接圆方程为 得分 C.36 5 D. 5 11.(2024·陕西西安期末)若点P(x,y)是圆C: 6.若P(x,y)满足x2+y2=1,A(1,2),B(1,4),则 x2+y2-2x+4y+1=0上任意一点，则x2+y IPAI2+|PBI2的最小值是 ( 的最大值是 得分 A.22-6√10 B.22-4√/10 12.已知点M(1,t)在圆x2+y2-2y+1=0外，则 C.24-6√10 D.24-4√10 实数t的取值范围为 得分 (横线下方不可作答) 357 第八章平面解析几何 四、解答题（共37分） 14.(20分)如图，河北省赵县的赵州桥，是世界上现 13.(17分)(2025·江苏盐城模拟)已知圆C的圆心 存最古老的石拱桥之一，雨季时赵州桥的水面跨 在x轴上，并且过A(1,3),B(3,3)两点. 度约为37.4m,圆拱高约7.2m(圆拱最高点到 得分1 水面的距离)，试建立适当的直角坐标系. (1)求圆C的方程： 得分 (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0),点Q (1)求出这个圆拱所在的圆的方程； 满足PM=3QM,求点Q的轨迹方程. (2)旱季时水位下降了4.1m,则此时水面跨度增 大到多少米？ 红对勾·讲与练 358 高三数学·基础版 ■则PA+PB=PA+ PCI≥AC= √(g+)+(g-)=2. 故|PA十PB|的最小值为2√2， 3 B A -3-2-10 2 3 训练49 圆的方程 1.D因为(0-1)2+(0-1)2=2>1， (1-1)2+(0-1)2=1,(2-1)2+(1 =1,(分-)+（分-） 71,所以点(0,0)在圆外，点① 0.2,10在圆上点（分，号）在圆内。 故选D. 2.B由题意得圆C的标准方程为(x一 1)2十(y十1)2=4，所以圆心坐标为 (1,一1).故选B. 3.A因为圆心为(1，一2)，半径为√2， 所以圆的标准方程为(x一1)十(y十 2)2=2.故选A 4.C圆心为(2,0)，半径为1，所以圆上 的点到原点的距离d满足2一1≤d≤ 2十1，即1≤d≤3.故选C. 5.B由于圆上的点(2,1)在第一象限， 若圆心不在第一象限，则圆至少与一 条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心 必在第一象限，设圆心的坐标为(a, a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准 方程为(x-a)2十(y-a)2=a”.由题 意可得(2-a)2十(1一a)2=a2,可得 a2-6a十5=0，解得a=1或a=5, 所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，点 (1,1)到直线2x-y-3=0的距离为 2×1-1-3 d1= 12W5 5 点(5， 5 5)到直线2x一y-3=0的距离为 d2= 2×5-5-32w5 ,所以圆 √5 5 心到直线2x一y一3=0的距离为 25 5 故选B. 6.DPA|2+|PB|2=(x-1)2+ (y-2)2十(x-1)2+(y-4)2= 2x2-4x+2y2-12y+22=24-4x 12y.由x2十y2=1,可设x=cos0, y sin,PA+PB2=24- 4(cos8+3sin0)=24-4w/10sin(0+ 1 g),其中tan9=3,故当sin(0 十 P)=1时，PA2十PB|2取最小值 24-4√10.故选D. 7.BD因为x2十y2-4x+6y十11= 0,即(x-2)2十(y十3)2=2，所以圆心 为C(2,一3)，半径r=√2，故A错误； 又AC|=√22+(-3+5)F= 2√2>r,所以点A在圆C外，故B正 确，C错误；因为|AC=2√2，所以点 A与圆C上任一点距离的最小值为 |AC-r=√2，故D正确.故选BD 8.ACD对于A,由(x-3k)2十(y 4k+1)2=1+25k2,得到x2-6kx+ 9k2+y2-2(4k-1)y+16k2-8k+ 1=1十25k2,整理得x2十y2十2y k(6x+8y十8)=0，由 4 {z2十y2+2y=0,得 x=- 5’ l6x+8y+8=0, 2 y=一5 4 x- 5 故圆c过定点（-， 4 5 )和（信，-）所以A正确对 - 于B,因为圆心为(3k,4k一1)，r= √1十25k,点(0,0)到圆心的距离 d=√9k+16k-8k+1= √1+25k一8k,又因为k∈R,所以 当k>0时，d<r,此时点(0,0)在圆 C内，所以B错误：对于C,因为圆心为 (3k,4k-1),4×3k-3(4k-1)-3= 0,所以圆心在直线4x-3y-3=0上，所 以C正确；对于D,若圆C与x轴相切， 则|4-1=√1十25k,即9k2+ 8k=0,解得及=0或负=-号，所以 D正确.故选ACD. 9.ABD曲线x2十y2=x十y1,当 x>0y>0时，有(-）+( 》=日：音上>0y<0时：有 x<0y>0时，有(+)广十 (-）=当x<0y<0时. 1 (0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) 也满足曲线方程，曲线由四个半圆和 原，点组成，且四个半圆所在的圆都过 原点，水轻R均为9如因中实线部分 和原点， -1 若点(x,y)满足曲线方程x2十y2= |x十y,则点(x,-y),(-x,y), (一x,一y)也都满足曲线方程，该曲线 关于x轴和y轴对称，也关于原点对 称，A正确；曲线经过的整点有(0,0)， (1,1),(1,0),(1,-1),(-1,1),(-1, 0),(-1,-1),(0,1),(0,-1)共9个， B正确；，点(1,1)和（一1，一1）都在曲线 上，这两，点间的距离为2√2，C错误；曲 线所围区域可看成由四个半圆和一个 正方形组成，它的面积S=4X πR+(2R)P=π+2>5，D正确. 1 故选ABD. 10.(x-1)2+(y-4)2=10 解析：设△ABC外接圆的方程为(x一 a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为 A(2,1),B(-2,3),C(0,1),所以 1(2-a)2十(1-b)2=r2, (-2-a)2+(3-b)2=r2,解得 (-a)2+(1-b)2=r2, 1a=1, b=4,因此△ABC外接圆的方 r=10, 程为(x-1)2+(y-4)2=10. 11.9+45 解析：圆C的方程x2十y2-2x十4y十 1=0可化为(x-1)2十(y十2)2=4， 则圆心C(1,一2)，半径r=2,令x= x2十y2,则√E=√+y= √(x-0)+(y-0),得√E为点 P(x,y)到原点O(0,0)的距离，其最 大值为|CO+r= √/(1-0)2+(-2-0)2+2=√5 2,则x的最大值为（√5十2）2=9 4W5. 12.(-√2，-1)U(1,√2) 解析：因为M(1,t)在圆x2十y2 2ty十1=0外，所以(-2t)2-4>0且 1十t2-2t十1>0，得1<t2<2,解 得一√2<t<-1或1<t<√2，所 以实数t的取值范围为（一√2，一1）U (1√2). 13.解：(1)由题意可知，线段AB的中点 为(2,3)，kAB=0, 所以线段AB的中垂线方程为x=2, 它与x轴的交点为圆心C(2,0),又半 径r=|AC=√10，所以圆C的方 程为(x-2)2十y2=10. (2)设P(xoyo),Q(xy), 由PM=3QM,得(8-xo,-yo) 3(8-x,-),所以。=3x-16, lyo=3y, 又点P在圆C上，故(x。-2)+y= 10,所以(3x-18)2+(3y)2=10, 化简得点Q的轨迹方程为(x一6)2+ 14.解：(1)根据题意，设圆的圆心为O, 圆的半径为R, 如图，以圆心O为原点，以圆拱高所 在直线为y轴，以1m为单位长度建 立直角坐标系， y D B 参考答案559 由题意得水面跨度|AB|=37,4m, 圆拱高CD=7.2m,AC= 2 AB=18.7m 在Rt△ACO中，R2=18.72+(R一 7.2)2,解得R≈27.9m, 故圆拱所在的圆的方程为x十 y2=27.92 (2)如图，水面下降了4.1m后，圆拱 高DE=7.2十4.1=11.3(m), 则0E=27.9-11.3=16.6(m), y D M 那么当y=16.6时，x2十16.6= 27.9,解得x≈士22.4，即MN≈ 44.8,所以水面跨度约增大到44.8米. 训练50 直线与圆的位置关系 1.A由{红十y=4解得杠=E, y=一x, y=-2 或r=2,所以A∩B=W2, y=√2， -√2)，(-√2，√2)，则A∩B中有2 个元素，所以A∩B的真子集的个数 为22一1=3.故选A. 2.B易知圆C:(x十1)2+y2=r2(r> 0)的圆心为C(一1,0)，半径为r,直线 1与圆C有公共点时，1一≤r恒 √/1十k四 成立，即(r2-1)k2十2k十r2-1≥0恒 成立，则r2-1>0且△=4-4(r2 1)2≤0，解得r≥√瓦或r≤-√2（舍 去)，所以“日k∈R,直线l与圆C有公 共，点”是“r>√2”的必要不充分条件 故选B. 3.C要使圆截直线所得弦最长，则直线 必过圆心(0,0)，所以m一1=0，可得 m=1.故选C. 4.B圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心 到点(3,5)的距离为1，所以，点(3,5)在 圆内，最长弦为圆的直径，由垂径定理 得，最短弦BD和最长弦（即圆的直 径)AC垂直，故最短弦的长为BD 2×√5-1严=4√6，最长弦的长为 AC=10,所以四边形ABCD的面 1AcBD=3X10X 积为2 4√6=20√6.故选B. 5.C圆C的方程x2十y2-2x十4y+ 1=0可化为(x-1)2十(y十2)=4， 其圆心坐标为(1，一2)，半径r=2,当 m=0时，直线1：y=-1,圆心到直线 的距离d=1=r一1，此时圆C上恰有 三个不同的点到直线！的距离为1，故 充分性成立；当圆C上恰有三个不同的 点到直线l的距离为1时，圆心到直线 的距离d=m-2+1-2m ，=r w√m2+12 1=1,解得=0，故必要性成立.所以 “m=0”是“圆C上恰有三个不同的点 5604对构·讲与练·高三数学· 到直线（的距离为1”的充要条件，故 选C. 6.B直线方程 x+ay-a-2= 0可化为x一2+ a(y-1)=0,当 x-2=0且y 1=0,即x=2 且y=1时，等式 恒成立，所以直线恒过定，点M(2,1),由圆 的方程知，圆心为C(2,0),半径r=2,当 MC⊥直线AB时，AB|取得最小值， 且最小值为2√P-MC下= 2X√4一1=2√3，如图，此时弦AB 所对的圆心角一半的正切值为√3，故 孩AB所对的圆心角为2严，所以AB的 长为号×2=经故选B 31 7.CD圆x2十y2=r2的圆心坐标为 (0,0),半径为r,由于直线x十y-4= 0与圆x2十y=r2有公共点，所以 -4 -≤r,解得r≥2√2，故符合条件 √2 的选项为C,D.故选CD. 8.ACD对于A,设点P(x,y),则 PA W/(x-1)2+y2 1 PB= √(x-4)'+y2 理可得x2十y2=4,故A正确；对于B, 由P的轨迹方程是x2十y2=4,可知 其是圆，且圆心是O,半径”=2，且 |ON=√+1=√2<2，可知点 N(1,1)在圆O内，过点N(1,1)的直 线被圆O所截得的弦最短时，，点V(1, 1)是弦的中，点，根据垂径定理得弦长 的最小值是2√-ON下=2√2， 故B错误；对于C,圆心到直线l:x 4 y十4=0的距离d= =22>2, √2 所以直线与圆相离，故C正确；对于D, 因为四边形OCMD的面积S= 2Saw=2×2×2CM= 2√JOM2-4,如图，当OM⊥1时， |OM取到最小值d=2√2， M D八O 所以四边形OCMD面积的最小值为 2X√(2√2)2一4=4，故D正确.故选 ACD. 9.BCD设P(a, 4-a),因为直 线AB与x,y轴 均相交，所以 0<a<4,连接 OA,OB,如图， 设线段l:x十 y=4(0≤x≤ 4),则O,A,P, B四点共圆，且此圆以线段OP为直 基础版 径，而以线段OP为直径的圆的方程为 x(x-a)十y(y-4十a)=0,整理得 到x2十y2-ax-(4-a)y=0,故直 线AB的方程为4-ax-(4-a)y= 0,整理得到ax十(4-a)y-4=0.对 于A,若O在以线段AB为直径的圆 上，则∠AOB=90°，由O,A,P,B四 点共圆可得∠APB=90°，而∠PAO= ∠PBO=90°，AO=BO=2,故 四边形OAPB为正方形，故OP= 2√2，但P为动点且OP长度变化，故O 不恒在以线段AB为直径的圆上，故A 错误：对于B,四边形PAOB的面 积S=2X2X0A×AP= 2√TOP-4,而0p≥-4 √2 2√2，当且仅当OP⊥l,即P(2,2)时 等号成立，故S的最小值为4，故B正 确；对于C,因为直线AB的方程为 ax十（4一a)y-4=0,所以a(x一 》十-4=0合话，4二0解将 {红=1·故直线AB过定点Q(1,1),设 y=1, O到直线AB的距离为d,则d 1OQ=2,故|AB=2√4-d≥ 2√2，当且仅当d=√2，即OQ⊥AB时 等号成立，故AB|的最小值为2W2, 故C正确；对于D,由直线AB的方程 ax+4-ay-4=0可得M(年0）， Noa)oM+oN=吾+ a 4 16 4-a =-a-2》+40<a<4,而 0<-(a-2)2+4≤4，故|OM |ON≥4，当且仅当a=2时等号成 立，故OM十ON|的最小值为4，故 D正确.故选BCD. 10.2√2 解析：由圆C:x2一4x十y2= 0台(x一2)2十y2=4,得圆心C(2, 0),半径r=2,所以当过点P(1,1)的直 线l垂直于PC时，弦长AB取得最小 值，此时P℃C12=(2-1)2十(0-1)= 2,即|AB|m=2√r-PC下= 2×W4-2=22」 11.5x-3y+2=0 解析：如图，圆 C的圆心坐标 为(-1,2)，且 A,B在以线段 PC为直径的 圆上，由圆的 直径式方程， B 得以线段PC 为直径的圆的方程为(x十1)(x 4)+(y-2)(y十1)=0→x2+y2 3x一y一6=0，则直线AB的方程为 (x2+y2+2x-4y-4)-(x2+y2 3x-y-6)=0→5x-3y+2=0. 12.2√3 解析：如图，因为∠APB≥90°，所 以∠APO≥45°，所以sin∠APO= 0n00≥m5=9解 OA 2