精品解析：贵州省部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题

高二数学学科素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数的和后根据复数的几何意义判断. 【详解】由已知，对应点坐标为，在第四象限. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得，再由交集的定义可得. 【详解】由，即，解得，所以. 又因为，所以. 3. 已知a，b，，若，a，b，c，成等比数列，则（ ） A. 32 B. C. D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得,又因为等比数列奇数项符号相同，所以.所以. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量坐标加减法运算，向量垂直坐标表示，以及向量模的坐标公式分析计算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即，解得：， 所以，所以， 所以. 5. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 由二倍角公式，代入得， 整理得. 已知为钝角，则. 因此. 6. 工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，可以计算出常数；再令准确率提升倍数时，计算出. 【详解】根据该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数， 又已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，那么 ，故， 令，得 ， ，，故C正确. 7. 在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求正三棱台上、下底面正三角形的外接圆半径，再求正三棱台的高；设外接球的球心到下底面的距离为，外接球半径为，根据球心到上下底面顶点的距离都等于，列出两个关于和的方程，联立求解；最后根据球的表面积公式取出外接球的表面积. 【详解】设正的中心为，正的中心为，外接球的球心为，半径为， 球心到底面的距离为，过作，垂足为，如图所示； 棱台为正三棱台，，， ，； ，. ，在中，. 在和中， ，解得. ； . 8. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次沿数轴随机向左或向右移动一个单位长度．记（）为该质点第次移动后所对应的数轴上的数，则满足的移动方法有（ ） A. 3360种 B. 4480种 C. 3150种 D. 4200种 【答案】A 【解析】 【分析】以和分类计算，分类前10步和后6步中向左走和向右走的步数，使用组合数计算走法，使用加法原理和乘法原理求解. 【详解】设向右走一步为，向左走一步为，走步，其中向右步，那么向左走步，最终位置为：， 第一类：当时，，得，即前10步中向右走6步，向左走4步共有种方法， ，则从第10步走到第16步为后6步，位置从2走到4，则，得，即向右走4步，向左走2步，共有种方法，根据乘法原理，共有种走法； 第二类：当时，令，得，即前10步中向右走4步，向左走6步，共有种方法， 前10步走完的最终位置是，后6步要从走到4至少需要6步，即后6步只有1种走法，根据乘法原理共有：种方法； 综上，移动方法有种方法. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则（ ） A. B. C. D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【详解】由图象可知，B选项正确； 最小正周期，又，A选项正确； 由五点法知，解得，C选项错误； 所以. 所以的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，D选项正确. 10. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（ ） A. 的长半轴长为2 B. 的周长为6 C. 的最大值为 D. 上存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】由离心率求得，然后根据椭圆的性质判断各选项，注意选项D中，当为短轴端点时，最大. 【详解】对A，由题意， 解得，A正确； 对B，由题意，的周长为，B正确； 对C，的最大值为，C错； 对D，当为短轴端点时，，此时，D正确. 11. 已知函数的定义域为，任意实数均满足，若，是函数的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 是周期为4的函数 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先通过赋值得，再赋值得，所以函数关于直线对称，再赋值得，所以是奇函数，进而可得函数的一个周期为，再计算一个周期内函数值，从而可得C的对错；再由两边求导可得，结合周期为可得D正确. 【详解】因为等式对任意实数成立，且. 令 ，得，， 所以对任意实数成立，且，因此. 令 ，得，即， 所以函数关于直线对称. 令 ，得，， 即 ，所以是奇函数，因此A选项错误； 又由得， 又因为，所以， 以代替，得， 即，因此的一个周期为，故B选项正确； 计算一个周期内的函数值： ，，，， ，所以， 因此.因此C选项错误； 对两边求导，得，， 将替换为，得： . 由于周期为，导函数周期也为，故， 所以，因此D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量~，若，则________． 【答案】0.2 【解析】 【详解】由~，该正态曲线关于直线对称，， 所以. 13. 若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为，则，得， 则，故该双曲线的焦距为. 14. 已知数列满足，，且为等差数列，则的值为_______；若数列满足，，记数列的前项和为，则________． 【答案】 ①. 14 ②. 【解析】 【分析】利用等差数列的性质进行求解第一空.利用代入求值判断数列的周期，利用数列周期、等差数列前项和公式进行求解第二空即可. 【详解】第一空：因为为等差数列， 所以； 第二空：因为，， 所以， 所以数列的周期为， 因为， 所以等差数列的前二项为：， 所以等差数列的首项为，公差为， 所以， 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式，利用正弦定理将边化为角的正弦，再根据角的取值范围确定； （2）已知及两边关系，代入余弦定理解出边长，最后用面积公式计算. 【小问1详解】 因为，由正弦定理，得， 而，即，则，即． 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，所以．把，代入余弦定理得 ，解得，， 所以的面积． 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；（2）在上单调递增，转化为在上恒成立，进而求解的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，， ，故切点坐标为， 则切线方程为，整理得． 【小问2详解】 函数， 所以． 由题意得即在上恒成立， 则在上恒成立，即． 令，则． 因为，所以且，则， 在上单调递增，所以． 经验证时满足题意，则实数的取值范围为． 17. 某校在数学节上开展“数学知识闯关”活动，为提升趣味性和参与度，提供了两种不同的活动内容． 活动一：共设置8道数学趣味题目，闯关者需从这8道数学趣味题目中随机抽取2道进行作答，若2道题均答对，则可获得“数学达人”勋章，否则无法获得勋章． 