贵州省部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题

**基本信息** 本卷聚焦函数、几何等核心知识，通过生活与科技情境设计，分层考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6题82分|函数单调性、立体几何体积、概率计算|以购物优惠为情境考查函数建模（数学语言），以卫星轨道为背景考查几何直观（数学眼光）|

高二数学学科素养训练参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D B C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 0.2 14；-394 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为，由正弦定理，得， 2分 而，即，则，即． 4分 又，所以． 6分 （2）由（1）知，所以． 7分 把，代入余弦定理，得， 9分 解得，， 11分 所以的面积． 13分 16．解：（1）由题意得，， 2分 ，故切点坐标为， 3分 则切线方程为，整理得． 5分 （2）函数， 所以． 7分 由题意得即在上恒成立， 则在上恒成立，即． 9分 令，则． 10分 因为，所以且，则， 12分 在上单调递增，所以． 14分 经验证时满足题意，则实数的取值范围为． 15分 17．解：（1）记事件为小明获得“数学达人”勋章，则． 5分 （2）由题意，的所有可能取值为2，3，4． 6分 ，， ， 12分 所以的分布列为 2 3 4 13分 ． 15分 18．（1）证明：因为是圆的直径，所以． 1分 在圆柱中，平面，平面，所以． 3分 又，，平面，所以平面． 4分 （2）解：由平面，平面，得，， 5分 所以，，所以． 7分 设，，则， 所以， 9分 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2． 10分 （3）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，．……11分 设平面的法向量为，则 令，则． 13分 因为，，，所以平面， 所以为平面的一个法向量． 14分 设平面与平面所成的二面角为， 则， 16分 所以， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 17分 19．（1）解：由题设中的变换方法得 1分 解得故的坐标为． 3分 （2）（ⅰ）解：设上一点为，旋转后对应的点为， 则即 4分 所以 5分 因为②， 6分 由①②整理得，所以的方程为． 8分 （ⅱ）证明：设，，由，得其导函数，所以，，所以直线：，直线：，令，可得，． 9分 由得即． 10分 因为点，，三点共线，所以， 11分 ，得，整理得． 12分 设的外接圆方程为， 则 解得，，， 13分 所以外接圆方程为． 将的坐标代入该圆方程，整理得． 又，所以，， 14分 所以，， 15分 所以，令，化简得． 16分 令，易知在上单调递增， 所以，即，得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学学科素养训练 答题卡 姓 名 班级： 考场号： 座位号： 贴条形码区 考生号： 生 号 1.答题前，考生须认真核对条形码上的个人信息，然 后将本人姓名、班级、考场号、座位号和考生号填写 0000000000 在相应位置。填写样例：①2☒④⑤6☑⑧回 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将对应题目的答案 ■ 卫 0 co D 注 标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案 2 2 2习 意3.答非选择题时，必须使用05毫米的黑色字迹签字 ■ 笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫 事 米的黑色字迹签字笔描清楚，选做题必须用2B铅笔 项 将所选题号涂黑。要求字体工整，笔迹清晰。严格按 51 5 1 题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的 ■ 6 6) 6 6 6 答案无效：在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整。严禁折叠，严禁在答题卡上 ■ I 做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带」 9999 9 9 9 9 考生 缺考考生由监考员贴条形 缺考标记 正确填涂 ■ 错误填涂 ☑ 禁填 码，并用2B铅笔填涂右面 0 的缺考标记。 ▣ 单项选择题（须用2B铅笔填涂） 1ABCD 4ABCD 7 ABCD 2ABCD 5ABCD 8 ABCD 3ABCD 6 ABCD 多项选择题（须用2B铅笔填涂） 9 ABCD 10ABCD 11ABCD 非选择题（须用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12 (5分) 13. (5分) 14 (2分) (3分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 15.(13分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 【高二数学答题卡第1页（共2页）】 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 【高二数学答题卡第2页（共2页）】 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 高二数学学科素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数,，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若集合，，则 A． B． C． D． 3．已知a，b，，若-2，a，b，c，-8成等比数列，则 A．32 B． C．-64 D．64 4．已知向量，，若，则 A．3 B． C． D． 5．已知为钝角，且，则 A． B． C． D． 6．工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为 A． B． C． D． 7．在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为 A． B． C． D． 8．如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次沿数轴随机向左或向右移动一个单位长度．记（）为该质点第次移动后所对应的数轴上的数，则满足的移动方法有 A．3360种 B．4480种 C．3150种 D．4200种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作右图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则 A． B． C． D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 10．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则 A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 11．已知函数的定义域为，任意实数，均满足，若，是函数的导函数，则 A．为偶函数 B．是周期为4的函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量~，若，则 ▲ ． 13．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为 ▲ ． 14．已知数列满足，，且为等差数列，则的值为 ▲ ；若数列满足，，记数列的前项和为，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．（15分） 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围． 17．（15分） 某校在数学节上开展“数学知识闯关”活动，为提升趣味性和参与度，提供了两种不同的活动内容． 活动一：共设置8道数学趣味题目，闯关者需从这8道数学趣味题目中随机抽取2道进行作答，若2道题均答对，则可获得“数学达人”勋章，否则无法获得勋章． 活动二：共设置4道数学综合题目，闯关者需从第一题开始依次作答，若累计答对2道题，则结束答题并获得“数学达人”勋章；若答完4道题后仍未能累计答对2道题，则结束答题且无法获得勋章． （1）小明参加活动一，已知他仅能答对这8道数学趣味题目中的5道题，求小明能获得“数学达人”勋章的概率； （2）小刚参加活动二，已知他答对每道数学综合题目的概率均为，且各题作答结果相互独立，记结束答题时小刚答题的个数为，求的分布列和数学期望． 18．（17分） 如图，矩形为圆柱的轴截面，是圆柱中不与，重合的母线，为的中点，，． （1）证明：平面． （2）设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最小值． （3）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，将曲线上的每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换，称为旋转角为的旋转变换．设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则 （1）在旋转角为的旋转变换下，使点变成点，求点的坐标． （2）若抛物线在旋转角为的旋转变换下，得到的曲线方程为：． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）在平面直角坐标系中，过点（）的直线与交于A，B两点，设在点A，B处的切线分别为和，已知与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为，当，，，四点共圆时，设该圆的圆心的坐标为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $