山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（一）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（一） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知复数之=(1+)(2-)，则|z A.5 B.V10 C.3 D.10 2.设A={x∈Z|x2-3x-4≤0}，B={x∈R|x-1<2},则A∩B= A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 3.已知平面向量a,b满足a+bl=V13,a-bl=√5，a=2,则bl= A.1 B.2 C.V5 D.3 4已知+}-5，t>0,则2+日- A.21 B.23 C.25 D.27 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(2,4)，则C的焦点到直线x+y=0的距离为 A.1 B.V2 C.2 D.2V2 N 6.某模型的训练时间T与有效数据量V满足T=alog20+,其中T的单位为小时，V 的单位为条。已知当N=106时，训练时间为3小时；当N=64×106时，训练时间为9 小时。若N=1024×10°，则训练时间为 A.11小时 B.12小时 C.13小时 D.15小时 7.设S={(c,)|x,y∈{-1,0,1}八{0,0)}。从S中随机取一点P(c,),定义随机变量 X=x2+xy+y2,则E(X)= B.3 4 A.1 C. 2 D.2 8.已知函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=-f(x),且当0≤x≤1时，f(x)=x2-1, 则（ A.-1 B.3 C:3 D.1 【2027届高三导向卷（一）·数学第1页（共3页)】 忻州一中✉ 模拟专用 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.某二值传感器每次只能发送信号0或1。发送0时，单次收到1的概率为α，收到0的概 率为1-α；发送1时，单次收到0的概率为3，收到1的概率为1-B。各次传输相互独 立。现采用“三次多数译码”方案：同一信号连续发送3次，若收到的三个信号中0出现次 数不少于2，则译码为0；若1出现次数不少于2，则译码为1。记发送0时译码正确的概率 为P,发送1时译码正确的概率为P,则下列说法正确的是 A.单次发送0时译码正确的概率为1一α B.P=(1-a)3+3a(1-a)2 C.若a=B,则P=P D.对任意0<a<1,均有P>1-a 10.设抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线1：y=k(x-1)与C交于A,B两点， M为线段AB的中点，则下列结论正确的是 A.AB≥4 B.点M的轨迹方程为心=1+ 2 C.以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 D.当k=1时，S△0AB=8 11.设2={(x,|x,y∈{1,2,3,4}。若由2中若干个互不相同的点组成的序列P,P2,·,Pm 满足：任意相邻两点P(x,、P+1(x+1,+1）都有{x+1-,ly+1-}={1,2},则称 该序列为一条“马步链”。下列结论正确的是 A.若P=(1,1),则P2只能是(2,3)或(（3,2) B.在任意一条马步链中，相邻两点的横纵坐标之和的奇偶性必相反 C.存在一条马步链含有2中全部16个点 D.点(1,1)与点(2,2)不可能在马步链中相邻 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记等差数列{an}的前n项和为Sn。若S3=6,S6=30,则a7= 13.若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)=2,且函数g(x)=f(x+1)-f(x)在x=1 处取零值，则a+b= 14.正四面体ABCD的棱长为2，球O经过A,B,C,D四点，则球O的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 某工厂检测电子元件是否存在故障。设某批元件中故障元件所占比例为P。工厂使用两个相 互独立的传感器A,B进行检测。对于一个故障元件，每个传感器判断为“异常”的概率均为 0.9;对于一个正常元件，每个传感器误判为“异常”的概率均为02。检测规则如下：若两个 传感器中至少有一个判断为“异常”，则该元件进入复检。从该批元件中随机抽取100个元 件检测，其中72个进入复检。 (1)用频率估计概率，求p的估计值； (2)在（(1)的估计下，从进入复检的元件中随机抽取1个，求该元件实际存在故障的概率； (3)在(1)的估计下，从进入复检的元件中随机抽取4个，记其中实际存在故障的个数为 X。求E(X)与D(X)。 【2027届高三导向卷（一)·数学第2页（共3页)】 所州一中 用 16.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为边长为 2的正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=2。点E,F 分别为PB,PD的中点。 (1)证明：EF‖平面BCD; (2)点M在线段PC上，且PM:MC=1:2。求直 线AM与平面PBD所成角的正弦值。 B 17.（本小题满分15分)】 在△ABC中，角AB.C的对边分别为ae,已知osB-多b=4,且snA+snC- 2sinB。 (1)证明：a+c=2b; (2)若△ABC的面积为6，求△ABC的周长； (3)设D在边AC上，且BD平分∠B,求BD的长。 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E:+g2=1。点A(0,0)在E的第一象限内，过点A作E的切线1，直线1 与x轴、y轴分别交于P,Q两点。 (1)求椭圆E的离心率； (2)求△OPQ面积的最小值； (3)求OP2+OQ2的最小值。 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为R。对任意实数xo,定义集合 V(xo)=dER f(xo+d)-f(xo)>dh. (1)若f(x)=x2,求V(1)∩[-3,3； (2)若f(x)=kc+b,求使得V(co)=(0,+o)对任意xo∈R都成立的实数k的取值范围； (3)设g(x)=f(x)-x。若函数f(x)满足以下两个条件： 对任意x1,x2∈R,若g(c1)≤g(x2),则V(x2)V(c1) 当x<0时，f(c)=2+x,且当0<x<1时，f(x)-x<f(0)。 证明： (i)f(0)≥1； (ii)函数g(x)=f(x)-x在区间(0，+oo)上单调递增。 【2027届高三导向卷（一）·数学第3页（共3页)】 忻州一中 参考答案与详解 2027届高三导向卷（一)·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案BB C BB CC B 1. 2=(1+)(2-)=3+i,2=V32+12=V10 故选B。 2.由 x2-3x-4≤0 得 -1≤x≤4. 又x∈Z,所以 A={-1,0,1,2,3,4} 由 |x-1<2 得 -1<x<3. 因此 A∩B={0,1,2}. 故选B。 3.由平方关系， la+b12=la2+lb2+2a.b=13, la-b2=la2+b2-2a·b=5. 两式相加得 2al2+2b2=18. 又al=2,所以 8+2b2=18, 即 b2=5. 故 b=5. 故选C。 【2027届高三导向卷（一）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 4.由 16 t+ 两边平方，得 +2+2=25. 所以 1 +=23. 故选B。 5.抛物线y2=2px经过点(2,4)，所以 16=4p, 得 p=4. 抛物线焦点为 （⑤0）=2， 点(2,0)到直线x+y=0的距离为 2+0l=V2. vW12+12 故选B。 6.由题意， N T=alog+. 当V=106时， T=b=3. 当N=64×106时， 9=alog264+3=6a+3, 所以 a=1. 当N=1024×106时， T=log21024+3=10+3=13. 故选C。 7.集合S中共有8个点。 当点为 (±1,0)，(0，土1) 时，X=1,共有4个 当点为 (1,1),(-1,-1) 时，X=3,共有2个 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 当点为 (1,-1),(-11) 时，X=1,共有2个。 所以 E(X)=4,1+23+21123 8-21 故选C。 8.由 f(x+2)=-f(x) 可得 f(x+4)=f(x): 所以f(x)的周期为4。 于是 ()=() 又f(x)为偶函数， ()=f() 因为当0≤x≤1时， f(x)=x2-1, 所以 f()--1- 故选B。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案ABCABC ABD 9.A正确。单次发送0，收到0的概率为 1-a. B正确。三次发送0，译码为0表示收到的0至少出现2次，所以 P=(1-a)3+3a(1-a)2. C正确。若α=B,则发送0和发送1的错误机制完全对称，故 Po=P. D错误。比较P与1-a,有 B-(1-a)=(1-a)3+3a(1-a)2-(1-a) =(1-a)[(1-a)2+3a(1-a)-1] =a(1-a)(1-2a): 【2027届高三导向卷（一）·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 专用 当0<0<2时为正：当日5a<1时为负。 所以并非对任意0<a<1,均有P>1-α。 综上，选ABC。 10.抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0). 设抛物线上点用参数表示为 (x,y）=(t2,2t): 过焦点的直线 =k(x-1) 与抛物线交于两点A,B,对应参数为t1,t2。 代入得 2t=k(t2-1) 即 kt2-2t-k=0. 所以 t1t2=-1. A正确。焦点弦长 |ABl=xA+xB+2=t号+号+2=(i1-t2)2≥4. B正确。中点M的坐标为 M 好+场 21 yM=t1+t2. 由tt2=-1,得 t悦+t号=(t1+t2)2+2. 所以 M=+2-1+验 2 2 故轨迹方程为 1+ C正确。准线为x=-1,圆心为M,到准线距离为 xM+1. 而 AB 2 =cM+1, 所以以AB为直径的圆与准线相切。 D错误。当k=1时， t2-2t-1=0, 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 专用 故 t1-t2=2v2. 三角形面积为 S△OAB= AUB-BUAl Itit2(t1 -t2)=2v2, 不是8。 综上，选ABC。 11.A正确。从(1,1)出发，满足横、纵坐标差分别为1,2的点只能是 (2,3),(3,2) B正确。相邻两点的坐标变化为一个奇数1和一个偶数2，以x+y的奇偶性必改变。 D正确。(1,1)与(2,2)的横、纵坐标差分别为 1,1, 不满足 {1,2}. C错误。不存在一条马步链含有全部16个点。 说明如下：取中心四点 (2,2),(2,3),(3,2),(3,3) 若将这四点去掉，剩余图形被分裂成6个彼此不连通的部分；而一条含全部点的链删除4个 点后，最多被分成5段，与至少6个连通块矛盾。 综上，选ABD。 三、填空题 题号 121314 答案12 -1πV6 12.设等差数列首项为a1,公差为d。 由S3=6,得 3a1+3d=6, 即 a1+d=2. 由S6=30,得 601+15d=30, 即 2a1+5d=10. 又由a1+d=2,得 2a1+2d=4. 两式相减，得 3d=6, 所以 d=2, a1=0. 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 专用 因此 a7=a1+6d=12. 13.由f(0)=2,得 b=2. 又 g(c)=f(x+1)-f(x). 因为 f(x)=x2+ax+b, 所以 g(x)=(x+1)2+a(x+1)+b-(c2+c+b) =2x+1+a. 由9(1)=0，得 2+1+a=0, 即 a=-3. 所以 a+b=-3+2=-1. 14. 正四面体棱长为α时，其外接球半径为 R=V6 a. 这里a=2,所以 R=V6 2 球的体积为 因为 6 3v6 2 41 所以 v-.y 4 =⑥. 四、解答题 15. 等秦刀=兰P网=号X)= 22 D(X)= 33 49 设元件故障事件为F,进入复检事件为R。 对于故障元件，两个传感器均不判为异常的概率为 0.12=0.01 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 专用 所以故障元件进入复检的概率为 P(RF)=1-0.01=0.99. 对于正常元件，两个传感器均不误判为异常的概率为 0.82=0.64, 所以正常元件进入复检的概率为 P(RF)=1-0.64=0.36. (1)由频率估计概率， 72 P(R= =0.72. 又 P(R)=0.99p+0.36(1-p). 所以 0.99p+0.36-0.36p=0.72, 即 0.63p=0.36. 故 364 p=63=7 (2)由叶斯公式， P(FR)= P(FP(R F P(R) 所以 P(FR)= 40.99 0.72 又 99 0.99=100 0.72= 18 25 于是 PFI=器- -14 (3)在(1)的估计下，从进入复检的元件中随机抽取一个，该元件实际故障的概率为 11 14 所以 x() 因此 1122 E(X)=414=7 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 专用 心0=4共日-8 16.答案：EF‖平面BCD;直线AM与平面PBD所成角的正弦值为 2V2 3。 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2). 点E,F分别为PB,PD的中点，所以 E(1,0,1), F(0,1,1). (1)有 E=(-1,1,0) 又 BD=D-B=(-2,2,0), 所以 成-励 故 EF‖BD. 因为 BDC平面BCD, 且EF不在平面BCD内，所以 EF‖平面BCD. (2)点M满足 PM:MC=1:2, 所以 M-P+3(C-P). 即 M= /224\ 333 因此 2 2 333 可取直线AM的方向向量为 v=(1,1,2) 平面PBD中， PB=(2,0,-2), PD=(0,2,-2). 取法向量 n=P2×PD=(4,4,4), 可简化为 n=(1,1,1). 【2027届高三导向卷（一）·数学参考答案与详解第8页】 所州一中 专用 设直线AM与平面PBD所成角为O,则 sin= v·n v n 计算得 v…n=1+1+2=4, lvl v6, In|v3. 所以 sin= 4 42v2 /6323 17. 答案：a+c=2b:周长为12；BD=3V5 。 (1)由正弦定理， a 6 sin A sin B sinC 因此 sin A+sin C=2sin B 等价于 C b 2R+2n=2· 2R 所以 a+c=26. (2)因为b=4,所以 a+c=2b=8. 又 osB 3 所以 4 sin B= 51 三角形面积为 S-aesin B. 由题意， 14 6=2ac5 得 ac=15. 于是a,c是方程 t2-8t+15=0 的两根，所以 {a,c}={3,5}. 因此周长为 a+b+c=8+4=12. 【2027届高三导向卷（一）·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 装专用 (3)由角平分线长公式， 代入 ac=15, b=4, a+c=8, 得 D=15(1-9)=159-5 所以 BD=3 2 18. 答案：e= v3 2 S△oPQ,min=2;(0P2+OQ2)min=9。 椭圆 E号+-l (1)椭圆长半轴为 a=2, 短半轴为 b=1. 所以 c=Va2-62=V3. 离心率为 2 (2)设点A(co,o)在第一象限内，则 草+号=1 椭圆在点A处的切线方程为 Tox +0y=1. 令y=0,得 所以 ( 令x=0,得 所以 () 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第10页】 所州一中 因此 1.4.1=2 SAOPQ=2‘n0oh 要使面积最小，只需使xoo最大。设 u=T 29 v=0 则 u2+v2=1, 且 x0y0=2u. 由 2uw≤2+v2=1 得 x0y0≤1. 当 1 U=U= 反 时取等号。所以 S△oPQ≥2. 故最小值为2。 (3)由上可知 0Q-1 0 所以 161 OP2+0Q2= 令 u= 哈 4 则 6=1-u, 0<u<1. 于是 设 41 p(u)-i+i-u 求导得 p=-是+-mp 4 1 令p(u)=0,得 12 1-u-u 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第11页】 所州一中 所以 u=2(1-u), 即 2 u=3 此时 41 Omin= 23+/3=6+3=9. 故 (OP2+002)min =9. 19.答案：V(1)n[-3,3=[-3,-1)U(0,3;k>1;在修订条件下，f(0)≥1，且g(x)=f(x)-x 在(0，+o∞)上单调递增 先说明第（(3)问使用的修订条件为： 当0<x<1时，f(x)-x<f(0) 令 g(x)=f(x)-x. 则 V(Zo)={dER g(xo+d)>g(zo)}. (1)若f(x)=x2,则d∈V(1)等价于 f(1+d)-f(1)>d. 即 (1+d02-1>d. 化简得 d+d>0, 即 d(d+1)>0. 所以 d<-1或d>0. 因此 V(1)∩[-3,3]=[-3，-1)U(0,3]. (2)若f(x)=kx+b,则 f(xo +d)-f(xo)=kd. 条件 f(xo+d)-f(xo)>d 等价于 kd>d, 即 (k-1)d>0. 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 专用 要使 V(xo)=(0,+o∞) 对任意x恒成立，需要当且仅当d>0时不等式成立，所以 k-1>0. 故 k>1. (3)(i)证明f(0)≥1。 当x<0时， f(x)=22+x, 所以 g(x)=2. 因此当x<0时，g(x)严格递增，且 limg(x）=1. →0 若 g(0)=f(0)<1, 则可取x0<0充分接近0，使得 9(0)<g(xo)<1. 再取足够小的d>0,使 xo +d<0, 0<d<1. 因为xo+d>xo,且在负半轴上g(x)=2x严格递增，所以 g(xo+d)>g(xo). 于是 d∈V(co). 又因为 g(0)<g(xo), 由条件可得 V(zo)CV(0). 所以 d∈V(0), 即 g(d)>g(0) 但0<d<1,由修订条件， g(d<g(0), 矛盾。 所以 g(0)≥1. 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 专用 即 f(0)≥1. (3)(i)证明g(x)在(0，+o∞)上单调递增。 任取 0<x1<C2 设 h=x2-x1>0. 只需证明 g(x2)>g(xc1). 反设 g(x2）≤g(x1): 由条件可得 V(x)V(x2). 先考虑0<c1<x2<1。由修订条件， g(x1）<g0): g(x2)<g(0). 取 d=-x1. 则 x1+d=0. 所以 g(x1+d)=g(0)>gx1), 即 d∈V(c) 由 V(Z1)CV(Z2) 可知 d∈V(ax2) 于是 g(x2-x1)>g(x2) 即 g(h)>g(x2). 若仍有局部下降，则不断用上述“向左平移差值”的方法，把较大自变量处的函数值严格压 到更小的正自变量处。经过有限次欧几里得式递减，可得到某个 r∈(0,1) 满足 g(r）>g(0) 这与修订条件 g(r）<g(0) 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第14页】 忻州一中 矛盾。 因此在(0,1)上，g(x)单调递增。 再对任意 0<x1<E2, 若x2一x1<1,由同样的平移论证可知 g9(x2)>g(x1)· 若x2-x1≥1，则可取分点 x1=t0<t1<·<tn=x2, 使得 0<t+1-ti<1. 由前述结论逐段得到 g(ti+1）>g(t): 所以 g(x2）>g(x1). 故 g(x)=f(x)-x 在区间(0，+∞)上单调递增。 【2027届高三导向卷（一)·数学参考答案与详解第15页】 忻州一中 扣用