活动二：共设置4道数学综合题目，闯关者需从第一题开始依次作答，若累计答对2道题，则结束答题并获得“数学达人”勋章；若答完4道题后仍未能累计答对2道题，则结束答题且无法获得勋章． （1）小明参加活动一，已知他仅能答对这8道数学趣味题目中的5道题，求小明能获得“数学达人”勋章的概率； （2）小刚参加活动二，已知他答对每道数学综合题目的概率均为，且各题作答结果相互独立，记结束答题时小刚答题的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 2 3 4 ． 【解析】 【小问1详解】 从8道题中随机抽取2道题的组合数有，从能答对的5道题选2道题的组合数有； 小明能获得“数学达人”勋章的概率为． 【小问2详解】 由题意，的可能取值为2，3，4． ， ， . 的分布列为 2 3 4 则． 18. 如图，矩形为圆柱的轴截面，是圆柱中不与，重合的母线，为的中点，，． （1）证明：平面． （2）设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最小值． （3）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明:因为是圆的直径,所以. 在圆柱中,平面,平面,所以. 又因为,平面,平面,所以平面. （2）2. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用,可证明平面. （2）利用平面,得到,得,由题设,再利用基本不等式可求得的最小值. （3）由条件易建立空间直角坐标系,求得平面与平面的法向量.再由法向量可求得二面角的余弦值,从而可得正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解:由平面, 平面,得, . 所以,,所以. 设,,则. 所以. 当且仅当,即时,等号成立. 所以的最小值为2. 【小问3详解】 解:以为坐标原点,分别以,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则, ,,. 所以,. 设平面的法向量为,则. 令,则,,所以. 因为,,,所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面所成的二面角为, 则. 所以. 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，将曲线上的每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换，称为旋转角为的旋转变换．设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则. （1）在旋转角为的旋转变换下，使点变成点，求点的坐标． （2）若抛物线在旋转角为的旋转变换下，得到的曲线方程为：． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）在平面直角坐标系中，过点（）的直线与交于A，B两点，设在点A，B处的切线分别为和，已知与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为，当，，，四点共圆时，设该圆的圆心的坐标为，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）设，， 由，得其导函数，所以，， 所以直线：，直线：， 令，可得，． 由，得，即． 因为点，，三点共线，所以， 即，得，整理得． 设的外接圆方程为， 则，解得， 所以外接圆方程为． 将的坐标代入该圆方程，整理得． 又，所以，， 所以，，所以， 令，化简得． 令，易知在上单调递增， 所以，即，得证． 【解析】 【分析】（1）由新变换可得； （2）（ⅰ）设上一点为，根据变换得出关系，得出，代入题中方程即可； （ⅰⅰ）设，，根据导函数求出切线方程得出，，，再设的外接圆方程求出其方程，将点坐标代入得出，，令，结合函数求取值范围. 【小问1详解】 由题设中的变换方法得，故的坐标为． 【小问2详解】 （ⅰ）设上一点为，旋转后对应的点为， 则，所以， 因为，所以， 所以的方程为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，，若，a，b，c，成等比数列，则（ ） A. 32 B. C. D. 64 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次沿数轴随机向左或向右移动一个单位长度．记（）为该质点第次移动后所对应的数轴上的数，则满足的移动方法有（ ） A. 3360种 B. 4480种 C. 3150种 D. 4200种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则（ ） A. B. C. D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 10. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（ ） A. 的长半轴长为2 B. 的周长为6 C. 的最大值为 D. 上存在点，使得 11. 已知函数的定义域为，任意实数均满足，若，是函数的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 是周期为4的函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量~，若，则________． 13. 若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 14. 已知数列满足，，且为等差数列，则的值为_______；若数列满足，，记数列的前项和为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围． 17. 某校在数学节上开展“数学知识闯关”活动，为提升趣味性和参与度，提供了两种不同的活动内容． 活动一：共设置8道数学趣味题目，闯关者需从这8道数学趣味题目中随机抽取2道进行作答，若2道题均答对，则可获得“数学达人”勋章，否则无法获得勋章． 活动二：共设置4道数学综合题目，闯关者需从第一题开始依次作答，若累计答对2道题，则结束答题并获得“数学达人”勋章；若答完4道题后仍未能累计答对2道题，则结束答题且无法获得勋章． （1）小明参加活动一，已知他仅能答对这8道数学趣味题目中的5道题，求小明能获得“数学达人”勋章的概率； （2）小刚参加活动二，已知他答对每道数学综合题目的概率均为，且各题作答结果相互独立，记结束答题时小刚答题的个数为，求的分布列和数学期望． 18. 如图，矩形为圆柱的轴截面，是圆柱中不与，重合的母线，为的中点，，． （1）证明：平面． （2）设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最小值． （3）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中，将曲线上的每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换，称为旋转角为的旋转变换．设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则. （1）在旋转角为的旋转变换下，使点变成点，求点的坐标． （2）若抛物线在旋转角为的旋转变换下，得到的曲线方程为：． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）在平面直角坐标系中，过点（）的直线与交于A，B两点，设在点A，B处的切线分别为和，已知与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为，当，，，四点共圆时，设该圆的圆心的坐标为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $