山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（六）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（六） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.设集合A={x∈Zx2-4x-5<0},B={x∈R|x-2≤2}，则A∩B= A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4 C.{0,1,2,3} D.{1,2,3 2.已知复数之=(2-)(1+2)，则|2= A.5 B.3 C.5 D.V10 3.在(22-) 的展开式中，x的系数为 A.-40 B.-20 C.20 D.40 4.设a=log23,b=2,c=3,则下列大小关系正确的是 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 5.已知平面向量a,b满足a=2,bl=3,a+b=4,则a-b= A.V5 B.V10 C.V13 D.5 6.某函数f()满足f(x+3)=f(x),f(1-x)=f(1+x),且当0≤x≤1时，f(x)=x2。 则八4 17 A. 1 9 3 4 B. 16 C. 4 D.1 7.从集合S={(c,y)|x,y∈{-1,0,1,2}中随机取一点P(x,y),记随机变量X=x-, 则E(X)= B. 58 C.1 D. 5 1 8.已知抛物线C:y=4x的焦点为F。过F的直线与C交于A,B两点，若线段AB的 中点为M(3,2),则直线AB的斜率为 A.2 B.1 C.2 D.4 【2027届高三导向卷（六)·数学第1页（共4页)】 忻州一中✉ 模拟专用 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.设函数f)=血：-。，>0。下列结论正确的是 A.f(1)=0 B.f'(e)=-1 T2 C.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增 D. 对任意x>0,均有f(x)≥0 10.在平面直角坐标系中，称曲线Γ具有“半周转对称性”，若存在一点M,使得把曲线T 上任意一点绕M旋转180°后所得点仍在Γ上。下列曲线具有“半周转对称性”的是 A.x2+4y2=4 B.2=4x C.xy=2 D.y=sina 11.某系统有两种工作状态：稳定状态S和波动状态T。若今天处于S,则明天仍处于S的 概率为：若今天处于T,则明天转为S的概率为)：设第n天处于S的概率为，已知 D1=2。下列说法正确的是 1 A.Pn+1=Pn+ B. 28 C. 数列pn- 2是等比数列 D. lim.Pn 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一组数据为2,4，a,7,9。若这组数据的中位数为7，平均数为6，则a= 13.已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2。点E为BB1的中点，点F为DD1的中 点，则EF= 一，点A到直线EF的距离为 14.对正整数n,定义v(n)为使2(m)|n成立的最大非负整数，并定义w(n)=2m。例如 v(12)=2,w(12)=4。则v(2027）= w(2028) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 设函数f(x)=pcosx+qsinx。对任意实数x,定义三相采样值 uo f(x), =(e+)=f(e+) (1)证明：uo+山1+2=0，并证明场+u+u号与x无关； ②)若f0)=1,f(③)=2，求，9，并求函数f)的最大值 【2027届高三导向卷（六)·数学第2页（共4页)】 忻州一中 用 (3)在第(2)问条件下，设 )=max{,f(+）f(e+智)} 求R(x)的最小值，并写出所有取到最小值的x∈[0,2π)。 16.(本小题满分15分) 某系统每次运行前分为两类：高可靠型H和低可靠型工。若系统为H型，则单次运行成功 的概率为：若系统为L型，则单次运行成功的概率为。各次运行相互独立。 系统采用如下判定规则：先运行一次；若第一次成功，则判定该系统“可用”；若第一次失败， 则再连续运行两次，只有后两次均成功时，才判定该系统“可用”。 某批系统中H型所占比例为p。现随机抽取1024个系统按上述规则检测，其中608个被判 定为“可用”。用频率估计概率。 (1)求p的估计值； (2)若某系统被判定为“可用”，求该系统实际为H型的概率； (3)从被判定为“可用”的系统中随机抽取6个，记其中实际为H型的个数为X。求E(X), D(X)。 17.（本小题满分15分) 已知椭圆E:年+y=1。对任意0<s<1,直线y=s与椭圆E交于A,B,丙点，其中 A在第二象限，B。在第一象限。设T,=（ (1)求椭圆E的离心率； (2)求S(s)=S△TA。B。的表达式，并证明S(s)在(0,1)上单调递减； ③若So=y,求s与4，B 3V3 18.（本小题满分17分)】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=3, D AA1=2。点E,F分别为BB,DD1的中点。 (1)证明：EF‖平面ABCD; (2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值： (3)求点B1到平面AEF的距离。 A B 19.（本小题满分17分) 对任意正整数n,定义v(n)为使2m)|n成立的最大非负整数，并定义w(n)=2(m。例如 v(12)=2,w(12)=4。 (1)求v(2027,w(2028); (2)证明：对任意正整数m,有 ∑如(m)=(m+22m-1 n= 【2027届高三导向卷（六)·数学第3页（共4页)】 忻州一中 (3)对正整数m与整数s,记 Cm,s={n∈N*|1≤n<2m,w(n)+w(2m-n)=2}. 求|Cm.s以及集合Cm,s中所有元素之和。 【2027届高三导向卷（六)·数学第4页（共4页)】 忻州一中 参考答案与详解 2027届高三导向卷（六)·数学 一、 单项选择题 题号12345678 答案A CA C BB A B 1.由 x2-4x-5<0 得 (x-5)(x+1)<0, 所以 -1<x<5. 又x∈Z,故 A={0,1,2,3,4 由 1x-2≤2 得 0≤x≤4. 所以 A∩B={0,1,2,3,4} 故选A。 2. z=(2-)(1+2)=2+4i-i-22=4+3i. 所以 |z=V42+32=5. 故选C。 3.展开式通项为 -(022() 整理得 要得到x项，令 10-3r=1, 得 r=3 【2027届高三导向卷（六）·数学参考答案与详解第1页】 所州一中 专用 所以x的系数为 3 22(-1)3=-40. 故选A。 4.先比较b,c。因为 b=V2,c=3, 且 c6=9, b=8, 所以 c>b. 再比较a,c。因为 e=吃多 所以 2<232=2V2<3. 因此 c<log2 3=a. 故 a>c>b. 故选C。 5.由 a +b2=a2+b2+2a.b 得 16=4+9+2a.b. 所以 2a·b=3, 即 a.bog 于是 a-b2=a2+b2-2a·b=4+9-3=10. 所以 a-b =V10. 故选B。 6.由 f(x+3)=f(x) 可知f(x)的周期为3。 因为 41 【2027届高三导向卷（六）·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 所以 ()=() 又 f(1-x)=f(1+x), 说明函数图象关于直线x=1对称。于是 í()=() 因为 0≤s1 所以 r()-()-品 故选B。 7.集合{-1,0,1,2}共有4个数，所以点P(x,)共有 4×4=16 种等可能情况。 按x-分类： x-=0 有4种 x-y=1 有6种 x-别=2 有4种； x-y=3 有2种。 所以 E(X=0:4+1.6+24+3:2_20=5 16 16-4 故选A。 8.抛物线 C:y2=4x 可用参数表示为 (x,0=(t2,2t) 过焦点F(1,0)的弦对应参数t1,t2,满足 t1t2=-1. 设 A(t,2t1), B(t,2t2): 【2027届高三导向卷（六）·数学参考答案与详解第3页】 所州一中 线段AB的中点为 + M 已知 M(3,2), 所以 t1+t2=2 又焦点弦所在直线可写为 y=k(x-1): 代入参数点，得 2t=k(t2-1): 即 kt2-2t-k=0. 其两根为t1,t2,故 +专-是 于是 2 得 k=1. 故选B。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案ABCD ACD ABCD f(a)=Inz- x-1 =lnx-1+ 1 显然 f(1)=0-1+1=0. A正确。 求导得 f)=11=x-1 F-2=x2 B正确。 当0<x<1时， f'(x)<0: 当x>1时， f'(x)>0. 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增。C正确。 因此f(x)在x=1处取得最小值 f(1)=0. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 所以 f(x)≥0 对任意x>0恒成立。D正确。 综上，选ABCD。 10.“半周转对称性”就是关于某一点中心对称。 A中 x2+4y2=4 关于原点中心对称，A正确。 B中 y2=4x 是抛物线，不具有中心对称性，B错误。 C中 xy=2. 若(x,)在曲线上，则(-x,一y)也满足 (-c)(-y)=xy=2. 所以关于原点中心对称，C正确。 D中 y=sinx. 若(x,sinx)在曲线上，则关于原点对称点为 （-x,-sinx 而 sin(-)=-sinx, 所以也在曲线上。故关于原点中心对称，D正确。 综上，选ACD。 11.由全概率公式， pa1=PS）=a+2-pm 3 所以 1.1 Pn+1=4n+2 A正确。 11,11,15 2=42+2=8+2=8 B正确。 设不动点为L,则 -+ 1 解得 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 用 于是 所以数列 Pa-3 是公比为的等比数列。C正确。 因为 <1, 所以 lim Pa 3 D正确。 综上，选ABCD。 三、填空题 题号12 13 14 答案82v2,V50,4 12.平均数为6，所以 2+4+a+7+9=6. 5 即 22+a=30, 得 a=8. 此时数据为 2,4,7,8,9, 中位数为7，符合题意。 13. 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(2,0,0), D(0,2,0), B1(2,0,2),D1(0,2,2). 点E为BB1的中点，所以 E(2,0,1) 点F为DD1的中点，所以 F(0,2,1). 于是 E=(-2,2,0), 故 EF 2V2. 【2027届高三导向卷（六）·数学参考答案与详解第6页】 所州一中 专用 点A到直线EF的距离为 d=A应×E时 E列 其中 42=(2,0,1), EF=(-2,2,0) 计算得 A正×E=2V6 所以 d=2v6 -2v2 =5. 14. 2027是奇数，所以 v(2027）=0. 又 2028=4×507, 且507为奇数，所以 v(2028)=2. 因此 w(2028)=22028)=22=4. 四、解答题 15. 答案：0++阳=0，后+听+店-多+门：n=1,9=V万，=2：儿=1， 2T4π 取到最小值的x=0,3,3· (1)设 f(x)=pcosx+qsinc. 记 quo f(a), =1(+）,=(e+) 因为 cosx cos x+3 sinx+sin +3 +s血(e+号）-0 所以 u0+u1+2=0. 又可设 f(x)=Rcos(x-), 其中 R=Vp2+g2. 【2027届高三导向卷（六）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 于是 哈+听+喝=r2+时(+)+(+智】 而 s+m(0+）+m(e+-号 所以 喝+呢+暖--+， 3 与x无关。 (2)由 f(0)=1 得 p=1. 又 ( =puw+sn-+-2 所以 V33 29=2 得 9=5. 因此 f(x)=cosx +v3sina 其最大值为 V/12+(3)2=2. (3)由第(2)问， f()=cos2+V3sinz=2sin ( 令 =f,, =(+),a=(+) 由第（1)问， u0+u1+u2=0, 哈+u+=6. 设 R(x)=maxfuo,u1,u2. 因为三个数和为0，平方和为6，要使最大值尽可能小，极限结构应为 1,1,-2. 此时最大值为1。故 R(x)min =1. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 专用 当且仅当三相采样值为 {1,1,-2} 时取到。也就是其中一个采样值等于一2。 由 f0=2sn(t+8) 得 f(t)=-2 当且仅当 t+-+2x 所以 t三3+2km 令 2T =8,x+2,x+3 分别等于 4π (mod 27), 得到 2π 4π x=0, 3’31 因此R(x)取到最小值的x∈0,2π)为 0, 2r4π 3’3 16. 答案：p=方：PH1U= 3 E(X)=2 n0- 设系统被判定为“可用”为事件。 若系统为H型，单次成功概率为 4 根据规则，被判定为可用的概率为 Pw1m=+（-)() 即 w1四=子+品-氵+品- 若系统为工型，单次成功概率为 1 4 则 Pw10-+(1-）() 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 用 即 w-+号而-+品-品 (1)由频率估计概率， P(U)= 6081938 1024=32=64 又 57 19 PW=p·64+1-p 64 所以 57p+19-192_38 64 4 即 38p+19=38. 得 =专 (2)由条件概率公式， P(HU)= P(H)P(UH) PU) 所以 P(HU)= 8 64 76=4 (3)从被判定为“可用”的系统中随机抽取6个，每个实际为H型的概率为 3 所以 X~B() 因此 E(X)=6·4=2 39 D(X)=6·44-8 319 17. 答案：e= 2 ；S(s) 20-；s=方1l=2v8, 椭圆 B若+-1 (1)椭圆长半轴 a=2, 短半轴 b=1. 所以 c=a2-b2=3. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 离心率为 e=cv3 a21 (2)直线 y=s 与椭圆交于两点。代入椭圆： 4+s2=1. 所以 x2=41-s2) 故 4.(-2v1-,B.(2v1- 于是 |AB。|=4V1-s2 又 -(0) 点T到直线y=s的距离为 所以 se9-AB(G-） 即 9)=94v1-.1, 因此 5(s)= 2(1-s2)3/2 下面证明单调性。取对数求导： 血s=n2+nl1-9-n 所以 S(s)3-2s1 S(s=2‘1-2-5 即 S'(s) 3s1 =-1-52-8 <0. S(s) 因为S(s)>0,所以 S'(s)<0. 故S(s)在(0,1)上单调递减。 (3)由 S(s)= 3v3 2 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第11页】 所州一中 专用 得 2(1-s2)3/23V3 21 由于S(s)在(0,1)上单调递减，解唯一。 检验 此时 1-2=1-片-子 所以 22-4 ,3v33v3 8 2 故 1 9=2 于是 A,B=4y-=4 -2V3 答案：EFI平面ABCD:cos(平面AEE,平面ABCD)=9；d(B,平面AEF)= 6 18. 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,3,0),C(2,3,0), A1(0,0,2),B1(2,0,2),D1(0,3,2),C1(2,3,2). 点E,F分别为BB1,DD1的中点，所以 E(2,0,1), F(0,3,1) (1)有 E市=(-2,3,0). 该向量的之坐标为0，故 EF‖平面ABCD. 又EF不在平面ABCD内，所以 EF‖平面ABCD. (2)平面ABCD的一个法向量为 n0=(0,0,1). 平面AEF中， A市=(2,0,1)， A市=(0,3,1) 取法向量 n=A它×A! 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 专用 计算得 n=（-3,-2,6). 所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为 n·ol 6 66 n no V-3)2+(-2)2+6 (3)平面AEF的法向量为 n=(-3,-2,6) 因为平面过点A(0,0,0),所以平面AEF的方程为 -3x-2y+6z=0. 点 B1(2,0,2) 到平面AEF的距离为 d=-32-2.0+621 V(-3)2+(-2)2+62 即 8=上6+1四-9 7 2 19.答案：v(2027)=0,w(2028)=4; ∑w(m)=(m+2)2m-1 n=1 ICmus= 2m-8,1≤s≤m, 0, s<1或s>m, ∑n= 22m-8-1,1≤s≤m, n∈Cm, s<1或s>m. 对任意正整数n,定义v(n)为使 2'm)|n 成立的最大非负整数，并定义 w(n）=2m). (1)因为2027是奇数，所以 v(2027)=0. 又 2028=4×507, 且507为奇数，所以 v(2028)=2. 因此 w(2028)=22=4. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 用 (2)要求 2m 对0≤r≤m-1,满足 v(n)=r 的正整数n∈[1,2m]个数为 2m-r-1 这些数的 w(n)=2. 因此这一部分贡献为 2.2m--1=2m-1 这样的？有m个，所以总贡献为 m2m-1 另外，n=2m时， v(2m)=m,w(2m)=2m, 所以 2 ∑n)=m2m-1+2严 n= 即 2m m三m+22 (3)设 1≤n<2m 令 v(n)=r. 则 n=2'u, 其中u为奇数，且 0≤r≤m-1. 考虑 2m-n=2m-2u=2(2m-r-w), 因为m-r≥1，所以2m-r为偶数。又u为奇数，因此 2m-r-u 为奇数。所以 v(2m-n)=r. 因此 w(n)=w(2m-n)=2. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第14页】 所州一中 从而 w(m)+w(2m-n）=2r+2=2+1 题设要求 w(n)+uw(2m-n)=2. 于是必须有 r+1=5, 即 r=8-1. 所以当1≤s≤m时，Cm,s恰为1≤n<2m中满足 v(n)=s-1 的正整数集合。其个数为 2m-s. 当s<1或s>m时， Cm.s=8. 所以 Cm={0, 2m-s,1≤s≤m, s<1或s>m. 下面求元素之和。当1≤s≤m时，令 r=s-1. 满足v(n)=r的数可写成 n=2'u, 其中u为奇数，且 1≤u<2m-r 这里奇数u共有 2m-r-1=2m-s 个，分别是 1,3,5,.,2m-r-1. 前N个正奇数之和为 N2. 其中 N=2m-8. 所以所有u的和为 (2m-)2. 于是所有n的和为 2r(2m-8)2=28-1.22m-2s=22m-s-1. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第15页】 忻州一中 专用 因此 _∫22m-8-1,1≤s≤m, ∑n={o, s<1或s>m. 【2027届高三导向卷（六)·数学参考答案与详解第16页】 忻州一中 报用