2025-2026学年人教版八年级数学下学期期末复习自测卷

**基本信息** 2026学年八年级数学期末复习自测卷，以几何综合、函数应用、统计分析为核心，通过圆柱缠绕（第8题）、U型管引流（第15题）等真实情境，考查抽象能力、推理意识与数据意识，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形性质、函数图像、多边形内角和|第2题注水容器结合几何直观，第6题箱线图考查数据意识| |填空题|6/18|勾股定理应用、中垂线性质、动点问题|第12题刘徽勾股形分割体现文化传承，第16题矩形动点综合考查创新意识| |解答题|8/72|二次根式计算、菱形与矩形证明、行程函数|第24题正方形动点探究（矩形证正方形、线段和定值），综合推理能力与模型意识|

2026学年八年级数学下学期期末复习自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 2．（向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 7．已知，为直线上的两个点，若，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 10．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 12．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为_____． 13．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 14．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 15．如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 19．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据． (1)求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数； (2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1600名学生中课外阅读5册书的学生人数； (3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？ 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 21．（10分）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 22．（10分）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 23．（12分）甲骑摩托车从地匀速驶往地，乙开汽车沿同一条公路从地匀速驶往地，两人同时出发（摩托车的速度小于汽车的速度），各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)、两地之间的路程为_____千米，摩托车的速度是_____千米/小时，点的坐标为_____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)请直接写出甲行驶_____小时，两人相距180千米． 24．（12分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 参考答案 一、选择题 1．B 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 2．A 解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 3．A 解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 4．A 解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 5．C 解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 6．D 解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 7．C 解：∵直线方程可化为， ∴当时，，且时，y随x的增大而增大， ∵，在直线上，且， ∴， 对于A、B：若，则，但无法推出或，故A、B错误； 对于C：若，则， 又∵， ∴，即，故C正确； 对于D：由C的推导可知，故D错误， 故选：C． 8．C 解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 9．C 解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 10．B 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 二、填空题 11．4 解：数据的平均数为 ． 离差平方和为． 故答案为：4． 12． 解：设阴影部分小三角形长直角边边长为x， ∵，， ∴，，， 在中，， 即， 解得，， 而长方形面积为， 故答案为：． 13． 解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．9.6 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 15．3 解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 16．或 解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接， 则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： 则， ， ； 当时，如图： 则， ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 三、解答题 17．（1）解：原式； （2）解：原式. 18．（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ． 19．（1）解：，， 所以阅读课外书5册的人数是14人,即条形图中丢失的数据是14； 读4册书的有8人，读5册书的有14人，读6册书的有12人，读7册书的有6人， 读5册书的人数最多，所以众数是5；第20和21人都是5册，所以中位数是5； （2）解：， 所以该校1600名学生中课外阅读5册书的学生有560人； （3）解：设补查了x人，根据题意可得 ， 解得， ∴最多补查3人． 20．（1）解：令，则， 解得：， 所以点的坐标为； （2）解：代入A、两点可得：，， 解得：，， 故，， ， ， 设原点到直线的距离为， 则， 解得：， 故原点到直线的距离为； （3）解：存在， 设点的坐标为，根据题意可知不为直角， 所以当是直角三角形分两种情况： ①当时，此时点的坐标为； ②当，， 故， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 21．（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； （2）解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 答：的长为． 22．（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 23．（1）解：由图可知，、两地之间的路程为千米，甲行驶的总时间为6小时， 摩托车的速度小于汽车的速度，甲骑摩托车从地匀速驶往地， 摩托车的速度是：千米/小时， 甲、乙的速度和：千米/小时， 汽车的速度：千米/小时， 乙从地到地所用的时间：小时， 此时甲行驶的路程：千米， 故点的坐标为； （2）解：设线段表达式为． 已知， 代入得：， 解得：， 函数表达式为； （3）解：相遇前，两人相距180千米， 两人一共行驶的路程为千米． 则甲行驶的时间：小时， 相遇后，当乙还没到目的地， 两人一共行驶的路程为千米． 则行驶的时间：小时， 乙小时就到达终点， 不符合题意； 当乙小时到达目的地， 此时甲已行驶千米， 之后甲继续向地行驶，距离逐渐增大，直到千米， 则甲行驶的时间：小时， ​ 所以甲行驶小时或小时后，两人相距180千米． 24．（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $