2025-2026学年广东省实验中学八年级下学期数学期末模拟卷

**基本信息** 2025-2026学年广东省实验中学八年级下数学期末模拟卷，以浮箭漏实验、《周髀算经》勾股定理、引体向上分组等真实情境为载体，覆盖二次根式、一次函数、平行四边形等核心知识，注重基础与创新应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、一次函数、正多边形|第7题浮力实验函数图象，体现用数学眼光观察现实世界| |填空题|6/24|平行四边形性质、统计估计|第15题勾股定理历史情境，融合文化传承与几何直观| |解答题|8/80|几何证明、统计分析、新定义|23题垂美四边形性质探究，考查推理能力与创新意识，契合中考新定义题型趋势|

2025-2026学年广东省实验中学八年级下数学期末模拟卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 2.将直线向上平移个单位长度后所得的直线的解析式为(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.某舞台造型可以看作一个正多边形，若它的一个外角为，则它是． A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十一边形 D. 正十二边形 5.在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和结果保留小数点后一位． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6.如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集是(    )  A. B. C. D. 7.小林同学在学习了浮力的知识后，某天进行了如下实验探究：如图将挂在弹簧测力计下端的铁块缓缓浸入水中下面能反映弹簧测力计的读数单位：与铁块物体浸入水中的深度单位：之间的函数关系的大致图象是(    ) A. B. C. D. 8.下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是     ． A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.在▱中，若，的周长为，则定义为这个平行四边形的坐标如图所示，直线：，：，：将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域现有如下四个结论： 对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； 对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； 对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； 对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 12.如图，在▱中，对角线、相交于，，，则的周长为          ． 13.已知点，在直线上，且直线经过第一、三，四象限，则______用“”，”或“”连接 14.某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调查了名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示 时间小时 人数 则可以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是________小时．同一组中的数据用这组数据的组中值作代表． 15.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为______． 16.如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.计算：； ； 四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 如图，在四边形中，，，平分求证：四边形是菱形． 19.本小题分 如图，在四边形中，，，，，；求： 的长度； 四边形的面积． 20.本小题分 某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩百分制如下． 甲组，，，，，，，，，； 乙组，，，，，，，，，，且，为正整数 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 根据甲组数据，求，，． 在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 21.本小题分 九章算术中记载，浮箭漏如图出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究． 项目课题 从函数角度探究浮箭漏 项目研究过程 方案及图示 相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． 研究任务 在上述平面直角坐标系中，画出的函数图象． 求读数与供水时间之间的函数关系式． 如果本次实验记录的开始时间是上午：，那么到下午：时，箭尺读数增加了______． 22.本小题分 如图，在▱中，于点请用尺规作图法在上求作一点，连接，，，使得四边形是平行四边形． 某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明理由 作法一 作法二 作图步骤 在上作点即为所求． 过点作于点点即为所求． 作图痕迹 请你用不同于中的尺规作图方法求作点保留作图痕迹，不写作法，并说明理由． 23.本小题分 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如：在如图中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． 性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图，，与，是垂美四边形的两组对边求证：； 解决问题：如图，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，，，连接，，若，，则的值为______． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，与直线：交于点其中，点的横坐标为． 求直线的解析式； 如图，是线段上的一动点不与端点重合，过点作轴交于点，过点向轴作垂线，垂足为，连接若四边形的面积为，求此时点的坐标； 为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25.本小题分 如图，中，，为边上一点，过作于，以，为邻边作平行四边形，连接交于，过作交的延长线于，连接． 如图，若是线段的中点，，，，求线段的长度； 如图，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 2025-2026学年广东省实验中学八年级下数学期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是化简得到结果，即可作出判断． 此题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2.将直线向上平移个单位长度后所得的直线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据一次函数平移规则“上加下减”可知： 将直线向上平移个单位长度后所得的直线的解析式为： ． 故选：． 根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数． 本题考查一次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则． 根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断． 【解答】 解：、原式，所以选项的计算错误； B、原式，所以选项的计算错误； C、原式，所以选项的计算错误； D、原式，所以选项的计算正确． 故选D． 4.某舞台造型可以看作一个正多边形，若它的一个外角为，则它是． A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十一边形 D. 正十二边形 【答案】B  【解析】略 5.在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和结果保留小数点后一位． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B  【解析】解：， 根据题意，选项B符合题意． 故选：． 根据组方差随内离差平方和的增大而增大，方差越小越整齐可得答案． 本题考查方差与组内离差平方和，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，掌握组内离差平方和的定义与方差的关系是解答本题的关键． 6.如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集是(    )  A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 根据点在直线上，求出的值，的解就是当取同一个值时位于下方所对应的自变量的取值范围，根据图象即可得出结论． 【解析】 解：经过点， ， 解得：， ， 关于的不等式的解集是， 故选C． 7.小林同学在学习了浮力的知识后，某天进行了如下实验探究：如图将挂在弹簧测力计下端的铁块缓缓浸入水中下面能反映弹簧测力计的读数单位：与铁块物体浸入水中的深度单位：之间的函数关系的大致图象是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：分三个阶段分析如下： 接触水面前，，此过程中弹簧测力计的读数不变，慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小，完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， 符合题意是选项， 故选：． 根据题意，分三个阶段分析即可得出答案． 本题考查了函数图象．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8.下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是     ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐项判断能否得到直角三角形即可． 【详解】解：选项： 设，， ，， ，是直角三角形，故选项不符合题意； 选项：， 设，，，由三角形内角和得解得， ， 不是直角三角形，故选项符合题意； 选项：， ， 又， ，得， 是直角三角形，故选项不符合题意； 选项：， 设，则， ，， ，是直角三角形，故选项不符合题意． 9.如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的面积，矩形的性质，折叠的性质有关知识，连接交于点，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案． 【解答】 解：连接交于点， 将沿直线翻折，点落在点处， 点、关于对称， ，， ，点为的中点， ， 又， ， ， 则， ， ， ． 10.在▱中，若，的周长为，则定义为这个平行四边形的坐标如图所示，直线：，：，：将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域现有如下四个结论： 对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； 对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； 对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； 对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，▱中，， 设，，则，，，， ， ， 对于任意平行四边形，坐标位于直线的上方，不可能位于区域中，故结论正确，符合题意； 如图，矩形中，， 设，，则，，，， 当时， ， ， ， ， 对于任意矩形，坐标位于直线的上方，可能位于区域中，故结论正确，符合题意； 如图，菱形中，， 则， 设，则，，， ， ， ， 对于任意菱形，坐标位于直线的下方，不可能位于区域中，故结论错误，不符合题意； 如图，正方形中，， 则，， ， ， ， 对于任意正方形，坐标位于直线的下方，直线的上方，一定位于区域Ⅲ中，故结论正确，符合题意； 故选：． 根据利用不等式的性质得出，即可判断； 根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，利用三角形任意两边之和大于第三边，勾股定理得到的取值范围，即可判断． 本题主要考查了一次函数的图象与性质，不等式的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，难度适中．理解坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】 解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为． 12.如图，在▱中，对角线、相交于，，，则的周长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，由已知条件得出，即可求出的周长． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 的周长， 故答案为：． 13.已知点，在直线上，且直线经过第一、三，四象限，则______用“”，”或“”连接 【答案】  【解析】【分析】 本题考查一次函数上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的图象及其性质是解题的关键．由直线经过第一、三，四象限，可得，则随着的增大而增大，即可得到答案． 【解答】 解：直线经过第一、三、四象限， ， 随着的增大而增大， ， ， 故答案为． 14.某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调查了名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示 时间小时 人数 则可以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是________小时．同一组中的数据用这组数据的组中值作代表． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查加权平均数，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是学会利用组中值求平均数，属于中考常考题型． 利用组中值求平均数，再利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【解答】 解：名学生平均每人在一周内做家务所用时间 小时， 所以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是小时． 故答案为． 15.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为______． 【答案】  【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点， 所以，四边形是正方形， ，，， ， ，， 因此，矩形的面积为， 空白部分的面积为， 故答案为：． 延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 16.如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，垂线段最短，关键是根据全等三角形的性质得到． 取的中点，过点作于点，则线段就是的最小值，求出即可． 【解答】 解：取的中点，过点作于点， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， 是的中点，是的中点，， ， ≌， ， 所以的最小值就是的最小值， 根据垂线段最短可知当与重合时，最小， 即的长是的最小值． ，是的中点， ， 由正方形可知，是等腰直角三角形， 所以， 所以的最小值是． 故答案为． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.计算：； ； 【答案】解：原式， ； 原式， ， ； 【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的运算一般要先化简二次根式，将二次根式化为最简二次根式，然后再乘除，最后加减，二次根式的运算也可以用完全平方公式和平方差公式简化运算． 先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； 先化简二次根式，然后做括号内的减法即合并同类二次根式，最后做除法即可； 四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 如图，在四边形中，，，平分求证：四边形是菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 四边形是菱形．   【解析】见答案 19.本小题分 如图，在四边形中，，，，，；求： 的长度； 四边形的面积． 【答案】(1)解：∵，，， ∴；   (2)解：∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴=．   【解析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理求解是本题的突破点，也是难点．同时勾股定理逆定理也是本题的考查点之一． 利用含度角的直角三角形的性质可得答案；  利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形．根据进行计算即可． 20.本小题分 某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩百分制如下． 甲组，，，，，，，，，； 乙组，，，，，，，，，，且，为正整数 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 根据甲组数据，求，，． 在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则；   (2)解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、；   (3)解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组．  【解析】 利用四分位数的定义进行求解即可；  先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为确定和的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出和的值；  从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 21.本小题分 九章算术中记载，浮箭漏如图出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究． 项目课题 从函数角度探究浮箭漏 项目研究过程 方案及图示 相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． 研究任务 在上述平面直角坐标系中，画出的函数图象． 求读数与供水时间之间的函数关系式． 如果本次实验记录的开始时间是上午：，那么到下午：时，箭尺读数增加了______． 【答案】如图，描点，，画线段如下： 设函数为， ， 解得：， 函数为：； ．  【解析】解：如图，描点，，画线段如下： 设函数为， ， 解得：， 函数为：； 上午：，到下午：时，此时， 当时，； ； 箭尺读数增加了； 先描点，再根据一次函数的图象是直线画图即可； 设函数为，再利用待定系数法求解函数解析式即可； 先分析得到，再计算函数值，从而可得答案； 本题考查了一次函数的应用，画一次函数的图象是关键． 22.本小题分 如图，在▱中，于点请用尺规作图法在上求作一点，连接，，，使得四边形是平行四边形． 某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明理由 作法一 作法二 作图步骤 在上作点即为所求． 过点作于点点即为所求． 作图痕迹 请你用不同于中的尺规作图方法求作点保留作图痕迹，不写作法，并说明理由． 【答案】(1)(答案不唯一)选择作法一.理由如下:如图,连接AC交BD于点O. 四边形 ABCD是平行四边形,AO=CO,BO=DO. BP=DQ,BO-BP=DO-DQ,即PO=QO.AO=CO,PO=QO, 四边形 APCQ为平行四边形.   (2)如图,点Q即为所求. 理由如下:由作图痕迹可知BAP=DCQ.四边形ABCD为平行四边形, AB//CD,AB=CD,ABP=CDQ. 在ABP和CDQ中,ABP=CDQ,AB=CD,BAP=DCQ, ABPCDQ(ASA),AP=CQ,APB=CQD, APQ=CQP,AP//CQ,四边形APCQ是平行四边形.   【解析】 略  略 23.本小题分 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如：在如图中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． 性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图，，与，是垂美四边形的两组对边求证：； 解决问题：如图，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，，，连接，，若，，则的值为______． 【答案】四边形是垂美四边形，理由见解析；   见解析；  ．  【解析】解：四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接、，相交于点， ， 点，点均在线段的垂直平分线上， 垂直平分线， ， 四边形是垂美四边形； 证明：如图，， ， 由勾股定理得：， ， ； 解：如图，设与交于点，与交于点， ， ，即， 在和， ， ≌， ， ， ， ， ，即， 四边形为垂美四边形， ，，， ， 和均为等腰直角三角形， ，， 由可得，， ． ， 故答案为：． 根据垂直平分线的判定即可解决问题； 根据垂直的定义和勾股定理即可求解； 设与交于点，与交于点，由等角加同角相等可得，则可通过证明≌，得到，由等角加等角相等可得，，于是可得，则四边形为垂美四边形，利用勾股定理和等腰三角形的性质求得，，，利用中的结论可得，代入计算即可求解． 本题是四边形是综合题，主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确垂美四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题关键． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，与直线：交于点其中，点的横坐标为． 求直线的解析式； 如图，是线段上的一动点不与端点重合，过点作轴交于点，过点向轴作垂线，垂足为，连接若四边形的面积为，求此时点的坐标； 为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)解：∵点C的横坐标为6，∴C(6，2)，∵B(0，8)，∴设直线l1的解析式为y＝kx+8，∴2＝6k+8，解得k＝-1，∴直线l1的解析式为y＝-x+8．  (2)设，则Q(m，-m+8)，∴，∴，解得，∴．  (3)如图，过点C作CN⊥x轴交于点N，则CN＝2．作∠OBF＝∠AOC，交x轴于点F，则∠EBC+∠AOC＝∠EBC+∠OBF＝∠OBA＝45°．在y轴上取G，使OG＝2，作GH// x轴交B于点H．∵OB＝8，∴BG＝ON＝6．又∵∠CON＝∠GBH，∠BGH＝∠CNO，∴，∴GH＝CN＝2，∴H(2，2)．易得直线BF的解析式为y＝-3x+8．当时，解得，；当y＝0时，，∴．作点F关于直线AB的对称点F′，则∠FBC＝∠ABF′．∵∠OAB＝45°，∴∠BAF′＝45°，∴AF′⊥OA，∴，∴直线BF′的解析式为，直线BF′与直线OC的交点为E′，当时，解得x＝12，∴E′(12，4)．综上所述，点E的坐标为或(12，4)．   【解析】 略  略  略 25.本小题分 如图，中，，为边上一点，过作于，以，为邻边作平行四边形，连接交于，过作交的延长线于，连接． 如图，若是线段的中点，，，，求线段的长度； 如图，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】线段的长度为；   ，证明见解答．  【解析】四边形是平行四边形，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是线段的中点， ； ，证明如下： 如图，在上取点，使，连接，四边形是平行四边形， ，，， ， ，，，，即， 在和中， ，≌， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ，四边形是平行四边形， ，在和中， ， ≌， ， ， ． 根据勾股定理可得的长，再证明四边形是平行四边形，可得，从而得到，根据勾股定理可得，然后根据直角三角形的性质解答，即可求解；在上取点，使，连接，先证明≌，可得，，再由是等腰直角三角形，可得，可证明≌，从而得到，即可证得结论． 本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 第34页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $