上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

2026年复旦中学高一年级下学期期末 2026.06 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分) 1、若z+1+i=3i(i是虚数单位)，则复数z的虚部是 2、已知向量a=(1,2,6=3,,若a6+动，则x= 3已知cos=克xe0.则x-_ 4、等差数列中，2和8的等差中项是 5、函数y=Sinm+3的最小正周期是」 6、在△4BC中，若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC的形状为」 7、等差数列a,包，}的前n项和分别是3，和T,且三=3+eN）,则g= T,n+1 b。 8、已知a=(5,3)b=（1,2),则向量a在向量i方向上的投影向量的坐标为 e咖后-小则m号- 10、在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，点P在边BC上，BC=8,则PAPD 的最小值为 11、声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学 模型是函数ht)=Asin(or):技术人员获取了某种声波，其数学模型记为y=H(t,部分 图像如图所示，图像过点(1,0)，(3,0)，（⑤，0）：对该声波进行逆向 分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数 0)=sm2a)+品sn(@m0<o<,共中 ：则0= 2 12、已知g,e2为单位向量，设向量a=3C+e2,b=g+C,向量a,b的夹角为0，若 ≤1，则cos20的取值范围为】 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分) 13、已知复数z的共轭复数为z,则下列命题错误的是（) A.z+z∈R B.z-z为纯虚数 c.=月 0.22=z2 14、阅读下列材料：有理数都能表示成卫（P,9∈Z,且g≠0，p与9互质)的形式， 从而有理数集Q {9∈g*0,p与9互质， 任何有理数都可以化为有限小数或无 限循环小数：反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为卫的形式，从而是有理数： 例如：0.3=：循环小数1.27化成分数为（) 3 A B. 28 c.82 27 1 04 11 15、已知向量a*g,-1,对任意实数t,恒有日-1d≥6-，则（) A.aLe B.a16-ec.e⊥6-eo.6+e⊥6-e 16、若函数y=f(x)满足：对于集合D内的任意x1,都存在x2∈D,使得f(x2)=-f(x), 则称函数y=f(x)在D上具有性质P:对于命题：①若函数y=sin(am(o>0)在[0，π]上 具有性质P,则⑦的取值范围是 ②函数y=sin(orXo>0）在[r,2x]上具有性质 P,则0的取值范围 是1 下列判断正确的是（) A.①②均真 B.①真②假 C.①假②真 D.①②均假 三、解答题（共78分） 17、(第1小题6分，第2小题8分，共14分) 已知关于x的实系数一元二次方程x2+ar+b=0(a,b∈R): （1)若一根为1-2i,求a,b的值： (2)设Q=b=2,Z。为虚数根，记z0,z6,2。-z6在复平面上对应点分别为A,B,C,求 可A+OBOC的值： 18、(第1小题6分，第2小题8分，共14分) 已知等差数列{an}满足a2=-10,a1o-4=2a,: (1)求数列{an}的通项公式： (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求S,n的最小值及取最小值时的n的值： 19、（第1小题6分，第2小题8分，共14分) 如图所示，一搬海轮在海面上的C处发现两座小岛A,B,测得小岛A在C的北偏东15°的 方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D 处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上： （1)求C处与小岛A之间的距离： 北 B (2)求A,B两座小岛之间的距离： 西 D 东 南 20、（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分) 已知△0AB中，OA=√2，OB=V5,令OA=a,OB=b,且a-b=1:过AB边上-点R （异于端点)作边OB的垂线P2,垂足为2，再由2，作边OA的垂线2R,垂足为R, 又由R作边AB的垂线RB,垂足为B:设D,=n6-a0<1n<): (1)求AB的长度： 2老1号回-8，东的位： P2 (3)若存在实教k,使得+为常数，求k的位，并 1+k R 写出该常数： 21、（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分) 已知函数fx)=sin(2x+p0<p<元)： ()当9=晋政，求两数y=)的最大值，并求出取得最大值时所有x的值： 四专阳为数，&因=e(:+引容不等式g小小水2准x0到 上恒成立，求实数m的取值范围： (3)若fx)过点 设(x)=cos2x+2 asin x,若对任意的 引] 都有h(x)<fx2)+3,求实数a的取值范围：