精品解析：贵州遵义市汇川区周林高级中学2025-2026学年第二学期6月月考高二数学试题

遵义周林高中2025-2026学年度第二学期0605月考 高二数学试题 （出卷人：汪涛 审卷人：曾广恒 试题满分：150分 作答时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，如需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某家具厂的原材料费支出与销售量 （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 与的线性回归方程为，则为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A. 5 B. 10 C. 12 D. 20 4. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5. 已知平面向量，，，若，，则为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 6. 在中，角、、 的对边分别为、、，的面积记为 ，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 7. 已知直线：与圆 ：相交于，两点，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. -1 8. 已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌．为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：分），得到如下的频率分布直方图，则（ ） A. 图中 的值为 B. 估计样本中竞赛成绩的众数为 C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过 分 D. 估计样本中竞赛成绩的第 百分位数为 10. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 11. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为720，则__________． 13. 已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______. 14. 数列满足，，其前 项积为，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的导数； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 17. 如题图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形．为 上一点，. （1）求证：平面； （2）若，圆锥的侧面积为．求三棱锥的体积． 18. 已知数列的前n项和是，满足．[ （1）求数列的通项； （2）设，求的前n项和． 19. 已知椭圆 ：的离心率为，一个焦点为． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线交椭圆 于 两点，若点 都在以点为圆心的圆上，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义周林高中2025-2026学年度第二学期0605月考 高二数学试题 （出卷人：汪涛 审卷人：曾广恒 试题满分：150分 作答时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，如需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的乘法法则求导判断． 【详解】；；；， 只有C正确． 故选：C． 2. 在等差数列中， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 3. 某家具厂的原材料费支出与销售量 （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 与的线性回归方程为，则为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A. 5 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先求样本中心，代入方程求解即可． 详解：，，代入方程，解得，故选B 点睛：回归直线方程必过样本中心． 4. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】随机变量，由，得，解得， ，则当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：C 5. 已知平面向量，，，若，，则为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直求得，进而求得. 【详解】由于，， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：A 6. 在中，角、、 的对边分别为、、，的面积记为 ，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 7. 已知直线：与圆 ：相交于，两点，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a． 【详解】由题意，圆心，半径， 由几何知识可得，圆心C到直线l的距离， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题． 8. 已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】应用已知条件建立空间直角坐标系，设点再根据得，再化简求解. 【详解】如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作交于点 ，连接 ， 由题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ， 设点，则 由得， 化简得， 即点的轨迹是双曲线． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌．为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：分），得到如下的频率分布直方图，则（ ） A. 图中 的值为 B. 估计样本中竞赛成绩的众数为 C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过 分 D. 估计样本中竞赛成绩的第 百分位数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用频率分布直方图总面积为 求出 判断A；取最高矩形中点得众数判断B；用每组中点乘对应频率求和算出平均分判断C；逐级累加频率定位 百分位数所在区间，列方程求解数值判断D． 【详解】A， ，解得 ，A正确； B，众数是最高矩形的中点，最高矩形是 ，不是，B错误； C，计算平均成绩（每组中点×组频率求和）： ，C正确； D，先算累计频率， 的频率： ； 的频率： ； 的频率： ， 第 百分位数落在累计 所在的 组内，设为， ， ，解得 ，D正确． 10. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可. 【详解】根据，可得； 又，可得， 则事件与事件B相互独立，，故AB正确，D错误； 由，则，故C正确. 故选：ABC. 11. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别分析椭圆与双曲线的性质，可判断ABC的真假；联立方程组，解方程组可得椭圆与双曲线公共点的个数，判断D的真假. 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在 轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为720，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由二项式定理展开式的通项公式可得，令，故由题设，即，应填答案． 13. 已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得平面，故截面与平面平行或在平面内，然后分类讨论，作出截面计算周长即得. 【详解】由正方体的性质可得，AC⊥BD，AC⊥，， ∴AC⊥平面，平面， ∴AC⊥，同理，又， ∴平面，故截面与平面平行或在平面内， 当点E与或重合时，截面为正或正，周长为； 一般地，设，则， ∴，， ∴， 同理可得：，， 故截面图形的周长为定值. 故答案为：. 14. 数列满足，，其前 项积为，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由可得，因为，所以， ， 所以数列是周期为的周期数列，且，又因为，所以 ． 考点：数列的递推公式，周期数列． 【方法点睛】该题考查的是有关数列的递推公式的问题，属于中等题目，在解题的过程中，将转化为，结合题中所给的首项，根据式子，写出数列的前几项，在写的过程中，可以发现规律，数列为周期数列，最后将转化为，很简单就能求得结果，再者需要注意数列的周期性的推导过程． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的导数； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答. (2)求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 【小问1详解】 函数定义域为， 所以函数. 【小问2详解】 由(1)知，，而，于是得，即， 所以函数的图象在点处的切线方程是. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求出A角正弦值，最后根据A为钝角确定角A大小； （2）先用余弦定理求出a与b的关系，再结合周长条件解出b，最后代入面积公式得到结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为的面积为，所以， 即，所以， 因为为钝角，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，所以， 又， 所以，故. 17. 如题图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形．为 上一点，. （1）求证：平面； （2）若，圆锥的侧面积为．求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明平面 ，进而可得，再结合，即可证明平面； （2）根据题意，结合勾股定理与侧面积公式，即可求出圆锥底面半径为 和母线长为，再根据棱锥的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接OC，因为，所以， 因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心， 所以平面，平面， 所以， ，即 因为是底面的内接正三角形，O是圆锥底面的圆心， 所以 ， 因为平面， 所以平面POC， 因为平面POC， 所以， 因为，平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：设圆锥的母线为，底面半径为 ，则圆锥的侧面积为，即， 因为，，解得，， 所以，， 所以，在等腰直角三角形中，， 在 中，， 所以，三棱锥的体积． 18. 已知数列的前n项和是，满足．[ （1）求数列的通项； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）当n=1时，代入可得，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得； （2）由（1）可得Sn=2n-1，代入整理得，求和时采用错位相减法 试题解析：（1）当时，, 当时，,, 数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以 （2）因为， 所以，所以 ， 所以 ① ② ①- ②得 所以 考点：1．数列的求和；2．等比关系的确定 19. 已知椭圆 ：的离心率为，一个焦点为． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线交椭圆 于 两点，若点 都在以点为圆心的圆上，求 的值． 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】分析：（I）利用离心率为，一个焦点为可求， 的值，从而可求椭圆 的方程；（II）设将直线的方程代入椭圆 的方程，确定线段的中点为，利用点 都在以点为圆心上，得，由此可求 的值. 详解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则． 由， 得， 从而， 所以，椭圆的方程为． （Ⅱ）解：设． 将直线的方程代入椭圆的方程， 消去得． 由，得，且． 设线段的中点为，则，． 由点，都在以点为圆心的圆上，得， 即，解得，符合题意． 所以． 点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $