第四章　第22课时　专题强化：圆周运动的临界问题-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦圆周运动临界问题，按水平、竖直、倾斜面分类构建“临界条件-典例解析-变式拓展”方法体系，强化科学思维与模型建构 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |水平面内临界问题|2例+3拓展|摩擦力/弹力临界条件分析，静摩擦力指向/背离圆心判断|从向心力来源出发，结合牛顿定律推导最大静摩擦提供向心力的临界半径公式| |竖直面内临界问题|2例|轻绳轻杆模型对比，临界速度（√gR与0）及弹力方向分析|通过受力示意图区分两类模型，利用机械能守恒推导非最高点速度| |倾斜面内临界问题|1例|斜面受力分解，最低点静摩擦与重力分力合力提供向心力|重力垂直斜面分力与支持力平衡，平行斜面分力参与向心力计算|

第22课时　专题强化：圆周运动的临界问题 目标要求　1.会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。2.掌握分析判断临界问题的方法。 考点一　水平面内圆周运动的临界问题 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm=，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例1　(2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则(　　) A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C.陶屑只能分布在圆台边缘 D.陶屑只能分布在某一半径的圆内 答案　D 解析　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，半径最大，设为r，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，μ与ω均一定，故r与陶屑质量无关且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆内，故A、B、C错误，D正确。 例2　如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　) A.a一定比b先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.ω=是b开始滑动的临界角速度 D.当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg 答案　C 解析　小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff=mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Ffa=ml，当Ffa=kmg时，kmg=ml，ωa=；对木块b有Ffb=m·2l，当Ffb=kmg时，kmg=m·2l，ωb=，则ω=是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A错误，C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa=mω2l，Ffb=mω2·2l，Ffa<Ffb，选项B错误；ω=<ωa=，a没有滑动，则Ffa'=mω2l=kmg，选项D错误。 拓展1　把例2中装置改为如图所示，木块a在转轴中心，木块a、b用水平轻绳连接(刚好拉直)，其他条件不变。 (1)当圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动时，木块a、b所受圆盘的摩擦力和轻绳拉力如何变化？ (2)转动的角速度多大时，a、b开始滑动？ 答案　(1)随着角速度的增大，木块b受到的摩擦力先增加后保持不变，当轻绳开始有拉力时，a开始受到摩擦力作用，之后逐渐增大，直到达到最大静摩擦力；轻绳开始时没有拉力，当木块b受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，开始有拉力，拉力逐渐增大。 (2)kmg+kmg=mω2·2l 解得ω=。 拓展2　把例2中装置改为如图所示，木块a、b用水平轻绳连接(刚好拉直)，其他条件不变。 (1)当ω为多大时轻绳开始有拉力？ (2)当ω为多大时木块a、b相对于圆盘会滑动？ 答案　(1)　(2) 解析　(1)当b达到最大静摩擦力时，轻绳开始有拉力，kmg=m·2l，解得ω1=。 (2)开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，b先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，a的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，a、b相对于圆盘会滑动，对a有kmg-FT=ml，对b有FT+kmg=m·2l，解得ω2=。 拓展3　把例2中装置改为如图所示，木块a、b用水平轻绳连接(刚好拉直)，其他条件不变。 (1)当ω为多大时轻绳开始有拉力？ (2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零？ 答案　(1)　(2) 解析　(1)在b的静摩擦力达到最大时，轻绳开始有拉力， 对b有kmg=m·2l， 解得ω1=。 (2)当a所受静摩擦力为零时，对b有kmg+FT=m·2l， 对a有FT=ml， 联立可得ω2=。 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐缓慢增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。 考点二　竖直面内圆周运动的临界问题 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。 3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解题。 4.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= ①恰好过最高点，v=0，F弹=mg ②恰好无弹力，F弹=0，v= 过最高点的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 例3　(2025·江苏扬州市检测)如图所示，某同学去坐过山车，人随车在竖直平面内沿半径为R的圆轨道运动，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　) A.人经过最低点时，处于失重状态 B.人经过最高点时的速度可以小于 C.人经过最高点时，保险装置对人一定有拉力 D.人经过与圆心等高处时，座椅对人的作用力一定指向圆心 答案　B 解析　人过最低点时，具有向上(指向圆心)的加速度，故处于超重状态，A错误；当过最高点时，人只受重力作用时，此时速度为mg= 解得v=，当速度小于时，保险装置对人有拉力，B正确，C错误；人经过与圆心等高处时，座椅对人的作用力在竖直方向上的分力与重力的合力产生切向的加速度(若做匀速圆周运动，则二者平衡)，水平方向上的分力为其做圆周运动提供向心力，D错误。 例4　如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.小球通过最高点时的最小速度vmin= B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 答案　B 解析　小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN-Fmg=m，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C错误；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，小球做圆周运动所需的向心力可能由内侧壁对小球的作用力和重力的合力提供，D错误。 　分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 考点三　斜面上圆周运动的临界问题 1.特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2.方法：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 例5　(2025·江苏扬州市检测)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离r= m处有一质量m=1 kg、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为θ=37°，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)当圆盘角速度ω= rad/s时，求物体受到的向心力大小； (2)当圆盘角速度ω=2 rad/s时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 答案　(1)0.75 N　(2) 解析　(1)当角速度ω= rad/s时，由 Fn=mrω2 代入数据解得Fn=0.75 N (2)当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑，此时为μ的最小值，受力分析如图 Ff=μmgcos θ Ff-mgsin θ=mrω2 代入数据解得μ=。 课时精练 [分值：50分] 　[1~4题，每题4分] 1.(2025·江苏盐城市期中)如图所示，质量相等的两车以相同的速率转弯行驶。图甲是水平路面、图乙是倾斜路面。关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是(　　) A.两车的向心力大小相等 B.两车都受到路面的滑动摩擦力 C.两车受到路面的支持力都竖直向上 D.乙车受到路面的摩擦力可能指向弯道外侧 答案　D 解析　质量相等的两车以相同的速率转弯行驶，根据向心力表达式F=m，由于不知道两车转弯的半径关系，所以无法确定两车的向心力大小关系，故A错误；图甲中汽车受到的支持力竖直向上，图乙中汽车受到的支持力垂直倾斜路面向上，故C错误；图甲中，汽车可能受到路面指向圆心的静摩擦力提供向心力；图乙中当汽车速度为某一适当值时，重力和支持力的合力刚好提供向心力，此时路面对汽车没有摩擦力的作用；当汽车速度大于此值时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，汽车受到路面的摩擦力沿倾斜路面指向弯道内侧；当汽车速度小于此值时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，汽车受到路面的摩擦力沿倾斜路面指向弯道外侧；故B错误，D正确。 2.(2025·江苏扬州市段考)游乐园有一种游戏设施叫作“魔盘”，游戏规则是：缓慢增大水平魔盘角速度，谁最后被甩出去，谁就会赢得比赛；下列四位同学想赢得比赛，其他条件相同的情况下(　　) A.甲同学认为应该抱一重物 B.乙同学认为躺着比坐着好 C.丙同学认为靠近边缘好 D.丁同学认为靠近中心好 答案　D 解析　根据圆周运动规律可知，同学刚好不被甩出时有μmg=mω2r，解得ω=，由此可知，人不被甩出的临界角速度与转动半径和动摩擦因数有关，跟质量无关，与坐着或者躺着无关，A、B错误；根据上述分析，对于同一位学生，最大静摩擦力不变，越靠近边缘所需要的向心力就越大，当静摩擦力小于其圆周运动所需要的向心力时，学生就会被甩出去，故越靠近中心越好，C错误，D正确。 3.(2025·江苏如皋市调研)如图所示，光滑竖直平面内的圆轨道半径为R，A、B点分别为轨道的最左侧、最高点。一小球在轨道内运动且始终未离开轨道，重力加速度为g，则(　　) A.若小球运动到A点，小球在该位置所受的合力指向圆心 B.若小球运动到A点，小球在该位置的速度一定大于0 C.若小球运动到B点，小球在该位置一定受到轨道弹力 D.若小球运动到B点，小球在该位置的速度一定不小于 答案　D 解析　若小球运动到A点时速度不为0，小球在该位置受到的弹力指向圆心，但重力竖直向下，所以小球在该位置所受的合力不指向圆心，故A错误；若小球运动到A点，小球在该位置的速度刚好等于0，则小球将在下半圆轨道内来回运动，始终不会离开轨道，故B错误；若小球运动到B点，重力刚好提供向心力，则此时小球受到的弹力刚好为0，则有mg=m 可得vB= 可知小球运动到B点，小球在该位置的速度一定不小于，故C错误，D正确。 4.(来自教材改编)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'的夹角θ=60°。重力加速度大小为g。下列判断正确的是(　　) A.转台的角速度一定等于 B.物块的线速度大小可能等于 C.物块所受合力的大小一定等于mg D.陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg 答案　B 解析　小物块绕OO'轴做匀速圆周运动，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若摩擦力为0，由牛顿第二定律得mgtan 60°=mω2Rsin 60°，解得ω=，线速度大小为v=ωRsin 60°=R=，当小物块所受摩擦力不为0时，角速度不等于，小物块的线速度也不等于，A错误，B正确；当小物块所受摩擦力为0时，其所受合力的大小为mg，所受弹力大小等于2mg，当所受摩擦力不为0时不成立，C、D错误。 5.(8分)(2026·江苏南京市期中)一半径为r=0.2 m的波轮洗衣机内有一件质量为m=0.5 kg的衣服(如图乙中小物块)，衣服贴着桶壁以角速度ω=20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)(4分)衣服对桶壁的压力大小； (2)(4分)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 答案　(1)40 N　(2) 解析　(1)由题意可知，桶壁对衣服的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，可得F=mω2r=40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力大小为 F'=F=40 N。 (2)衣服竖直方向受力平衡， 由平衡条件可得Ff=mg=5 N 又Ff=μF 联立解得μ=。 6.(8分)(2026·江苏无锡市检测)如图所示，质量m=1 kg的小滑块静止在粗糙水平转盘上，一根长L=1 m的细线一端连接在滑块上，另一端连接在圆盘竖直转轴上的A点，细线刚好伸直时与竖直方向的夹角θ=37°，使转盘绕转轴在水平面内转动，并缓慢增大转速，已知滑块与转盘间的动摩擦因数μ=0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求： (1)(5分)当ω1为多少时，绳子恰好有拉力； (2)(3分)当ω2为多少时，滑块恰好与转盘脱离。 答案　(1) rad/s　(2) rad/s 解析　(1)绳子恰好有拉力时，最大静摩擦力提供向心力 μmg=mr， 由几何关系可知r=Lsin θ=0.6 m， 解得ω1= rad/s。 (2)滑块恰好脱离转盘时滑块与转盘作用力为0， 由牛顿第二定律有mgtan θ=mr， 解得ω2= rad/s。 　[7、8题，每题4分] 7.(2026·江苏南京市六校联合体调研)如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若v0≥，则小物块做平抛运动直至落地 B.若v0<，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地 C.无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等 D.无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态 答案　A 解析　在最高点，若物块只受重力，根据牛顿第二定律得mg=m，解得v=，若v0≥，则小物块只受重力，做平抛运动直至落地，故A正确；若v0<，则小物块在最高点受到向下的重力和竖直向上的支持力，小物块紧贴着圆面下滑，设支持力与竖直方向的夹角为θ，在下滑过程中，根据牛顿第二定律可得mgcos θ-FN=m，随着物块下滑，θ不断增大，cos θ不断减小，v增大，则FN减小，当FN减小到零时，物块做斜下抛运动，不会一直沿着圆面下滑，故B错误；若物块做平抛运动，落地时重力的瞬时功率为P=mgvy=mg·，若物块先沿圆面下滑，再做斜下抛运动落到地面，由于物块竖直方向平均加速度小于重力加速度，所以落地时重力的瞬时功率比物块做平抛运动的小，故C错误；无论按照什么轨迹，小物块加速度向下或者加速度有向下的分量，所以小物块始终处于失重状态，故D错误。 8.(2026·江苏南通市检测)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用水平轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA=r，RB=2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，当圆盘转速缓慢加速到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是(　　) A.绳子的张力大小为FT=3μmg B.烧断绳子，物体A、B仍将随圆盘一块转动 C.圆盘的角速度为ω= D.A所受摩擦力方向沿绳背离圆心 答案　B 解析　两物体角速度相同，由F向=mω2r，可知B做圆周运动所需向心力比A大，当圆盘转速缓慢加速到两物体刚好还未发生滑动时，B有离心运动的趋势，A有近心运动的趋势。设此时绳子的张力大小为FT，圆盘的角速度为ω，分别对A、B应用牛顿第二定律有FT-μmg=mω2r，FT+μmg=mω2·2r，联立解得FT=3μmg，ω=，故A、C正确；此时A有近心运动的趋势，所受摩擦力方向沿绳背离圆心，故D正确；A、B以角速度ω=做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为FA=mω2r=2μmg，FB=mω2·2r=4μmg，若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，故B错误。 9.(10分)(2026·江苏南通市检测)如图所示，用钉子将长为L的细绳一端固定于O点，另一端系质量为m的小球处于静止状态。现给小球一水平向右的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)(3分)求小球运动到最高点的速度大小v； (2)(7分)若在O点的正下方L处有一钉子A，求绳子碰到钉子A后，绳中拉力的最小值Fmin。 答案　(1)　(2)mg 解析　(1)小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，则在最高点(设为P点)时满足mg=m 解得v=。 (2)若在O点的正下方L处有一钉子A，绳子碰到钉子A后，假设小球继续做圆周运动到达最高点(设为Q点)，则小球从开始运动的最高点P到达最高点Q过程由机械能守恒定律 mv2+mg(2L-2×)=m 解得v1= 而要经过最高点Q的最小速度满足mg=m， 解得vmin=<v1 可知小球能经过最高点Q，即细绳在该位置拉力最小，根据Fmin+mg=m，解得Fmin=mg。 学科网（北京）股份有限公司 $