山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（七）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（七） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.设集合 A={m∈Z|方程x2-2mx+2m-3=0有两个不相等的实根，且两根均在区间(0,4)内}， 则集合A的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知复数之= 3+4i 1-7 ,则= A.2 B. 6 C.5 D.5v2 6 3.在x2- 的展开式中，常数项为 A. -15 B.15 C.-20 D.20 4.设a=20.4,b=40.2,c=log23-1,则a,b,c的大小关系为 A.a=b>c B.a>b>c C.c>a=b D.b>c>a 5.某城市四个季度的某项指标依次为120，x,,136。已知四个季度数据按从小到大排列后， 中间两个数的平均数与四个数的平均数相等，且120≤x≤y≤136。则全年该指标总和为 A.496 B.504 C.512 D.528 6.函数f(x)=3x-√元(x≥0)的零点所在区间为 11 A. (0,4 B 42 D.(1,2) 7.已知函数f(x)=sin2x+sinx cosx。设 M=max f(x), m min f(x), 0≤x≤号 0≤x≤号 【2027届高三导向卷（七)·数学第1页（共4页)】 忻州一中✉ 模拟专用 则M-m= B. 2 C. 1+v② 2 D.1 8.已知抛物线T:=4x。点A在T的第一象限内，且点A到Γ的准线的距离为5。若点 A的纵坐标为a,则a= A.2 B.22 C.4 D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.某模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰颜色分布如下表： 红色外观蓝色外观 棕色内饰 10 米色内饰 6 从中随机取一个模型。记事件A为“取到红色外观”，事件B为“取到棕色内饰”。下列说 法正确的是 A.P(A)= 14 25 B. P(B|A)=7 C. 事件A,B相互独立 D. RAr-号 10.在平面上，若曲线T存在一点M,使得对任意点P∈T,点P关于M的对称点仍在T 上，则称为“中心自配曲线”，点M称为其自配中心。下列曲线为中心自配曲线的是 A. 4+2=1 B.2y2=4x C.xy=1 D.(x-1)2+(y+2)2=9 11.设函数g(x)=1nx一x+1,x>0。下列结论正确的是 A.g(1)=0 B.g(x)≤0对任意x>0恒成立 C.g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+)上单调递减 D. 若h(x)=er+1+lnx-2x-1(x>0),则h(x)在(0，+o)上严格递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某步道起点在水平面上，终点距水平面的垂直高度为3米。设步道与水平面的夹角为9， 其中0<0<)。游客每走1米消耗的体能为号-os0。则游客从步道底端走到顶端所消耗 的总体能最小时，c0s0= 13.从A,B,C,D,E,F六项活动中任选三项参加。选到A且没有选到B的概率为 已知已经选到A,再选到B的概率为 14.在△ABC中，AB=a,AC=b,且a=4,bl=5,ab=10。点D为AB的中点，点E 在线段AC上，且AE:EC=2:3。则D它= _,D五.BC= 【2027届高三导向卷（七)·数学第2页（共4页)】 州一中 用 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某步道起点在水平面上，终点距水平面的垂直高度为h米。设步道与水平面的夹角为9，其 中0<0<2游客每走1米消耗的体能为c-cos0,其中c>1。 5 (I)当h=3,c=4时，求总消耗体能最小时的cos: (2)证明：对任意h>0,c>1,总消耗体能的最小值为hVc2-1, (3)某山路总垂直高度为6米，允许分成若干段修建。设第i段的垂直高度为，>0，倾角 为公，且：十2十二6、若每段每走1米消耗林能均为吕心A,证明：无 论如何分段，总体能消耗不小于 16.（本小题满分15分) 已知抛物线T:2=4。点A（4a 在T的第一象限内，其中a>0。 (1)若点A到Γ的准线距离为5，求a; (②)当a=4时，点P(号 是下第一象限内异于A的一点。直线AP与直线1：x=一1 交于点Q。若H(-1,u),记△=HQ。求△关于u的表达式，并求△的最小值； (3)在第(2)问条件下，求满足△<1的u的取值范围。 17.（本小题满分15分》 某产品是否存在故障需要通过两级检测判断。设某批产品中故障产品所占比例为p。 第一级检测A:若产品故障，则判为“异常”的概率为0.9；若产品正常，则误判为“异常” 的概率为0.1。 只有第一级检测判为“异常”的产品才进入第二级检测B。第二级检测中，若产品故障，则 判为“异常”的概率为08；若产品正常，则误判为“异常”的概率为0.2。 两级检测相互独立。规定：只有两级检测均判为“异常”，系统才最终判为“高风险”。 现随机检测1000个产品，其中90个最终判为“高风险”。用频率估计概率。 (1)求p的估计值： (2)若某产品最终判为“高风险”，求该产品实际故障的概率； (③)从最终判为“高风险”的产品中随机抽取5个，记其中实际故障的个数为X。求E(X), D(X)。 18.(本小题满分17分) 【2027届高三导向卷（七)·数学第3页（共4页)】 忻州一中 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为边长为2 S 的正方形，O为底面中心，SO⊥平面ABCD,且SO=3。 点E为SA的中点，点F为CD的中点。点P在线段 SB上，设 SP B=入(0<入<1). (1)求入的值，使得CP‖平面AEF; (2)当CP‖平面AEF时，求平面CFP与平面AEF 夹角的余弦值； (3)当CP‖平面AEF时，求异面直线AP与EF的 距离。 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，设曲线C:y=x2。给定a1>1。在曲线C上取点P(a1,),过P作 C的切线，该切线与直线y=1交于点(a2,1)。若a2>1,继续在曲线C上取点P2(a2,a), 过P作切线，与直线y=1交于点(a3,1)。如此继续，得到数列{an}。 (证明：an+1=2 1 an+; 并求当a1=3时的a2,a3 (2)设rn= an-1 an+1 证明：rn+1=r员，并用rn表示an; (3)对正整数m,设 -{aeam≤1+} 求集合Im。其中答案可用gm=40552m点表示。 【2027届高三导向卷（七)·数学第4页（共4页)】 所州一中 专用 参考答案与详解 2027届高三导向卷（七)·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案BBB A C B CC 1.令 9(x)=x2-2mx+2m-3. 方程 x2-2mx+2m-3=0 有两个不相等实根的条件为 △>0. 而 △=(-2m)2-4(2m-3)=4(m2-2m+3)=4(m-1)2+2）>0, 所以该方程恒有两个不相等的实根。 二次函数g(x)开口向上，对称轴为 x=m 若两个实根均在区间(0,4内，则对称轴应在区间(0,4)内，且端点处函数值均为正，即 0<m<4,g(0)>0, g4)>0. 由 g(0)=2m-3>0 得 m72 由 g(4)=16-8m+2m-3=13-6m>0 得 3 m<6 综合可得 3 2<m< 13 6 又因为 m∈Z, 所以 m=2. 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 专用 因此集合A的元素个数为 1. 故选B。 2.由复数模的性质， = 3+4 3+4d 1-i 1- 又 13+4i=5, |1-=v2, 所以 语 故选B。 3.展开式通项为 =()2-() 整理得 4=(⑨)-y 要得到常数项，令 12-3r=0, 得 r=4. 所以常数项为 （图9-=15 故选B。 4.因为 b=402=(22)02=204=a, 所以 a=b. 又 3 c=1og23-1=1og2 显然 204>1, 3∠1 1og2 并且 3 20.4>1og22 所以 a=b>c. 故选A。 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第2页】 所州一中 5.由题意可知四个数按从小到大排列为 120,x,y,136. 中间两个数的平均数为 x+y 2 四个数的平均数为 120+x+y+136 4 由题意， +y=120+x+y+136 2 整理得 2x+2y=256+x+y, 所以 x+y=256. 因此全年该指标总和为 120+x+y+136=512. 故选C。 6.函数 f(x)=3-*-VZ 在[0，十∞)上连续。 当亚=4时， f(④)=3-5>0 当x=时。 =3-1 所以零点在区间 () 内。故选B。 7.因为 f(x)=sin2x+sinx cosx. 令 t=-8 也可以直接利用二倍角公式： sin2=1-cos 2 2 sinc cos sin 2x 2 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 用 所以 -方+ sin 2x-cos 2 2 又 sin 2.-cos2=V2sin (2 因此 e-是9mer-D 当 0≤x≤2 时， 3元 -1≤2-≤ 在区间 上， sin(2r-f） 的最大值为1，最小值为 V2 2 所以 -+ .1=1+2 2 1V2 V2 m=2+2 =0 2 因此 M-m= 1+V2 2 故选C。 8. 抛物线 T:y2=4x 的准线为 x=-1. 设点A的纵坐标为a,则 A(任 点A到准线的距离为 +1 由题意， a2 +1=5. 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第4页】 所州一中 所以 a2=16. 又点A在第一象限内，故 a=4. 故选C。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ABCD 9.由表可知，红色外观共有 10+4=14 个，所以 P4= 25 A正确。 在取到红色外观的条件下，其中棕色内饰有10个，所以 Pa4=9-号 B正确。 又 PAnB)=25=5 102 D正确。 棕色内饰共有 10+5=15 个，所以 P(B)= 153 25=5 而 P(A)P(B) 25525≠言-PAnB). 14342,2 所以事件A,B不相互独立。C错误 综上选ABD。 10.所谓“中心自配曲线”，就是曲线关于某一点中心对称。 A中 2 +2-1 关于原点中心对称，A正确。 B中 y2=4c 是抛物线，不具有中心对称性，B错误。 C中 xy=1. 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 拟专用 若(x,)在曲线上，则 (-x)(-y)=xy=1, 所以（-x,一)也在曲线上。故其关于原点中心对称，C正确。 D中 (x-1)2+(y+2)2=9 是以(1，一2)为圆心的圆，关于圆心中心对称，D正确。 综上，选ACD。 11.由 g(x)=Inx-x+1 得 9(1)=0-1+1=0. A正确。 由基本不等式 lnx≤x-1(x>0), 可得 l1nx-x+1≤0， 即 g(c)≤0. B正确。 求导得 g=-1=122 当0<x<1时， g(x)>0: 当x>1时， g(x)<0. 所以9(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。C正确。 又 h(x)e+1+Inx-2x-1. 则 N(=e+1+1-2. 因为x>0时， e+1>e>2, 所以 h'(x)>0. 故h(x)在(0，+oo)上严格递增。D正确。 综上，选ABCD。 三、填空题 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 专用 题号 12 13 14 322 答案 5 105b-2a9 5 12. 设步道与水平面的夹角为0，终点距水平面的垂直高度为3米，则步道长度为 3 sin 因此总体能消耗为 E(0)= 3 /5 -cose) 令x=c0s0,则0<x<1,且 E=3· - V1-x2 记 F)=是x V1-x2 求导得 x-1 F'()=0-x23n 令 F(x)=0, 得 7-1=0 所以 4 故总体能消耗最小时， 5 13.从六项活动中任选三项，共有 20 种等可能结果。 选到A且没有选到B,则还需从C,D,E,F中选两项，共有 =6 2 种结果。所以所求概率为 63 20=10 已知已经选到A,则还需从其余五项中选两项，共有 =10 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 用 种结果。若再选到B,则还需从C,D,E,F中选一项，共有 =4 种结果。所以条件概率为 42 10=5 14.以点A为起点，有 -,花-b 所以 D应=A应-而-b-4 又 B元=AC-AB=b-a 因此 应.元-(-)b-a =-影ab-a-b+a 代入 la=4,bl=5,a.b=10, 得 D2.8元-号25-着10-10+分16=10-4-5+8=9 四、解答题 15. 答案：cs0=是；总消耗体能的最小值为hv®-1；分段时总体能消耗不小于3。 设步道长度为L。因为终点距水平面的垂直高度为h,所以 Lsin=h, 即 h L= sin 于是总体能消耗为 B0- sing(c-cos0). 5 (1)当h=3,c=4时， E0)=3.皇-cas6 sin 0 令x=c0s0,则0<x<1,且 B-3.是-2 V1-r2 【2027届高三导向卷（七）·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 记 F(x)= -x V1-x2 求导得 x-1 F'(x=-232 令F(x)=0,得 所以总消耗体能最小时， 0os0- 5 (2)对一般情形，令 x=cos0 (0<x<1). 则 B=h.c-a V1-x2 记 F(x)=c-a V1-x2 求导得 cx-1 F()=0-x2n 因为c>1,所以1∈(0,1)。当0<x<时，F(四<0：当<x<1时，F'(>0。故 1 F()在t=二处取得最小值。 于是 Emin =h. c-之=he-i. V1-3 (3)对第段，由第(2)问可知，其体能消耗不小于 13 2 12 -1. 而 255 12 =V4-1=V144元 12 所以第段体能消耗不小于 8 因此总体能消耗不小于 音+++=是6-号 5 答案：a=4;△= u2+4 16. u+4, 最小值为4V5-8;满足△<1的取值范围为0<u<1。 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 用 (1)抛物线 T:y2=4x 的准线为 x=-1. 点 到准线的距离为 +1 由题意， 4+1=5 a 所以 a2=16. 又a>0,故 0=4. (2)当a=4时， A(4,4). 点 P(匠 其中u>0,且u≠4。 直线AP的斜率为 k=-44 ￥-4u+4 4 所以直线AP的方程为 )-4=4 +42-4. 令x=-1,得 20 4u-4 9Q=4- u+4u+4 因为 H(-1,u), 所以 △=|HQ=lyQ-u. 于是 A= 4u-4 u2+4 u+4-u u+4 设 (u)= u2+4 (u>0). u+4 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第10页】 所州一中 则 (0=2u(u+9-(r2+④_22+8u-4 (u+4)2 (u+4)2 令 2u2+8u-4=0, 得正根 u=2V5-4. 当0<u<2v5-4时，(u)<0;当u>2v5-4时，(u)>0。故△的最小值为 (2v5-④=4V5-8. (3)由 △<1 得 2+4<1. u+4 因为u>0,所以u+4>0,故 2+4<u+4. 即 u2-u<0. 所以 0<u<1. 17. 答案：P=:最终判为“高风险”时，实际故障的概率为；E灯)=4，D(X)= 10 5° 设产品实际故障为事件F,最终判为“高风险”为事件R。 若产品故障，则两级检测均判为“异常”的概率为 0.9×0.8=0.72 若产品正常，则两级检测均误判为“异常”的概率为 0.1×0.2=0.02 因此 P(R)=0.72p+0.02(1-p. 即 P(R)=0.70p+0.02. (1)由频率估计概率， P(A)= 90 =0.09. 1000 所以 0.70p+0.02=0.09. 解得 p=0.1=0 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第11页】 忻州一中 专用 (2)由条件概率公式， P(FIR)= P(FP(R F P(R) 代人2=0，得 P(F1R)=a·0.72_00724 0.09 =0.09=5 (3)从最终判为“高风险”的产品中随机抽取5个，每个产品实际故障的概率为 4 5 所以 x~B() 因此 EC) 414 D(X)=5·55=5 18. 答案：入专评面PP平面69二：成PEP)= V22 以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系，使底面ABCD在xOy平面内，且 A(-1,-1,0),B(1,-1,0),C1,1,0),D(-1,1,0),S(0,0,3). 因为E为SA的中点，F为CD的中点，所以 113 E（2-22) F(0,1,0). 又点P在线段SB上，且 SP SB=, 所以 P=S+λ(B-S)=(入，-入，3-3) (1)先求平面AEF的法向量。 有 A市=(1,2,0). 取 n=A正×A庐 计算得 =(32) 为了计算方便，可取同向法向量 n=(-6,3,1) 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 扣用 因为 Cp=P-C=(0-1,-入-1,3-3)， 要使 CP‖平面AEF, 只需 C.n=0. 于是 (入-1，-入-1,3-3入)·(-6,3,1)=0. 整理得 -6(入-1)+3(-入-1)+(3-3λ)=0， 即 6-12λ=0 所以 (2)当 时， P(G) 平面CFP中， C=F-C=(-1,0,0, m=P-c-() 取平面CFP的法向量 m=C序xc克 计算得 m=(2) 可取 m=(0,1,1). 又平面AEF的一个法向量为 n=（-6,3,1): 所以平面CFP与平面AEF夹角的余弦值为 m·n 0.(-6)+1·3+1·1 m02+12+12√-6)2+32+12 因此 cos(平面CFP,平面AEF)=V2V=V X 2 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第13页】 所州一中 (3)当 .1 2 时，求异面直线AP与EF的距离。 直线AP的一个方向向量为 A市=P-A= 313\ 2'22 可取 u=(3,1,3). 直线EF的一个方向向量为 E序=F-E= 可取 v=(1,3,-3) 异面直线AP与EF的距离为 d=A应.u× u×v 其中 （222 并且 u×v=(3,1,3)×(1,3,-3)=(-12,12,8). 所以 应.×可-日-1网+分12+号8=业 又 u×v=V(-12)2+122+82=4V22 因此 d(AP.EF)=12 3 4V2=V221 19. 5。 =(么am*= (1)曲线 C:y=x2 在点(an,)处的切线方程为 y-an 2an(x-an). 即 y 2ant-az. 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第14页】 所州一中 专用 该切线与直线y=1交于点(an+1,1),所以 1 2anan+1-an. 于是 当a1=3时， -(+)-号 又 =(民+)- 17 (2)由 ns8,1 an +1 和 2+1 an+1= 2an 得 n+1=+1-1 +1-1 2an an+1+1 +1+1 2an 整理得 a2-2an+1 Tn+1=2+20n+1 = 所以 In=1. 又 In= an-1 an +1' 解得 1+Tn an二1一rmn 因此 1+2m-1 a=1-r2 (3)由第(2)问， =1+rm- am=1-0 因为1∈(1,3]，所以 0<r1≤2 设 rgmi 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第15页】 忻州一中 由 1 am≤1+ 2027 得 1+t2028 1-t≤2027 因为0<t<1,所以 2027(1+t)≤2028(1-t). 整理得 4055t≤1. 于是 1 t≤4055 即 r1≤40552m-, 由题设记 4m=40552m点. 故 r1≤qm 又 n-01-1 a1+1 所以 结合 a1∈(1,3]， 得 =(m二》 【2027届高三导向卷（七)·数学参考答案与详解第16页】 所州一中 专用