专题强化课　圆周运动的临界极值问题 专项练习 -2027届高考物理一轮专题复习（人教版）

**基本信息** 聚焦圆周运动临界极值问题，通过多情境模型建构，系统训练向心力临界条件分析与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|涵盖杆/绳/轨道/圆盘等模型，涉及无作用力、最大拉力、脱离轨道等临界条件，含多选与图像分析|以向心力公式为核心，关联牛顿运动定律、能量转化，构建“受力分析→临界条件判断→方程求解”逻辑链| |计算题|2题|结合直线运动与圆周运动综合，需分析多过程临界状态|强化运动和相互作用观念，通过实际问题（汽车弯道、圆环抛体）深化模型应用与科学论证|

专题强化练 专题强化课　圆周运动的临界极值问题 (40分钟　70分) 一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。 1.猫猫很怕水,当其身上沾到水后,会通过高速抖动的方式将水甩干,可以用这样一个模型来研究这一现象:如图所示,将猫猫的躯干视作水平轴线,半径为R的圆柱(其腿长可忽略),某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转,角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出,重力加速度为g,则角速度ω的最小值为(　　) A. B. C. D.2 2.【多选】(2025·宁夏回族自治区月考)如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力,重力加速度为g,则球A在最高点时(　　) A.球A的速度为零 B.球B的速度为2 C.水平转轴对杆的作用力大小为3mg,方向竖直向上 D.水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上 3.如图所示,一质量m=0.4 kg的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上,现在小球绕AB杆匀速转动,轻绳伸直,OC垂直于AB,此时∠ACO=53°,∠BCO=37°。已知轻绳AC长为1.0 m,足够结实,轻绳BC能承受的最大拉力为1.44 N,小球C可视为质点,g取10 m/s2,sin37°= 0.6,sin53°=0.8。那么小球做圆周运动的角速度(　　) A. rad/s≤ω≤2 rad/s B.2 rad/s≤ω≤2 rad/s C. rad/s≤ω≤2 rad/s D. rad/s≤ω≤ rad/s 4.如图,表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上,半径为R,一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动,从A点由静止沿轨道滑下,一段时间后,小球在P点脱离轨道,速度大小为v,P、O两点的连线与竖直方向的夹角为θ,小球可看作质点,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　) A.cosθ=,v= B.cosθ=,v= C.cosθ=,v= D.cosθ=,v= 5.如图(a)所示,倾斜圆盘与水平面的夹角为θ,它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动,在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系,x轴沿水平方向,y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止,其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图(b)所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为(　　) A.tanθ B.2tanθ C.tanθ D.tanθ 6.如图甲所示,倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上,细线一端与质量为m、可看成质点的小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接,传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时,细线水平,小球位于小孔O的右侧,现敲击小球,使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0,此后传感器记录细线拉力T的大小随小球走过的路程s的变化图像如图乙所示,小球到O点距离为L,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.小球通过最高点时速度为 B.小球位于初始位置时加速度的大小为4gsinθ C.小球通过最低点时速度为 D.细线拉力的最大值为6mgsinθ 7. 【多选】(2026·忻州模拟)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止。若ω'>ω,则与以ω匀速转动时相比,以ω'匀速转动时(　　) A.小球的高度一定降低 B.弹簧弹力的大小一定不变 C.小球对杆压力的大小一定变大 D.小球所受合外力的大小一定变大 8.【多选】(2026·西安模拟)如图甲所示,小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上,a的质量为3m,b的质量为m。它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为Ra=r,Rb=2r,a、b与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动,木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度,在角速度ω增大到一定值的过程中,a、b与圆盘保持相对静止,所受摩擦力大小与ω2满足如图乙所示关系,图中2f2=3f1。下列判断正确的是(　　) A.图线(1)对应物体a B.ω3=ω2 C.ω2=ω1 D.ω=ω3时绳上张力大小为6f1 二、计算题:本题共2小题,共22分。 9.(10分)水平公路上有一段水平圆弧弯道BC。一辆汽车在直道公路上以v0=72 km/h的速率行驶,接近圆弧弯道时以a1=4 m/s2的加速度刹车。然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入直道后以a2=2 m/s2的加速度恢复到原速率继续行驶。已知弯道半径为R=28 m,弯道圆弧长度为s=56 m,橡胶轮胎与路面的动摩擦因数为μ=0.7,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,求: (1)汽车开始刹车时到弯道的距离x。(5分) (2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间t。(5分) 10.(12分)小球甲、乙(均视为质点)套在圆环上,现让圆环绕竖直直径MN做角速度为ω的匀速圆周运动,两小球相对圆环静止。小球甲处在A点,OA与竖直方向的夹角为60°,小球甲与圆环间的摩擦力刚好为0;小球乙处在B点,OB为水平半径,且圆环对小球乙的静摩擦力达到最大值,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将小球丙从圆环的最高点M以大小v0=的初速度水平向右抛出,小球丙落到与圆心O等高处的C点,重力加速度大小为g,求: (1)小球甲、乙的向心加速度大小之比;(4分) (2)圆环的半径以及O、C两点间的距离;(4分) (3)小球乙与圆环间的动摩擦因数。(4分) - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化练 专题强化课　圆周运动的临界极值问题 (40分钟　70分) 一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。 1.猫猫很怕水,当其身上沾到水后,会通过高速抖动的方式将水甩干,可以用这样一个模型来研究这一现象:如图所示,将猫猫的躯干视作水平轴线,半径为R的圆柱(其腿长可忽略),某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转,角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出,重力加速度为g,则角速度ω的最小值为(　　) A. B. C. D.2 【解析】选A。对猫猫正上方头顶的水滴,根据重力提供向心力得mg=mω2R,解得ω=,故选A。 2.【多选】(2025·宁夏回族自治区月考)如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力,重力加速度为g,则球A在最高点时(　　) A.球A的速度为零 B.球B的速度为2 C.水平转轴对杆的作用力大小为3mg,方向竖直向上 D.水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上 【解析】选B、D。由题可知,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力,此时球A的重力提供圆周运动的向心力,则有mg=m,解得vA=,故A错误;球B与球A的角速度相等,根据v=ωr 可知,角速度一定时,线速度与圆周半径成正比,因此 vB=2vA=2,故B正确;对球B受力分析,根据牛顿第二定律可得F-2mg=2m,解得F=6mg,方向竖直向上,以水平转轴为研究对象则有F'=F=6mg,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可知,水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上,故C错误,D正确。 3.如图所示,一质量m=0.4 kg的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上,现在小球绕AB杆匀速转动,轻绳伸直,OC垂直于AB,此时∠ACO=53°,∠BCO=37°。已知轻绳AC长为1.0 m,足够结实,轻绳BC能承受的最大拉力为1.44 N,小球C可视为质点,g取10 m/s2,sin37°= 0.6,sin53°=0.8。那么小球做圆周运动的角速度(　　) A. rad/s≤ω≤2 rad/s B.2 rad/s≤ω≤2 rad/s C. rad/s≤ω≤2 rad/s D. rad/s≤ω≤ rad/s 【解析】选A。当轻绳AC和BC的拉力达到最大时,小球C的角速度最大,在竖直方向,有FACsin53°-FBCsin37°-mg=0,在水平方向,有FACcos53°+FBCcos37°=mLACcos53° 解得ω1=2 rad/s,当轻绳BC的拉力为零时,小球C的角速度最小,在竖直方向,有F'ACsin53°-mg=0 在水平方向,有F'ACcos53°=mLACcos53°,解得ω2= rad/s,所以小球做圆周运动的角速度满足 rad/s≤ω≤2 rad/s,故选A。 4.如图,表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上,半径为R,一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动,从A点由静止沿轨道滑下,一段时间后,小球在P点脱离轨道,速度大小为v,P、O两点的连线与竖直方向的夹角为θ,小球可看作质点,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　) A.cosθ=,v= B.cosθ=,v= C.cosθ=,v= D.cosθ=,v= 【解析】选A。小球在P点脱离轨道时,重力沿半径方向的分力提供向心力,则有mgcosθ=m,小球从A点运动到P点,根据机械能守恒定律有mgR(1-cosθ)=mv2,解得cosθ=,v=,故选A。 5.如图(a)所示,倾斜圆盘与水平面的夹角为θ,它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动,在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系,x轴沿水平方向,y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止,其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图(b)所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为(　　) A.tanθ B.2tanθ C.tanθ D.tanθ 【解析】选A。设图(b)中圆与y轴正方向的交点的纵坐标为f1,则()2=(4 N)2+(2 N)2,解得f1=8 N,结合图(b)知,滑块运动至最高点时,所受的静摩擦力最小,方向指向圆心,大小为f2=2 N。由合力提供向心力得f2+mgsinθ=mω2r,滑块运动至最低点时,所受的静摩擦力最大,方向指向圆心,大小为f1=8 N,由合力提供向心力得f1-mgsinθ=mω2r,且满足f1≤μmgcosθ,联立知,滑块与圆盘之间的动摩擦因数μ≥tanθ,故选A。 6.如图甲所示,倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上,细线一端与质量为m、可看成质点的小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接,传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时,细线水平,小球位于小孔O的右侧,现敲击小球,使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0,此后传感器记录细线拉力T的大小随小球走过的路程s的变化图像如图乙所示,小球到O点距离为L,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.小球通过最高点时速度为 B.小球位于初始位置时加速度的大小为4gsinθ C.小球通过最低点时速度为 D.细线拉力的最大值为6mgsinθ 【解析】选C。 由题图乙可知,小球通过最高点时,细线拉力大小为T1=mgsinθ,对小球受力分析,由合力提供向心力可得T1+mgsinθ=m,解得小球通过最高点时速度为v1=,故A错误;小球从释放到最高点过程,只有重力做功机械能守恒,可得-mgLsinθ=mm,联立解得v0=2,小球位于初位置时的向心加速度大小为a1==4gsinθ,沿斜面向下的加速度大小为a2=gsinθ,则实际加速度大小为a==gsinθ,故B错误;小球从最高点到最低点过程,由机械能守恒可得mm=2mgLsinθ,解得通过最低点时速度为v2=,故C正确;小球在最低点时,细线拉力具有最大值,对其受力分析,由合力提供向心力可得Tmax-mgsinθ=m,解得Tmax=7mgsinθ,故D错误。 7. 【多选】(2026·忻州模拟)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止。若ω'>ω,则与以ω匀速转动时相比,以ω'匀速转动时(　　) A.小球的高度一定降低 B.弹簧弹力的大小一定不变 C.小球对杆压力的大小一定变大 D.小球所受合外力的大小一定变大 【解析】选B、D。小球在水平面内做匀速圆周运动,由合外力提供向心力,如图所示, 设MP长度为r,轻弹簧弹力为F,与竖直方向夹角为α,轻弹簧原长为l0,劲度系数为k,小球在竖直方向受力平衡,则:Fcosα=mg,即k(l0)cosα=mg,由于k、r、l0、mg都为定值,且等式左边随α增大而减小(0<α<),所以,满足条件的α仅可能有一个值,即分别以角速度ω和ω'匀速转动,最终相对杆静止时,α相同,小球高度相同,弹簧弹力相同,故A错误,B正确;当小球相对杆静止后仅受到弹簧弹力和重力时,则有:Fsinα=mlsinα,解得:ω0=,当ω≥ω0时,FN向左,有Fsinα+FN=mω2lsinα,故ω'>ω时FN变大;当ω<ω0时,此时FN向右,有Fsinα-FN=mω2lsinα,故ω<ω'<ω0时,FN可能变小,故C错误;设小球做圆周运动所需向心力的大小为Fn,则小球所受合外力的大小F合=Fn=mω2r,ω变大,其他量不变,则F合一定变大,故D正确。 8.【多选】(2026·西安模拟)如图甲所示,小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上,a的质量为3m,b的质量为m。它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为Ra=r,Rb=2r,a、b与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动,木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度,在角速度ω增大到一定值的过程中,a、b与圆盘保持相对静止,所受摩擦力大小与ω2满足如图乙所示关系,图中2f2=3f1。下列判断正确的是(　　) A.图线(1)对应物体a B.ω3=ω2 C.ω2=ω1 D.ω=ω3时绳上张力大小为6f1 【解析】选B、D。角速度较小时,两物体受静摩擦力提供向心力,对a有fa=3mω2r,对b有fb=2mω2r,则角速度较小时,b的静摩擦力较小,则图线(1)对应物体b,故A错误;当角速度达到 ω2 时,设绳子拉力为 T,对a、b有T+3μmg=3mr,T+μmg=2mr,当角速度达到 ω3 时,设绳子拉力为 T',对a、b有T'+3μmg=3mr,T'=2mr,解得ω3=ω2,故B正确;当角速度达到 ω1 时,b受最大静摩擦力提供向心力,有f1=μmg=2mr,当角速度达到 ω2 时,设绳子拉力为 T,对a、b有T+3μmg=3mr,T+μmg=2mr,解得ω2=2ω1,故C错误;由上述分析可知ω3=ω2,ω2=2ω1,f1=μmg=2mr,T'=2mr,联立解得T'=6f1,故D正确。 二、计算题:本题共2小题,共22分。 9.(10分)水平公路上有一段水平圆弧弯道BC。一辆汽车在直道公路上以v0=72 km/h的速率行驶,接近圆弧弯道时以a1=4 m/s2的加速度刹车。然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入直道后以a2=2 m/s2的加速度恢复到原速率继续行驶。已知弯道半径为R=28 m,弯道圆弧长度为s=56 m,橡胶轮胎与路面的动摩擦因数为μ=0.7,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,求: (1)汽车开始刹车时到弯道的距离x。(5分) 答案:(1)25.5 m　 【解析】(1)由匀速圆周运动可知μmg=m 由速度位移公式有v2=2a1x, 解得v=14 m/s,x=25.5 m (2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间t。(5分) 答案: (2)8.5 s 【解析】(2)刹车时间t1=, 弯道行驶有s=vt2 加速时间t3=, 所用时间t=t1+t2+t3, 解得t=8.5 s 10.(12分)小球甲、乙(均视为质点)套在圆环上,现让圆环绕竖直直径MN做角速度为ω的匀速圆周运动,两小球相对圆环静止。小球甲处在A点,OA与竖直方向的夹角为60°,小球甲与圆环间的摩擦力刚好为0;小球乙处在B点,OB为水平半径,且圆环对小球乙的静摩擦力达到最大值,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将小球丙从圆环的最高点M以大小v0=的初速度水平向右抛出,小球丙落到与圆心O等高处的C点,重力加速度大小为g,求: (1)小球甲、乙的向心加速度大小之比;(4分) 答案:(1)∶2　 【解析】(1)设圆环的半径为R,则小球甲、乙做圆周运动的轨道的半径分别为r甲=Rsin60°、r乙=R 小球甲、乙的向心加速度分别为 a甲=ω2r甲,a乙=ω2r乙 解得a甲∶a乙=∶2 (2)圆环的半径以及O、C两点间的距离;(4分) 答案: (2)　　 【解析】(2)对小球甲受力分析,合力沿水平方向, 有Fn=mgtan60° 由向心力公式有 Fn=mω2Rsin60°, 解得R= 对小球丙,由平抛运动的规律有 R=gt2,x=v0t 解得x= (3)小球乙与圆环间的动摩擦因数。(4分) 答案: (3)0.5 【解析】(3)对小球乙受力分析,竖直方向由二力平衡有 fm=mg, 水平方向由弹力充当向心力有FN=mω2R 最大静摩擦力等于滑动摩擦力有fm=μFN 解得μ=0.5 - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $