第十章二元一次方程组专项练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组的概念应用与实际建模，通过古代数学问题、现代生活情境及方程求解，系统覆盖列方程、解方程及方案优化等核心考法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古代数学问题|5题|以《九章算术》等典籍为背景，考查等量关系抽象|从实际问题到二元一次方程组的建模过程| |方程求解|4题|含参数方程、解的意义及定义新运算|方程解的性质与代入消元、加减消元法的应用| |实际应用|6题|购物优惠、配送方案、成本控制等情境，涉及方案选择|从现实问题中提取数量关系，建立方程组解决实际问题|

二元一次方程组专项练习 单元/期末复习 广东适用 一、选择题 1．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 2．《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？”如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x、y的二元一次方程组 __________________． 3．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为(     ) A． B． C． D． 4．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 7．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 8．若为方程的一组解，则点不可能在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 二、填空题 9.已知方程，当时，______． 10.写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 11.已知与互为相反数，且，则值为______． 12．定义运算“◎”，规定，其中、为常数，若，则___________． 13. 已知关于，的方程组以下结论：当时，；若，则；当时，；无论取任意实数，的取值为定值．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 三、计算题 14、解方程组： 15、解方程组： 16．学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 17．根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材1 某校组织学生去农场进行学农实践，体验西红柿采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装西红柿时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材2 精包装 简包装 每盒2千克，每盒售价20元 每盒3千克，每盒售价26元 问题解决 任务1 在活动中，学生共卖出了400千克西红柿，销售总收入为3600元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务2 现在需要对60千克西红柿进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这60千克西红柿整盒分装完．每个精包装盒的成本为0.8元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在14元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 18．《父子数学时间》 晚饭后，做数学老师的父亲和七年级的儿子小志坐在书桌前，父亲手里拿着商场宣传单，笑眯眯地看着儿子．父亲：小志，今天老爸考你一个实际生活中的数学问题，有兴趣挑战一下吗？ 小志（自信地）：没问题！数学我最拿手了！ 父亲（递过素材单）：根据以下素材，探索完成任务． 素材一 小芸一家4个人，每人有一套消费券，每套包含： 型券：满元减元张 型券：满元减元张 型券：满元减元张 素材二 小芸一家在超市使用消费劵恰好共减了元． (1)如果小芸一家用了张型券和张型券，那么他们用了张型券，此时最少实际支付______元． (2)如果他们用了张券，包含、、三种，且型比型少张，问各用了多少张？ (3)已知小芸一家购物时仅使用了两种消费券，你能确定他们分别使用了哪两种消费券各多少张？ 19．近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． (1)求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 20．某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． (1)每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ (2)若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组专项练习答案 1．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 设有个人，该物品价值元，根据每人出元，多元；每人出元，少元，列出方程组即可． 【详解】解：设有个人，该物品价值元， 根据题意可得：； 故选：C 2．《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？”如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x、y的二元一次方程组 __________________． 【答案】 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只， 根据题意得：． 故答案为：． 3．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组 4．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得， 故选：A． 5．《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意得，则①-②得，，进行计算即可得． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 则①-②得，， ， ， 代数式的值为， 故选：D． 7．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴，，，． 故☆表示的方程可能是． 故选C． 8．若为方程的一组解，则点不可能在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，象限内点的坐标特征，不等式的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据方程的解的条件得到，再结合各象限坐标符号特征，分析点的可能位置即可． 【详解】解：为方程的一组解， ， A、若点在第一象限，则，，例如，，满足条件，不符合题意； B、若点在第二象限，则，，由可得，无法满足，符合题意； C、若点在第三象限，则，，例如，，满足条件，不符合题意； D、若点在第四象限，则，，例如，，满足条件，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 9．已知方程，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程．将原方程整理得，将代入计算即可． 【详解】解：已知方程， 则， 当时， ， 故答案为：． 10．写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意分别将代入求得的值，结合都是正整数，即可求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 其它更小，不是整数， 故正整数解为或 故答案为：或 11．已知与互为相反数，且，则值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，乘方运算，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和乘方的意义． 根据已知条件，把用表示出来，再代入，求出，进而求出，再代入所求的幂进行计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 把代入得 ∴， 则， ， ， 故答案为：． 12．定义运算“◎”，规定，其中、为常数，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 由新定义可得方程组，利用加减消元法解方程组，求出，的值，进而得出答案． 【详解】解：由新定义可得方程组：， ，得③， ①③，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ． 故答案为：． 13．已知关于，的方程组以下结论：当时，；若，则；当时，；无论取任意实数，的取值为定值．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次方程的一般步骤． 先解关于，的方程组，求出，，再把，代入各个小题中含有，的等式和不等式，进行解答，然后判断正误即可． 【详解】解：， 得：， ， 把代入得： ， 当时，， ， ， ， 故正确； 当， ， ， ， ， ， 故的结论错误； 当时， ， ∵， ∴， ∴， 故的结论正确； ， 无论取任意实数，的取值为定值， 故的结论正确； 综上可知：正确结论有， 故答案为：． 14．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得，③， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， 原方程组的解为． 15．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，正确计算是解题的关键．根据加减消元法求解即可． 【详解】解： ①×②得，③ ②+③得，， ， 将代入②得，， ， 16．学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 【答案】(1)品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； (2)①，；②最多可以买个品牌的足球． 【分析】（1）设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元，根据“买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，即可求出选择各方案所需费用；根据按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； （2）根据题意得：按“方案”需要花费元； 按“方案”需要花费元． 故答案为：，； 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 的最大值为． 答：最多可以买个品牌的足球． 17．根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材1 某校组织学生去农场进行学农实践，体验西红柿采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装西红柿时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材2 精包装 简包装 每盒2千克，每盒售价20元 每盒3千克，每盒售价26元 问题解决 任务1 在活动中，学生共卖出了400千克西红柿，销售总收入为3600元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务2 现在需要对60千克西红柿进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这60千克西红柿整盒分装完．每个精包装盒的成本为0.8元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在14元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务1：精包装销售了50盒，简包装销售了100盒；任务2：见解析 【详解】解：任务1：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：精包装销售了50盒，简包装销售了100盒； 任务2：共有2种分装方案，理由如下： 设分装成m盒精包装，则分装成盒简包装， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为3，6， ∴共有2种分装方案， 方案1：分装成3盒精包装，18盒简包装； 方案2：分装成6盒精包装，16盒简包装． 18．《父子数学时间》 晚饭后，做数学老师的父亲和七年级的儿子小志坐在书桌前，父亲手里拿着商场宣传单，笑眯眯地看着儿子．父亲：小志，今天老爸考你一个实际生活中的数学问题，有兴趣挑战一下吗？ 小志（自信地）：没问题！数学我最拿手了！ 父亲（递过素材单）：根据以下素材，探索完成任务． 素材一 小芸一家4个人，每人有一套消费券，每套包含： 型券：满元减元张 型券：满元减元张 型券：满元减元张 素材二 小芸一家在超市使用消费劵恰好共减了元． (1)如果小芸一家用了张型券和张型券，那么他们用了张型券，此时最少实际支付______元． (2)如果他们用了张券，包含、、三种，且型比型少张，问各用了多少张？ (3)已知小芸一家购物时仅使用了两种消费券，你能确定他们分别使用了哪两种消费券各多少张？ 【答案】(1)， (2)型张，型张，型张 (3)型消费券张，型消费券张或型消费券张，型消费券张 【详解】（1）解：由题意得张型券和张型券的减少金额为：， 型券减少的金额为， 型券用了张 此时最少实际支付金额为：元， 故答案为：，； （2）设型为张，型为张，型为张， 由题意可得， 解得， 故型为张，型为张，型为张； （3）由题意得，小芸一家总共有张型，张型，张型． 设型为张，型为张，型为张， ， 两种消费券不能仅仅为型和型， ， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，，符合题意， ， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 当时，不为整数，不符合题意， 综上所述，使用了型消费券张，型消费券张或使用了型消费券张，型消费券张． 19．近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． (1)求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； (2)当时，选用无人机配送服务更合算 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当时，选用无人机配送服务更合算． 20．某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． (1)每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ (2)若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元 (2)该校最多可购买型机器人9台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台型机器人的售价为万元，每台型机器人的售价为万元，根据购买1台型机器人和2台型机器人共需11万元，购买2台型机器人和3台型机器人共需19万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该校可购买型机器人台，则购买型机器人台，根据购买型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的售价为万元，每台型机器人的售价为万元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元； （2）解：该校可购买型机器人台，则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为9， 答：该校最多可购买型机器人9台． 1 学科网（北京）股份有限公司 $